Что такое составное высказывание приведите пример

Составные высказывания и логические выражения

2.1. Составные высказывания

Из элементарных высказываний можно строить более сложные (составные) высказывания, используя связки И, ИЛИ, НЕ.

Примеры. Забор красный И забор деревянный.

Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя

Смысл этих высказываний понятен.

Высказывание с НЕ содержит одно элементарное высказывание (в русском языке НЕ часто ставится в середину этого высказывания). Составное высказывание с НЕ истинно, если исходное элементарное высказывание ложно и, наоборот, если исходное высказывание истинно, то составное высказывание с НЕ ложно.

Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний. В этом построение составных высказываний похоже на построение алгебраических выражений. Например, понятно, что означает такое высказывание (хотя оно написано не на русском языке, а с использованием скобок : )

(Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя) И (Коля НЕ старше, чем Ваня)

Здесь 3 элементарных высказывания.

2.2. Логические значения. Логические операции.

Так как логических значений всего два, то эти операции можно описать таблицами.

У операций И, ИЛИ, НЕ есть «научные» названия (даже несколько для каждой операции 🙂 и специальные обозначения (в примерах A, B обозначают какие-то конкретные логические значения):

НЕ: отрицание, инверсия. Обозначение: ¬ (например, ¬А);

И: конъюнкция, логическое умножение.

Обозначается /\ (например, А /\ В) либо & (например, А & В);

ИЛИ: дизъюнкция, логическое сложение.

Обозначается \/ (например, А \/ В).

В математике используются и другие логические операции.

Каждая логическая операция может быть задана своей таблицей. Вот еще два примера логических операций:

1) следование (импликация); обозначается → (например, А → В); см. таб. 4. Выражение А → В истинно если A ложно ИЛИ B истинно. То есть, А → В означает то же самое, что и (¬А) \/ В.

2) тождество (эквивалетность); обозначается ≡ (например, A ≡ B); см. таб 5. Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны).

Логические операции играют для логических значений ту же роль, что и арифметические операции для чисел. Аналогично построению алгебраических выражений, с помощью логических операций можно строить логические выражения. Как и алгебраические выражения, логические выражения могут включать константы (логические значений 1 и 0) и переменные. Если в логическом значении есть переменные, оно задает функцию (логическую функцию; синоним: булеву функцию). Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в выражение вместо переменных.

Для каждого логического выражения можно составить таблицу истинности, которая описывает, какое значение принимает соответствующая логическая функция (синоним: принимает выражение) при каждом допустимом наборе значений переменных. Вот таблицы истинности для выражений x \/ y (таблица 6), x → y (таблица 7) и (x → y) /\ (y → z) (таблица 8).

2.4. Эквивалентные выражения.

Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А/\В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

Эквивалентные выражения имеют одинаковые таблицы истинности, а у неээквивалентных выражений таблицы истинности различны.

2.5. Приоритеты логических операций.

При записи логических выражений, как и при записи алгебраических выражений, иногда можно не писать скобки При этом соблюдаются следующие договоренности о старшинстве (приоритете) логических операций, первыми указаны операции, которые выполняются в первую очередь:

конъюнкция (логическое умножение),

дизъюнкция (логическое сложение),

Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и ((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

4 комментария

2.3. Логические выражения. Таблицы истинности.
Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в МЫРАЖЕНИЕ вместо переменных

Источник

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.)

Логическая переменная – это простое высказывание.
Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Например,

Многие люди не любят сырую погоду.

Пусть А = «Многие люди любят сырую погоду». Получаем логическую функцию F(A) = не А.

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Логическая формула (логическое выражение) — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Значение логической функции зависит от значений входящих в нее логических переменных. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Пример:
Рассмотрим составное высказывание «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 10». Выделим простые высказывания:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «3 • 3 = 10» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание ложное.

2. Логическое сложение (дизъюнкция), от лат. disjunctio – различаю:
• Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ;
• в языках программирования — Or.
• Обозначение: \/, +, или, or.
• В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.

Пример:
Рассмотрим составное высказывание «2 • 2 = 4 или 2 • 2 = 5». Выделим простые выска-зывания:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «2 • 2 = 5» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание истинно.

3. Отрицание (инверсия), от лат. InVersion – переворачиваю:

• Соответствует частице НЕ, словосочетаниям НЕВЕРНО, ЧТО или НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИСТИНОЙ, ЧТО;
• в языках программирования — Not;
• Обозначение: не А, ¬А, not
• В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества.

Источник

Простые и составные высказывания

Описание презентации по отдельным слайдам:

1. Из чего состоит блок-схема? она состоит из фигур, соединённых линиями 2. Как называют высказывание, записанное в ромб? условие 3. Что обозначает блок, нарисованный в форме овала? начало или конец алгоритма

Высказывание – это предложение, имеющее смысл, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Высказывания бывают простыми и составными.

Если два простых высказывания соединить с помощью действия логического сложения или логического умножения, получится одно составное высказывание.

Составное высказывание, полученное помощью логического умножения, истинно, если все простые высказывания, из которых оно состоит, истинны. Логическое умножение будем обозначать буквой И.

0 1 0 1 Это простое высказывание. Оно ложно, потому что 0 при счете идет раньше, чем 1. 0 1 Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

0 1 0 1 и и и и л л л и л л л л

2*2 = 4 И 3*3 = 9 2*2 = 4 Это простое высказывание. Оно истинно, потому что 2 умножить на 2 будет 4. 3*3 = 9 Это простое высказывание. Оно истинно, потому что 3 умножить на 3 будет 9. 2*2 = 4 И 3*3 = 9 Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

2*2 = 4 3*3 = 9 2*2 = 4 И 3*3 = 9 и и и и л л л и л л л л

А) 10 > 5 И 10 = 3 Б) Москва – столица России. И В Москве есть Кремль. В) Буратино – герой сказки «Колобок». И Буратино сделан из глины.

10 > 5 И 10 = 3 10 > 5 Это простое высказывание. Оно истинно, потому что 10 при счете идет дальше, чем 5. 10 = 3 Это простое высказывание. Оно ложно, потому что 10 больше, чем 3, так как идет дальше при счете. 10 > 5 И 10 = 3 Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

10 > 5 10 = 3 10 > 5 И 10 = 3 и и и и л л л и л л л л

Москва – столица России. В Москве есть Кремль. Москва – столица России. И В Москве есть Кремль. и и и и л л л и л л л л

Буратино – герой сказки «Колобок». И Буратино сделан из глины. Буратино – герой сказки «Колобок». Это простое высказывание. Оно ложно, потому что Буратино – герой сказки «Приключения Буратино или Золотой ключик». Буратино сделан из глины. Это простое высказывание. Оно ложно, потому что Буратино сделан из полена, то есть из дерева. Буратино – герой сказки «Колобок». И Буратино сделан из глины. Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

Буратино – герой сказки «Колобок». Буратино сделан из глины. Буратино – герой сказки «Колобок». И Буратино сделан из глины. и и и и л л л и л л л л

0 1 0 1 Это простое высказывание. Оно ложно, потому что 0 при счете идет раньше, чем 1. 0 1 Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

0 1 0 1 и и и и л и л и и л л л

А) Осень. ИЛИ Идёт дождь. Б) Лето. И Идёт дождь. В)Лето ИЛИ Идёт дождь.

Осень. ИЛИ Идёт дождь. Осень. Это простое высказывание. Оно истинно, потому что листья опали, все вокруг желтое. Идёт дождь. Это простое высказывание. Оно истинно, потому что на картинке видно как идет дождь. Осень. ИЛИ Идёт дождь. Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

Осень Идет дождь Осень. ИЛИ Идет дождь. и и и и л и л и и л л л

Лето. И Идёт дождь. Лето. Это простое высказывание. Оно ложно, потому что на картинке изображена осень. Идёт дождь. Это простое высказывание. Оно истинно, потому что на картинке видно как идет дождь. Лето. И Идёт дождь. Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

Лето Идет дождь Лето. И Идет дождь. и и и и л л л и л л л л

Лето. ИЛИ Идёт дождь. Лето. Это простое высказывание. Оно ложно, потому что на картинке изображена осень. Идёт дождь. Это простое высказывание. Оно истинно, потому что на картинке видно как идет дождь. Лето. ИЛИ Идёт дождь. Это составное высказывание, потому что состоит из двух простых.

Лето Идет дождь Лето. ИЛИ Идет дождь. и и и и л и л и и л л л

1. Истинно или ложно будет составное высказывание при логическом умножении, если все простые высказывания в его составе будут истинны? Истинно 2. Истинно или ложно будет составное высказывание при логическом сложении, если все простые высказывания в его составе будут истинны? Истинно 3. Истинно или ложно будет составное высказывание при логическом умножении, если одно простое высказывание в его составе истинно, а другое ложно? Ложно 4. Истинно или ложно будет составное высказывание при логическом сложении, если одно простое высказывание в его составе истинно, а другое ложно? Истинно

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: 55874040217

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Зарплаты педагогов Ростовской области вырастут в среднем на 10-15%

Время чтения: 2 минуты

Итоговое сочинение успешно написали более 97% выпускников школ

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Российские юниоры завоевали 6 медалей на Международной научной олимпиаде

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Простые и составные высказывания

Есть два вида высказываний: 1) простые и 2) составные, или сложные.

Под простым высказыванием будем понимать такое высказывание, которое не может быть разбито на более простые высказывания. Высказывания А и В предыдущего примера – простые высказывания.

Про простое высказывание всегда однозначно можно сказать, что оно истинно или ложно, не интересуясь его структурой.

Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок или логических операций, например, союзов «и», «или», слов «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», можно строить сложные высказывания.

Например, из высказываний ; , используя логические операции, можно образовать следующие сложные высказывания:

,

,

.

Отметим, что сложные высказывания можно образовывать и из таких высказываний, которые не связаны между собой по смыслу. Например, высказывание:

составлено при помощи логической операции «если…, то…» из двух высказываний, между которыми нет никакой смысловой связи.

Сложные высказывания, как и простые, всегда или только истинны, или только ложны. Истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие логические связки (операции) использованы для образования сложного высказывания. Во-вторых, истинность или ложность сложного высказывания определяется тем, какие из простых высказываний, образующих сложное высказывание, истинны, а какие – ложны.

Логические операции

Операции над высказываниями – логические операции – обычно задают в виде таблиц, называемых таблицами истинности.

Операция отрицания, или отрицание высказывания

Для каждого высказывания А может быть сформировано новое высказывание (читается «не А», или «не верно, что А») – это отрицание высказывания А. Высказывание истинно, когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.

Таблица истинности для операции отрицания:

А

Операция отрицания – одноместная, или унарная, операция.

Последующие операции – двухместные, или бинарные.

Например, если — истинное высказывание, то

— ложное высказывание (отрицание А).

Отметим, что если <в комнате холодно>, то <в комнате не холодно>, но при этом высказывание <в комнате жарко>отрицанием высказывания В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний

Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (логическим произведением) этих высказываний: (выражение читается: «А и В»).

Логическое произведение истинно только в том случае, когда: «и А, и В одновременно истинны».

Таблица истинности для операции конъюнкции:

А

В

Пусть, например, , . Тогда высказывание С – истинно, т. к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для нескольких высказываний, как связку высказываний, объединённых союзом «и». Конъюнкция из n высказываний – новое высказывание, причём высказывание

А = А_i ; где i = 1; 2; …; n

имеет значение «истина», если и А₁, и А₂, и … А_n одновременно истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».

Пусть, например, А₁ , А₂ , А₃ , А₄ . Тогда высказывание

А₂ Ù А₃ Ù А₄ <(8 = 3)и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)> – ложное, в то время как высказывание

А₁ Ù А₃ Ù А₄ <(5 >3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)> – истинное.

Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний

Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (логической суммой) этих высказываний: (выражение читается: «А или В»).

Сумма является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

А

В

Пусть, например, , . Тогда высказывание или – истинно, т.к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединённых союзом «или»:

А = А_i ; где i = 1; 2; …; n

В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.

Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.

Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи слов «тогда и только тогда, когда…», называют эквивалентностью высказываний А и В: .

Для эквивалентности используют знак (или

Таблица истинности для операции эквивалентности:

А

В

Пусть <число 3n является чётным>, <число n является чётным>.

Высказывание <число 3n является чётным тогда и только тогда, когда n – чётное число> есть эквивалентность высказываний А и В: .

Операция импликации, или импликация высказываний

Высказывание С, составленное из высказываний А и В при помощи слов «если…, то…», называют импликацией высказываний А и В и 1б1-начают

(выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).

Импликация ложна только в том случае, когда А – истинное высказывание, а В – ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».

Таблица истинности для операции импликации:

А

В

Первый член импликации , – высказывание А, – называется посылкой, или условием, а второй член В – заключением.

Обратите внимание, что таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.

Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если…, то…» и «следует». Из третьей и четвёртой строк таблицы истинности для импликации вытекает, что если А – ложно, то, каково бы ни было В, высказывание считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует (может следовать) всё, что угодно.

Например, утверждение «если 6 – простое число, то », или утверждение «если , то существуют ведьмы» являются истинными логическими утверждениями. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».

Как говорил Р. Декарт: «Если 2 х 2 = 5, то я докажу, что из трубы вылетает ведьма».

Для иллюстрации содержательного смысла импликации рассмотрим ещё один пример.

Пусть <папа завтра получит премию>,

<папа завтра купит сыну велосипед>.

Импликация может быть сформулирована так:

«если папа завтра получит премию, то купит сыну велосипед».

Пусть А и В – истинны. Тогда папа, получив премию, покупает сыну велосипед. Естественно считать это истинным высказыванием.

Если же папа, получив премию (А – истинно), не купит сыну велосипед (В – ложно), то это, можно сказать, – не логичный поступок, и импликация имеет значение «ложь».

Если папа не получит премию (А – ложно), но купит велосипед (В – истинно), то результат положителен (импликация истинна).

Наконец, в том случае, если, не получив премии (А – ложно), папа не купит велосипед (В – ложно), то обещание не нарушено, импликация истинна.

Задача 1. Даны два высказывания и . В чём заключаются высказывания , , , ? Какие из этих высказываний истинны и какие ложны?

1) Высказывание , очевидно, ложно. Для того чтобы произведение двух высказываний было истинным, нужно чтобы оба высказывания были истинными.

2) Высказывание истинно, т.к. одно из слагаемых является истинным высказыванием.

Высказывание можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства .

3) Эквивалентность ( тогда и только тогда, когда ) представляет собой ложное высказывание, т.к. А – ложно, а В – истинно.

4) Импликация то является истинным высказыванием.

В самом деле, импликация согласно определению ложна только тогда, когда А – истинно, а В – ложно.

Источник