Что такое соответствующие равенства 6 класс
Числовые равенства, свойства числовых равенств
После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.
Что такое числовое равенство
Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.
Свойства числовых равенств
Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.
Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.
Основные свойства числовых равенств
Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:
Прочие важные свойства числовых равенств
Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:
Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:
Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;
Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:
Что такое пропорция
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d
a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
Урок математики в 6-м классе. Тема: Пропорция
Разделы: Математика
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Форма урока: Урок-исследование.
1. Маршрутный лист (МР) (приложение 1)
В маршрутных листах указаны баллы, которые можно получить за решение заданий. При выставлении баллов учащийся учитывает правильность своего решения, скорость решения (самопроверка и взаимопроверка с помощью презентации). В строке “Дополнительные баллы” выставляются баллы за ответы на дополнительные вопросы, за помощь учителю в организации проверки других учащихся, а также за “отгадывание” темы урока.
2. Конверты с карточками (приложение 2)
Карточки разрезаются и в конвертах раздаются учащимся (один конверт на парту).
3. Карточки для магнитной доски (рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3)
В ходе урока данные карточки вывешиваются на магнитную доску.
4. Ребусы (рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6, рисунок 7).
Техническое оснащение урока – компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран. Компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint (приложение 4).
I. Организация начала урока
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, наличие раздаточного материала у вас на парте, наличие красного и синего карандаша, а также свою готовность к уроку.
Итак, тема сегодняшнего урока Пропорция. СЛАЙД 2
Зная тему урока, попробуйте составить план урока. Что вы должны узнать сегодня на уроке? Что вы хотите узнать? Чему хотите научиться на уроке?
Составим план, который будем дополнять по ходу урока. (учащиеся называют два первых и два последних пункта плана, остальные заполняются в течение урока, по мере “открытия” новых знаний; план урока записывается на доске)
— повторение (вопросы, связанные с отношением)
— ВЕРНЫЕ и НЕВЕРНЫЕ ПРОПОРЦИИ
— ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ
— применение в математике
— применение в жизни
Два последних пункта мы сможем разобрать на следующих уроках, по ходу изучения темы.
III. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.
Обсудите вопросы, связанные с темой “Отношение”, с соседом по парте.
— Кто готов задать вопросы, связанные с прошлой темой? (блицопрос) МР1
— Что такое отношение?
— Как можно записать отношение?
— На какие вопросы отвечает отношение?
— Как можно записать отношение двух чисел?
— Чем можно заменить знак делания?
— Как вы думаете, зачем мы повторили эти понятия?
— Они помогут нам при изучении новой темы.
Возьмите конверты и составьте отношения а к b и c к d двумя способами. (всего 4 отношения) РАБОТА В ПАРАХ.
МР2 Перед вами несколько отношений. Найдите значение этих выражений. СЛАЙД 3
4 : 0,5= =
5 : 10 = 8 : 1 = 2,5 : 5 =
=
=Сгруппируйте отношения по определенному признаку и составьте соответствующие равенства.
IV. Усвоение новых знаний.
4 : 0,5 = 8 : 1 5 : 10 = 2,5 : 5
— По какому признаку вы сгруппировали данные отношения?
— Полученные равенства называются пропорцией.
Подумайте и дайте определение пропорции.
ПОДСКАЗКА – пропорция – это … НА ЭКРАНЕ (равенство)
— равенство …ЧЕГО (отношений)
— скольких отношений? (двух).
Кто уверен в своем мнении, запишите определение в маршрутный лист. МР3
Кто готов выйти к доске и составить определение пропорции? (приложение 3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на магнитной доске): Пропорция – равенство двух отношений.
Вы сформулировали определение пропорции также как в словаре русского языка!
Подумайте, с каким математическим термином созвучно слово “пропорция”? (проценты). Как переводится термин “процент”? ( от ста). Значит, “про” переводится как “от”. Какая часть слова осталась? (“порция”). Где вы встречались с этим словом? (в кулинарии) Что оно означает? (размер)
Слово пропорция произошло от латинского слова proportio – соразмерность. (этимологический словарь). СЛАЙД 4
Используя определение пропорции, составьте пропорции, используя знак деления и дробную черту. (РАБОТА В ПАРАХ, конверты).
В маршрутных листах запишите пропорцию, используя буквы a,b,c,d. МР4
a : b = c : d или
= 
А сейчас мы узнаем, как называются числа, из которых состоит пропорция.
Числа a, b, c, d называются членами пропорции
Назовите первый и последний член пропорции? (а и с)
А как обычно (в жизни) называют первого и последнего? (крайние)
Значит, члены a и b называются …? ( крайними)
А где находятся члены с и d? ( в середине)
И как называются члены с и d? (средними)
Красным цветом выделим какие члены? ( к райние)
Синим цветом ( с редние) члены.
Вернемся к плану урока – есть чем его дополнить? (крайние и средние члены пропорции)
V. Первичное закрепление знаний
МР5 Заполните таблицу:
| Пропорция |  =  | 72 : 9 = 16 : 2 | a : b = c : d |
| Крайние члены | 3; 20 | 72; 2 | |
| Средние члены | 4; 15 | 9; 16 | |
| Произведение крайних членов | 60 | 144 | |
| Произведение средних членов | 60 | 144 |
Какой вывод можно сделать? Запишите вывод в маршрутном листе. (В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних) СЛАЙД 8
МР6 Перед вами пять равенств. Все ли они являются пропорциями?
= ; 7 + 11 = 36 : 2; 72 : 9 = 16 : 2; 
= 20 : 4; 5 • 40 = 100 • 2
СЛАЙД 7 Встаньте, кто закончил.
Все уверены в том, что здесь три пропорции? Ведь в последнем равенстве произведение крайних членов не равно произведению средних. Вернемся к определению пропорции (Пропорция – равенство двух отношений). Третье равенство является равенством двух отношений? (является). По определению это пропорция? (да). А произведение крайних членов равно произведению средних? (нет). Значит, это пропорция…? (неправильная). Такая пропорция называется неверной. Значит, бывают пропорции неверные и …? (верные). Сформулируйте основное свойство пропорции, используя полученные знания. (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних).
VI. Закрепление знаний.
Заполните с таблицу.
Верная пропорция Неверная пропорция
72 : 9 = 16 : 2
А как еще можно определить верная пропорция или неверная? (найти значение отношений)
В дальнейшем мы будет говорить о верных пропорциях.
Вернемся к плану урока. Что можно добавить? (пропорции верные и неверные)
МР7 Используя буквы В и Н отметьте верные и неверные пропорции.
1: 0,5 = 4,8 : 2,4 7,5 : 5 = 2 : 3 10 : 3 = 3 5 : х = 20 : 4х
= 
= 
: 1VII. Обобщение и систематизация.
МР8 Используя основное свойство пропорции, составьте верную пропорцию из следующих чисел: 4, 5, 12, 15. Сколько верных пропорций можно составить?
1 : 3 = 5 : 15 3 : 1 = 15 : 5 1 : 5 = 3 : 15 5 : 1 = 15 : 3
*Составьте верные пропорции, используя буквы a, b, c, d (необязательное задание)
а : b = c : d b : а = d : c а : c = b : d c : а = d : b
VIII. Контроль и самопроверка знаний
IX. Подведение итогов урока.
Обратитесь к плану урока.
Что вы узнали сегодня на уроке? (что такое пропорция, из чего состоит пропорция, пропорции бывают верными и неверными, основное свойство пропорции, …)
Чему вы научились сегодня на уроке? (определять крайние и средние члены пропорции, выяснять является пропорция верной или неверной, …)
Какие еще вопросы можно задать по итогам урока?
— Сколько верных пропорций можно составить из данной верной пропорции?
— Как можно определить является пропорция верной или неверной?
Вспомним последнее задание математического диктанта.
Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию. Правильный ответ ДА. Составить пропорцию можно, но она не обязательно будет верной.
Из фразы “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” исключите одно слово, чтобы это высказывание стало неверным. (натуральных). Почему? (Число 0 не может являться членом пропорции). Из любых четырех чисел можно составить пропорцию
В данную фразу “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” вставьте одно слово, чтобы высказывание стало неверным (верную). Из любых четырех натуральных чисел можно составить верную пропорцию.
Подсчитайте количество баллов, которые вы заработали на уроке и выставите оценку.
X. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению
Математика – 6, Виленкин Н.Я. и др. 6-е издание
Мерзляк 6 класс — § 7. Основное свойство дроби
Вопросы к параграфу
1. Сформулируйте основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, то получиться равная ей дробь:
Решаем устно
1. Прочитайте дроби и назовите в каждой из них числитель и знаменатель.
— пять седьмых: числитель 5, знаменатель 7;
— одна девятая: числитель 1, знаменатель 9;
— семь двенадцатых: числитель 7, знаменатель 12;
— двенадцать двенадцатых: числитель 12, знаменатель 12;
— три восьмых: числитель 3, знаменатель 8;
— пять третьих: числитель 5, знаменатель 3.
2. В школьном саду растёт 14 яблонь и 13 вишен. Какую часть всех деревьев составляют: 1) яблони; 2) вишни?
14 + 13 = 27 (шт) — деревьев растёт в саду всего.
Ответ: 1) яблони — ; 2) вишни — всех деревьев.
3. Когда сгорела половина свечки и ещё 5 см, то высота свечки стала 5 см. Какой была высота свечки первоначально?
Упражнения
187. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина которого в 20 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:
Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства.
188. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина которого в 18 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:
Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства.
189. Умножьте на 4 числитель и знаменатель каждой из дробей . Запишите соответствующие равенства.
1)
2)
3)
4)
5)
190. Разделите на 3 числитель и знаменатель каждой из дробей . Запишите соответствующие равенства.
1)
2)
3)
4)
5)
191. Укажите пропущенное значение числителя или знаменателя, при котором данная запись будет верной:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
192. Объясните, почему верно равенство:
1) — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель умножили на число 7.
2) — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель разделили на число 20.
3) — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель умножили на число 11.
4) — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель разделили на число 6.
193. Запишите три дроби, равные:
1)
2)
3)
4)
194. Какие изданных равенств неверны:
1) — верно, так как
2) — неверно, так как
3) — неверно, так как
4) — верно, так как
195. Каждую из данных дробей замените равной ей дробью, знаменатель которой равен 42:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
196. Каждую из данных дробей замените равной ей дробью, знаменатель которой равен 72:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
197. Запишите:
1) число 3 в виде дроби, знаменатель которой равен 6
2) число 13 в виде дроби, знаменатель которой равен 5
3) число 1 в виде дроби, знаменатель которой равен 29
198. Запишите:
1) число 5 в виде дроби, знаменатель которой равен 8
2) число 10 и виде дроби, знаменатель которой равен 14
3) число 16 в виде дроби, знаменатель которой равен 16
199. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение а, при котором верно равенство:
1) — равенство будет верно при a = 1, так как
2) — равенство будет верно при a = 4, так как
3) — равенство будет верно при a = 5, так как
4) — равенство будет верно при a = 20, так как
200. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение a, при котором верно равенство:
1) — равенство будет верно при a = 2, так как
2) — равенство будет верно при a = 48, так как
3) — равенство будет верно при a = 10, так как
4) — равенство будет верно при a = 72, так как
201. Решите уравнение:
202. Решите уравнение:
Упражнения для повторения
203. Леденец стоит 16 сольдо. У Буратино есть 20 монет по 10 сольдо. Какое наибольшее количество леденцов может купить Буратино, чтобы продавцу не нужно было давать ему сдачу?
1) Найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 16 и 10. Для этого разложим данные числа на произведение степеней простых множителей:
Значит НОК (10, 16) = = 16 • 5 = 80.
2) 10 • 20 = 200 (сольдо) — всего у Буратино.
3) Найдём наибольшее число, которое кратно и 16, и 10, и, при этом, меньше 200. Для этого запишем все числа меньшие 200 и кратные 80 (НОК (10, 16)) и выберем наибольшее из них:
Значит наибольшее количество денег, на которое Буратино может купить леденцы без сдачи, это 160 сольдо.
4) 160 : 16 = 10 (шт) — леденцов может купить Буратино без сдачи.
204. Число делится нацело на 2, на 5 и на 9. Каким ещё числам кратно это число?
1) Разложим числа 2, 5 и 9 на простые множители:
Значит делителями задуманного числа будут все возможные числа, которые получатся в результате перемножения между собой простых множителей, а также числа 1:
Ответ: задуманное число кратно числам: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
205. В среднем сердце человека делает 75 ударов в минуту. Сколько ударов делает сердце в течение суток? Сколько литров крови оно перекачивает за 1 мин, если сердце перекачивает за сутки 8 640 л крови?
1) 60 • 24 = 1 440 (минут) — в одних сутках.
2) 1 440 • 75 = 108 000 (шт) — ударов делает сердце за 1 сутки.
3) 8 640 : 1 440 = 6 (л) крови перекачивает сердце за 1 минуту.
Ответ: 108 000 ударов за сутки, 6 литров крови за минуту.
206. Начертите острый угол ABC. Проведите луч BD так, чтобы угол ABD был прямым, а угол BCD:
1) тупым
2) острым
207. От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км/ч. Через 3 ч после этого от пристани в том же направлении отправился второй теплоход, который догнал первый через 9 ч после своего выхода. Найдите скорость второго теплохода.
1) 9 + 3 = 12 (ч) — двигался от пристани до места встречи первый теплоход.
2) 18 • 12 = 216 (км) — расстояние между пристанью и точкой встречи.
3) 216 : 9 = 24 (км/ч) — скорость второго теплохода.
208. Из одного города в другой со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль. Через 3 ч из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль. Они встретились через 7 ч после начала движения первого автомобиля. Найдите скорость второго автомобиля, если расстояние между городами равно 700 км.
1) 60 • 7 = 420 (км) — проехал до встречи первый автомобиль.
2) 700 — 420 = 280 (км) — проехал до встречи второй автомобиль.
3) 7 — 3 = 4 (ч) — находился в пути второй автомобиль.
4) 280 : 4 = 70 (км/ч) — скорость второго автомобиля.
Задача от мудрой совы
209. Па поле размером 10 х 10 клеток для игры в «Морской бой» поставили корабль в прямоугольник размером 1 х 3 клетки. Можно ли, сделав 33 выстрела, наверняка в него попасть?
1) 10 • 10 = 100 ( шт) — всего клеток на поле.
2) 100 — 3 = 97 (шт) — клеток не занято кораблём.
3) 3 • 33 = 99 (шт) — клеток — максимальное количество клеток, которое можно поразить за 33 хода (стрелять надо в каждую третью клетку, а не подряд в каждую).
4) 99 > 97 — значит в течении 33 ходов можно наверняка попасть корабль размером в 3 клетки.