Что такое составное число приведите 3 примера

Составные числа

Любое натуральное число больше единицы является либо простым либо составным. Простым называют число, которое делится без остатка только на само себя или на единицу (2, 3, 5, 7 и т.д.). Составным называется число, которое имеет больше двух делителей (4, 6, 8 и т.д.).

Таблица составных чисел до 100

Самое маленькое составное число

Исходя из определения и пользуясь таблицей составных чисел, видно, что наименьшее натуральное составное число — 4.

Важно! Единица — не является ни простым, ни составным числом

Как определить составное ли число?

Возвращаясь к определению, получаем, что если число делиться без остатка на любое число, кроме самого себя и единицы — значит оно составное. Проверить это можно путем перебора делителей (к примеру, начать делить на 2, затем на 3 и т.д.), либо зная признаки делимости.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

Простые и составные числа

Основные определения

Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.

Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.

Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.

Число 4 — первое наименьшее составное число.

В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.

А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.

Таблица простых чисел до 1000

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена.

В этой статье мы изучим простые и составные числа. Сначала дадим определения простых и составных чисел, а также приведем примеры. После этого докажем, что простых чисел бесконечно много. Далее запишем таблицу простых чисел, и рассмотрим методы составления таблицы простых чисел, особо тщательно остановимся на способе, получившем название решето Эратосфена. В заключение осветим основные моменты, которые нужно учитывать при доказательстве того, что данное число является простым или составным.

Навигация по странице.

Простые и составные числа – определения и примеры

Понятия простые числа и составные числа относятся к целым положительным числам, которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел, нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные.

Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.

Учитывая, что целые положительные числа – это натуральные числа, и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.

Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.

Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.

Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными.

Приведем примеры простых и составных чисел.

В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.

Таблица простых чисел

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Простых чисел бесконечно много.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Опишем несколько первых шагов.

Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости, которые немного ускорят процесс поиска делителей.

Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый решето Эратосфена. Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.

Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.

Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.

Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?

Данное число простое или составное?

Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.

Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.

Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.

Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.

Число 11 723 простое или составное?

Источник

Составные числа: характеристика, примеры, упражнения

Содержание:

Давайте посмотрим на число 2, которое можно разделить только на 1 и 2. Число 3 также имеет два делителя: 1 и 3. Следовательно, они оба простые. Теперь давайте посмотрим на число 12, которое мы можем точно разделить на 2, 3, 4, 6 и 12. Имея 5 делителей, 12 является составным числом.

А что происходит с числом 1, которое разделяет все остальные? Ну, это не простое число, потому что у него нет двух делителей, и оно не составное, поэтому 1 не попадает ни в одну из этих двух категорий. Но есть еще много других цифр.

Составные числа можно выразить как произведение простых чисел, и это произведение, за исключением порядка множителей, является уникальным для каждого числа. Это подтверждается основной теоремой арифметики, продемонстрированной греческим математиком Евклидом (325–365 до н.э.).

Вернемся к числу 12, которое можно выразить по-разному. Попробуем:

12 = 4 х 3 = 2 х 6 = 12 х 1 = 2 2 х 3 = 3 х 2 2 = 3 х 2 х 2 = 2 х 2 х 3 = 2 х 3 х 2

Примеры составных чисел

Если мы хотим разложить составное число на его простые множители, мы должны разделить его между простыми числами таким образом, чтобы деление было точным, то есть чтобы остаток был равен 0.

Эта процедура называется простые множители или каноническое разложение. Основные факторы могут быть увеличены до положительных показателей.

Мы собираемся разложить число 570 на разложение, заметив, что оно четное и поэтому делится на 2, что является простым числом.

Мы будем использовать полосу, чтобы отделить число слева от разделителей справа. Соответствующие частные помещаются под числом по мере их получения. Разложение завершено, когда последняя цифра в левом столбце равна 1:

При делении на 2 получается частное 285, которое делится на 5, другое простое число, заканчивающееся на 5.

57 делится на 3, тоже простое число, поскольку сумма его цифр 5 + 7 = 12 делится на 3.

В итоге мы получаем 19, простое число, делители которого равны 19 и 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Получив 1, мы можем выразить 570 следующим образом:

570 = 2 х 5 х 3 х 19

И мы видим, что на самом деле это произведение 4 простых чисел.

В этом примере мы начинаем с деления на 2, но те же множители (в другом порядке) были бы получены, если бы мы начали, например, с деления на 5.

Критерии делимости

–Делимость на 2

Все четные числа, заканчивающиеся на 0 или четное число, делятся на 2.

–Делимость на 3

Если сумма цифр числа кратна 3, то число также делится на 3.

–Делимость на 5

Числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5.

-Делимость на 7

Число делится на 7, если при разделении последней цифры, умножении ее на 2 и вычитании оставшегося числа полученное значение будет кратным 7.

Это правило кажется немного более сложным, чем предыдущие, но на самом деле его не так уж и много, поэтому давайте рассмотрим пример: будет ли 98 делиться на 7?

-Делимость на 11

Если сумму цифр в четной позиции (2, 4, 6…) вычесть из суммы цифр в нечетной позиции (1, 3, 5, 7…), и мы получим 0 или кратное 11, число будет делится на 11.

В качестве примера давайте посмотрим, делится ли 143 на 11.

Обе суммы вычитаются: 4-4 = 0, и поскольку получается 0, оказывается, что 143 делится на 11.

-Делимость на 13

Число без разряда единиц необходимо вычесть из 9-кратной этой цифры. Если счетчик возвращает 0 или кратное 13, число кратно 13.

Но 39 равно 3 x 13, поэтому 56 делится на 13.

Простые числа друг к другу

Два или более простых или составных числа могут быть простыми или взаимно простыми числами. Это означает, что их единственный общий делитель равен 1.

Когда дело доходит до взаимных простых чисел, следует помнить о двух важных свойствах:

-Два, три и более последовательных числа всегда просты по отношению друг к другу.

-То же самое можно сказать о двух, трех и более последовательных нечетных числах.

Например, 15, 16 и 17 являются простыми числами друг для друга, а также 15, 17 и 19.

Как узнать, сколько делителей у составного числа

У простого числа два делителя, одно и то же число и 1. А сколько делителей у составного числа? Это могут быть двоюродные братья и сестры.

Пусть N составное число, выраженное в терминах его канонического разложения следующим образом:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

С C = простые делители + составные делители + 1

Например, 570, что выражается так:

570 = 2 х 5 х 3 х 19

Все простые множители увеличиваются до 1, поэтому 570 имеет:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 делителей

Из этих 10 делителей мы уже знаем: 1, 2, 3, 5, 19 и 570. Отсутствуют еще 10 делителей, которые являются составными числами: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 и 285. Их можно найти, наблюдая разложение на простые множители, а также умножая комбинации этих множителей вместе.

Решенные упражнения

— Упражнение 1

Разложите следующие числа на простые множители:

Источник