Что такое составные и несоставные числа

Составные числа

Любое натуральное число больше единицы является либо простым либо составным. Простым называют число, которое делится без остатка только на само себя или на единицу (2, 3, 5, 7 и т.д.). Составным называется число, которое имеет больше двух делителей (4, 6, 8 и т.д.).

Таблица составных чисел до 100

Самое маленькое составное число

Исходя из определения и пользуясь таблицей составных чисел, видно, что наименьшее натуральное составное число — 4.

Важно! Единица — не является ни простым, ни составным числом

Как определить составное ли число?

Возвращаясь к определению, получаем, что если число делиться без остатка на любое число, кроме самого себя и единицы — значит оно составное. Проверить это можно путем перебора делителей (к примеру, начать делить на 2, затем на 3 и т.д.), либо зная признаки делимости.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

Простые и составные числа

Основные определения

Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.

Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.

Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.

Число 4 — первое наименьшее составное число.

В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.

А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.

Таблица простых чисел до 1000

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Источник

Простые и составные числа: определения и примеры

Простые и составные числа: Freepick

Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.

Простые числа и их особенности

Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.

Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:

Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.

Числа в математике: Freepick

Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:

Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.

Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?

Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:

На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).

Что такое составные числа

Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.

Рассмотрим это на примере:

Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.

Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.

Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.

Математические расчеты: Freepick

Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.

Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.

Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.

Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.

Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена.

В этой статье мы изучим простые и составные числа. Сначала дадим определения простых и составных чисел, а также приведем примеры. После этого докажем, что простых чисел бесконечно много. Далее запишем таблицу простых чисел, и рассмотрим методы составления таблицы простых чисел, особо тщательно остановимся на способе, получившем название решето Эратосфена. В заключение осветим основные моменты, которые нужно учитывать при доказательстве того, что данное число является простым или составным.

Навигация по странице.

Простые и составные числа – определения и примеры

Понятия простые числа и составные числа относятся к целым положительным числам, которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел, нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные.

Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.

Учитывая, что целые положительные числа – это натуральные числа, и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.

Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.

Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.

Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными.

Приведем примеры простых и составных чисел.

В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.

Таблица простых чисел

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Простых чисел бесконечно много.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Опишем несколько первых шагов.

Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости, которые немного ускорят процесс поиска делителей.

Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый решето Эратосфена. Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.

Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.

Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.

Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?

Данное число простое или составное?

Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.

Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.

Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.

Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.

Число 11 723 простое или составное?

Источник