Что такое сопряженное в алгебре

√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1

(√ 4 n + 2 + √ n + √ n + 1 )(2 n + 1 + 2√ n ( n + 1) )

(2√ n + √ n + √ n )(2 n + 2 n )

Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную n на и воспользоваться формулой Тейлора

Мы уже говорили о пользе симметрии в геометрических задачах. Своего рода симметрией в алгебре является замена плюса на минус.

Так, если какое-либо выражение от равно и мы всюду в этом выражении заменим на то естественно ожидать, что новое выражение окажется равным сопряженному числу Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства ( a и b — рациональны, — нет):

5. Доказать, что уравнение

не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.

Можно, конечно, найти отдельно сумму членов левой части, не содержащих (она должна быть равна 2), и отдельно — коэффициент при (он должен равняться 1). Но что делать с полученной громоздкой системой неясно. Вместо этого воспользуемся (4) и заменим плюс перед на минус!

Слева стоит неотрицательное число, справа — отрицательное.

6. Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, для которых x 2 отличается от 2 y 2

Несколько таких пар с небольшими легко найти подбором: это (1; 1), (3; 2), (7; 5), (рис. 1). Как продолжить этот набор? Можно ли записать общую формулу для этих решений?

Рис. 1. Проходят ли эти гиперболы через бесконечное число узлов клетчатой бумаги?

Найти ответы на эти вопросы нам поможет число Закономерность, позволяющая получать всё новые и новые решения указана в таблице:

будут давать нужную пару. Доказать это поможет колонка таблицы из сопряжённых чисел (мы снова

Перемножив два последних равенства, получим

и интересующее нас выражение попеременно равно то 1, то Складывая и вычитая эти же два равенства, мы получим явное выражение для x n и y n :

Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

Источник

Что такое сопряженное в алгебре

Определение. Два комплексных числа, имеющие одну и ту же действительную часть и взаимно противоположные коэффициенты мнимых частей, называются взаимно) сопряженными.

Для любого комплексного числа z существует одно и только одно сопряженное с ним комплексное число, которое обозначается . Если , то . Очевидно, тогда и только тогда, когда z — действительное число.

Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:

Ранее было выведено правило деления комплексных чисел. Это правило можно проще получить с помощью сопряженных комплексных чисел.

Умножим числитель и знаменатель дроби — на число комплексно сопряженное со знаменателем. Выполнив действия и отделив действительную часть от мнимой, получаем:

Этот результат совпадает с формулой, полученной в п. 6.

Эту формулу можно не запоминать, а только помнить, что при делении надо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное со знаменателем.

Теорема 1. Число, сопряженное с суммой или произведением комплексных чисел, есть сумма или соответственно произведение чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Доказательство. Пусть . Тогда . Имеем:

Эта теорема показывает, что, поставив в соответствие каждому комплексному числу сопряженное с ним число, мы получили взаимно однозначное отображение поля комплексных чисел К на это же поле при котором сохраняются операции сложения и умножения.

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее

Следствие 1. Число, сопряженное (натуральной) степени комплексного числа, равно той же степени числа, сопряженного данному:

Далее, если нам дан многочлен

коэффициенты которого — комплексные числа, то, заменив каждый коэффициент сопряженным ему комплексным числом мы получим новый многочлен, который обозначим через

Если теперь в полученном многочлене произвольное значение переменной заменить сопряженным ему значением то в силу доказанной выше теоремы и следствия I полученное значение многочлена будет комплексным числом, сопряженным с исходным значением многочлена

Если, в частности, все коэффициенты многочлена действительные числа, то один и тот же многочлен, и формула (3) дает:

Таким образом, мы получили

Следствие 2. При замене в многочлене с действительными коэффициентами произвольного значения аргумента сопряженным ему числом значение многочлена также заменяется сопряженным ему числом.

Источник

• ← Что такое планерка в лагере
• Что такое гриды css →

x n =	(1 + √ 2 ) n + (1 – √ 2 ) n 2	,
y n =	(1 + √ 2 ) n – (1 – √ 2 ) n Можно ли в решении этой задачи про целые числа обойтись без иррациональных чисел и Теперь, зная ответ, мы можем легко выразить через предыдущую пару из ( x n + y n √ 2 )(1 + √ 2 ) вытекает До этого рекуррентного соотношения можно было, видимо, догадаться по нескольким первым решениям, а потом проверить, что Рекуррентные соотношения типа (6) возникают не только в теории чисел, но и в разных задачах анализа, теории вероятностей. Вот характерный пример комбинаторной задачи такого типа (она предлагалась на последней международной олимпиаде в Лондоне): 7 (М595). В вершине A правильного восьмиугольника сидит лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, противоположной A, она может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в E, лягушка останавливается и остаётся там. Найти количество e m различных способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в E ровно за m прыжков. А интересующее нас число e 2 n равно, очевидно, а) c 1 = 1 б) a 1 = 2 в) a n +1 = 2 a n + 2 c n г) c n +1 = a n + 2 c n д) e 2 n = 2 c n –1 Из A в C за два прыжка можно попасть только одним способом: Из A в A за два прыжка можно попасть двумя способами: В A можно попасть из C двумя способами и из A двумя способами: В C можно попасть из A одним способом и из C — двумя: В E можно попасть из C двумя способами: Рис. 2. а) б) в) г) д) a n +1 + c n +1 √ 2 = ( a n + c n √ 2 )(2 + √ 2 ) (8) и — как вы уже, конечно, догадались — ещё так: a n +1 – c n +1 √ 2 = ( a n – c n √ 2 )(2 – √ 2 ). (9) Отсюда по индукции, пользуясь (7), получаем: Докажите, что последовательность содержит бесконечно много квадратов целых чисел. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого Составьте уравнение 4-й степени с корнями и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных радикалов: c n = (2 + √ 2 ) n – (2 – √ 2 ) n а так как получаем окончательно Докажите, что функция — нечётная, и постройте её график. а) Докажите, что для любого натурального n б) Докажите, что последовательность убывает и стремится к пределу. а) Докажите, что последовательность сходится, и найдите её предел. б) Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа 2 + √ 2 + p e 2 n = (2 + √ 2 ) n –1 – (2 – √ 2 ) n –1 Задача решена. Неясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче 6) можно было додуматься до формул, содержащих — ведь в задаче речь идёт о целых числах! (Для участников олимпиады и читателей «Кванта» задача 7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ — «Квант», 1979, № 11, М595 ). Однако «сопряжённые числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владели началами линейной алгебры (см. [12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии удовлетворяют данному рекуррентному соотношению. Значения, для которых такие прогрессии существуют, — они называются характеристическими значениями или собственными числами — определяются из некоторого уравнения (оно тоже называется характеристическим ). Для (7) характеристическое уравнение имеет вид его корни — как раз и Зная эти корни, любое решение рекуррентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае определяет нужное нам решение однозначно. Неудивительно, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристическое уравнение — квадратное с целыми коэффициентами (примеры — те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, см. [9], [10]), выражаются, как функции номера, с помощью «сопряжённых» квадратичных иррациональностей. Интересное продолжение этого факта мы увидим в следующей задаче с бо́льшим числом «сопряжённых» иррациональностей. Конечно, мы здесь можем выразить через ( q n ; r n ; s n ; t n ), пользуясь тем, что Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом ещё три «сопряжённых»: Докажите, что при всех положительных x Постройте график функции и докажите, что при q n = λ 1 n + λ 2 n + λ 3 n + λ 4 n 4 , s n = λ 1 n + λ 2 n – λ 3 n – λ 4 n 4√ 3 , r n = λ 1 n – λ 2 n + λ 3 n – λ 4 n 4√ 2 , t n = λ 1 n – λ 2 n – λ 3 n + λ 4 n Теперь заметим, что Поэтому 1 + (λ 2 /λ 1 ) n + (λ 3 /λ 1 ) n + (λ 4 /λ 1 ) n · 1 Аналогично найдём, что Мы говорили выше, что сопряжённые числа возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание: 9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен после преобразований получаем Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем Попробуйте это доказать! Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи — «сопряжённые числа» — с чисто алгебраической точки зрения. и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямоугольника. Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжающих уже затронутые темы, но требующих иногда и новых соображений, и обещанным списком литературы. Что больше: или 2. √ 2 = 1 + 1 . 2 + 1 √ 2 + 1 Докажите, что уравнения имеют бесконечное множество решений в целых числах. 6. 7. 8. 9. = β 1/2 n + β –1/2 n . 12. 13. 14. 2 √ ( A 2 > B > 0, A > 0).
15.