Что такое совпадающие точки

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Совпадающая точка

Совпадающим точкам обоих рядов отвечают одни и те же числа. [2]

Об ускорениях совпадающих точек двух звеньев при их относительном поступательном движении ( аналогична теореме 2 о скоростях, фиг. [4]

Любая пара совпадающих точек задает тождественное преобразование, которое будем называть нулевым вектором. Длина такого вектора равна нулю, а направление не определено. [5]

На рис. III-1 такими совпадающими точками могут быть, например, точки в начале координат или точки, соответствующие максимуму обеих кривых. [7]

Реинжиниринг и управление качеством имеют совпадающие точки зрения и важность процессов. Однако управление качеством за основу принимает существующие процессы, которые требуется улучшить ( цель: делать то, что делали, но только лучше), в то время как реинжиниринг заменяет существующие процессы на новые. [9]

При каком условии три попарно не совпадающие точки zt, 2а, 2з лежат на одной прямой. [10]

При каком условии три попарно не совпадающие точки zv Z2, z3 лежат на одной прямой. [11]

При каком условии четыре попарно не совпадающие точки zlt Z2, z3, z4 лежат на одной окружности или прямой. [12]

Команда Tools Check Coincident Points ( Совпадающие точки ) позволяет найти точки, имеющие близкое или одинаковое положение в пространстве. Такие точки называются совпадающими. [13]

К теоремам о скоростях и ускорениях совпадающих точек двух звеньев при их относительном поступательном движении. [15]

Источник

Точки, Прямые и Отрезки — Определения и Свойства

Вспомним определения точки и прямой:

Точка — это фигура в геометрии, не имеющая никаких
измеримых характеристик, кроме координат.

Прямая — это фигура в геометрии, которая не
имеет ни начала, ни конца.

Для изображения прямых на чертеже используют линейку, но
при этом можно изобразить только часть прямой, а вся прямая бесконечна.
Принято обозначать прямые малыми латинскими буквами, а точки —
большими латинскими буквами.

На рисунке 1 изображены прямая c и точки A, B, D, E. Точки А и B
лежат на прямой c, а точки D и E не лежат. Прямая с проходит через
точки A и B, но не проходит через точки С и D. Также заметим, что через
точки A и В нельзя провести другую прямую, не совпадающую с прямой c.

Через любые две точки можно провести прямую,
и притом только одну.

Если две прямые имеют общую точку, то можно сказать,
что они пересекаются. На рисунке 2 прямые a и b
пересекаются в общей точке C, а прямые e и f не
пересекаются, так как не имеют общей точки. Две прямые
не могут иметь двух и более общих точек, так как через две
и более точек проходит только одна прямая.

Две прямые имеют только одну общую точку,
либо не имеют общих точек.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают двумя
буквами. Для обозначения того, лежит ли точка на прямой или нет,
используют математический символ ∈ или ∉. Пример использования
математического символа ∈ или ∉ на рисунке 3.

Часть прямой ограниченная двумя точками называется отрезком. Точки,
ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Отрезок имеет
начало и конец. Пример отрезка на рисунке 4.

Источник

Прямая и ее части – что такое в математике, правило

В геометрии любой объект состоит из базовых элементов: точек, прямых и плоскостей. Любая фигура, не важно, плоская она или объемная, будет состоять из этих элементов. Определение точки понятно, но вот как понять, что такое прямая и как она может быть бесконечной – в 5 классе не так просто разобраться.

Определение прямой

Определение прямой начинается с определения линии. Что такое линия? Это множество точек, соединенных между собой. Линия может быть прямой, кривой, ломанной, непрерывной и даже разомкнутой. И именно из-за этого разнообразия линии очень трудно определить в пространстве. Непонятно, как пройдет та или иная кривая, когда выйдет за пределы листа. Поэтому был выделен отдельный вид линий – прямые.

Когда в разговоре вы слышите прямая – люди имеют в виду прямую линию, но последнее слово в словосочетании принято опускать.

Что такое прямая в математике? Прямые это бесконечные непрерывные линии, которые не имеют искривлений. Первое правило линий: через любые две точки можно провести линию. А вот через три точки уже не всегда. Чаще всего через три точки можно провести три прямых.

Если прямая проходит через три точки, то про эти точки говорят, что они лежат на одной прямой. Прямые, как правило, обозначают малой латинской буквой или по названию двух точек на прямой.

Почему двух, а не трех? Очень просто: через две точки может пройти только одна прямая. Тогда как через одну: бесконечное множество. А три точки не имеет смысла использовать: ни к чему усложнять обозначение.

Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут располагаться по-разному. Самый простой и частый случай это пересечение. Если две прямые имеют одну общую точку, про такие прямые говорят, что они пересекаются.

Рис. 2. Взаимное расположение прямых.

А как прямые назвать, если они не пересекаются? Тогда – параллельные, то есть прямые, которые не имеют общих точек.

А что будет, если у двух прямых две и больше общих точек? Тогда прямые совпадут.

При пересечении двух прямых образуется две пар вертикальных углов. Вертикальные углы в каждой паре равны между собой.

Если угол пересечения равен 90 градусов, то прямые перпендикулярны друг другу.

Рис. 3. Пересечение прямых.

Точка на прямой

Точка на прямой это почти магия. Сама по себе прямая это множество точек, но стоит отметить одну из них и геометрическую фигуру можно назвать как прямой, так и двумя лучами с началом в одной точке. Если поставить две точки на прямой, то они будут отделять часть прямой, которую называют отрезком.

Любой отрезок является частью прямой.

Что мы узнали?

Мы дали определении линиям, выделили виды линий, а так же рассмотрели, какая из линий может называться прямой. Поговорили о том, как обозначаются прямые и как они могут располагаться в пространстве относительно друг друга. Выяснили, что точка на прямой может сделать из прямой отрезок или луч.

Источник

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Источник