Что такое среднее арифметическое чисел правило
Простая формула, чтобы подсчитать среднее арифметическое
Понятие среднего арифметического
Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Формула среднего арифметического, которую обычно проходят в 5 классе, выглядит так:
Потренируемся использовать формулу среднего арифметического.
Например, найдем среднее арифметическое чисел 2, 3 и 4. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.
Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на 3, и получим ответ — 3.
Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: узнать среднюю цену товара в разных магазинах, вычислить среднюю зарплату сотрудников компании, сравнить среднюю посещаемость занятий учениками 5А и 5Б.
Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:
Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.
Примеры расчета среднего арифметического
Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.
Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.
Пример 2. Подсчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.
Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.
Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.
Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.
Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.
Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.
Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.
Еще больше интересных практических заданий — на курсах математики в онлайн-школе Skysmart. Вводный урок — бесплатно!
Что такое среднее арифметическое чисел: двух, трех, четырех и тд
В данной публикации мы рассмотрим, что такое среднее арифметическое чисел (двух, трех, четырех и т.д.), приведем формулу, с помощью которой его можно найти, а также разберем примеры задач для лучшего понимания теоретического материала.
Определение и формула
Среднее арифметическое двух и более чисел – это отношение их общей суммы к их количеству. Вычисляется следующим образом:
Частные случаи формулы:
 » data-order=»» style=»min-width:66.4828%; width:66.4828%;»> |
 » data-order=»«> |
 » data-order=»«> |
Примечание: Для обозначения среднего арифметического обычно используется греческая буква μ (читается как “мю”).
Примеры задач
Задание 1
У Пети было 4 яблока, у Даши – 6, а у Лены – 5. Они решили сложить все фрукты вместе и разделить поровну на каждого. Вычислите, сколько яблок достанется каждому.
Решение
В данном случае у нас три числа, и требуется найти их среднее арифметическое. Для этого воспользуемся представленной выше формулой:
Ответ: каждому полагается 5 яблок.
Задание 2
На преодоление дистанции из точки A в точку B спортсмен потратил 5 часов, при этом его скорость была следующей: первые два часа – 6 км/ч, затем два часа – 9 км/ч, и последние 60 минут – 7 км/ч. Найдите среднюю скорость.
Решение
Итак, нам нужно вычислить среднее арифметическое пяти чисел, которые соответствуют скоростям за каждый час бега:
Ответ: средняя скорость спортсмена – 7,4 км/ч.
Среднее арифметическое: физический смысл и визуализация
Переменная величина – атрибут (свойство) системы, меняющий свое числовое значение. Множество значений переменой величины может иметь вид:
Человек анализирует числовые данные такого рода и принимает решения. Знание температуры воздуха помогает правильно одеться. Курс валюты говорит покупать ее или продавать.
Когда значений одно или несколько, то никаких трудностей не возникает. Но когда значений десятки или сотни, то человеку сложно сразу понять, что означают полученные данные. На помощь приходят интегральные характеристики множеств значений и визуализация.
Одна из интегральных характеристик множества значений переменной величины – среднее арифметическое. Посмотрим на него с точки зрения статистики, физики (механики) и эстетики.
Среднее арифметическое двух чисел
Начнем с минимального набора чисел, для которых можно подсчитать среднее арифметическое. Вот два числа:
Их среднее арифметическое:
Физический смысл среднего арифметического
Изобразим два исходных числа и их среднее арифметическое на числовой оси:
Числа помечены черными кружками, а среднее арифметическое красным треугольником. Полученная конструкция – это весы. Для весов в равновесии правило рычага требует, чтобы моменты сил были равны. Весы не наклоняются ни в одну, ни в другую сторону, так как крутящий момент отсутствует.
В механике момент силы – это произведение силы F на расстояние l:
На плечи весов действует сила, создаваемая весом точек-«грузов». Обозначив расстояния от грузов до точки опоры l1 и l2, получим:
Точки-«грузы» отличаются только координатой на оси. Будем считать их вес одинаковым. Тогда:
Обозначив m координату точки опоры весов, получим:
Аналогично из формулы равенства моментов для произвольного количества N точек-«грузов» с одинаковым весом w выводится формула среднего арифметического. Равенство моментов для обоих плеч весов:
Координата опоры весов m:
Формула среднего арифметического дает координату точки опоры весов, находящихся в равновесии.
Визуальное восприятие равновесия
Равновесие в изобразительном искусстве играет важнейшую роль. Если при создании картины не достигнуто равновесие ее элементов, то произведение не будет законченным. В каждой картине художник создает равновесие различных визуальных сил.
Рудольф Арнхейм отмечает, что человеческое зрение способно обнаруживать малейшие отклонения от центра равновесия в изображении:
На приведенном примере слева круг находится в состоянии равновесия, а справа нет. Несмотря на то, что точка равновесия (центр квадрата) никак не отмечена на рисунке, человек с большой точностью может определить, находится ли круг в этой точке или нет.
Несмотря на то, что точка равновесия может быть не изображена, человек воспринимает ее как часть визуальной структуры:
Аналогично и среднее арифметическое: необязательно входит в набор чисел, но значимо для его восприятия и оценки.
Математическое ожидание случайной величины
Для случайной величины аналогом среднего арифметического служит математическое ожидание. Вероятность при этом можно считать весом точки-«груза». Формула равенства моментов с разными весами:
Теперь точка опоры весов в равновесии это μ:
Сумма всех вероятностей равна 1. Следовательно, и сумма весов равна 1. Тогда формула координаты точки весов в равновесии равна:
Это и есть формула математического ожидания.
Гистограмма
Гистограмма – это визуализация (геометрическое изображение) значений переменной величины с учетом вероятностей. Гистограмма показывает для выборки значений, какие из них появляются часто, какие реже, а какие совсем редко.
На гистограмме возможные значения откладываются по горизонтальной оси, а веса – по вертикальной. Диапазон значений по вертикали очевиден – от 0 до 1 (значения вероятности). По горизонтали диапазон должен включать ожидаемые значения переменной.
Гистограмма представляет собой простую картину (экземпляр изобразительного искусства). Зритель ожидает, что точка равновесия множества значений будет ровно посередине гистограммы:
Исходя из этого должен подбираться диапазон значений для горизонтальной оси гистограммы. Тогда сразу будет видно отклонение свойств выборки значений от ожидаемых:
Такого рода отклонение может быть вызвано выбросами. Выбросы – это значения, сильно отличающиеся от остальных. Благодаря правилу рычага, даже небольшое количество выбросов меняет точку равновесия и среднее арифметическое:
Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю. Архимед
Общие сведения
Понятие среднеарифметической величины впервые предложил древнегреческий ученый — Пифагор. Позднее этот термин стал использоваться в математике. Чтобы понять его смысл, необходимо получить базовые знания о числовых значениях. Они делятся на 2 вида:
Первый тип — натуральные числа, они применяются при устном счете предметов.
Дробные бывают также двух типов:
Десятичные дроби делятся на конечные, периодические и непериодические бесконечные. Первый тип состоит из целой и дробной частей, разделенных между собой запятыми. Как правило, количество разрядов ограничено определенным значением. Если рассматривать бесконечные периодические десятичные дробные выражения, они состоят из множества элементов. Последние повторяются с определенной периодичностью. Например, 5,(321), где величина периода указывается в круглых скобках.
В случае когда дробное тождество является бесконечным непериодическим, очень часто представление осуществляется в форме обыкновенной дроби. Последняя состоит из делимого и делителя, отделенных друг от друга косой чертой «/». Первый элемент именуется числителем, а второй — знаменателем.
Обыкновенные дробные выражения бывают правильными, неправильными, а также могут записываться в форме смешанного числа, т. е. величины, состоящей из целого компонента и обыкновенной правильной дроби.
Перед подсчетом значения среднего арифметического в 5 классе специалисты рекомендуют ознакомиться с алгоритмом работы со смешанными величинами.
Смешанные числа
Смешанные числа являются промежуточными величинами между обыкновенными дробями и целыми. Не каждое дробное тождество можно представить в таком виде. Для этого подойдет только неправильное выражение. Алгоритм преобразования:
Методика обратной конвертации смешанного числа в неправильное дробное выражение является еще одной операцией, о которой нужно знать. Ее реализация:
Специалисты рекомендуют начинающему математику потренироваться, придумывая различные задания на конвертацию числовых выражений.
Далее необходимо перейти непосредственно к определению, позволяющему расшифровать, что значит среднее арифметическое чисел, а также к самой методике расчета искомой величины.
Алгоритм нахождения среднего значения
Среднее арифметическое — математическая характеристика, позволяющая найти оптимальное значение.
Например, на уроках выставляется оценка за месяц. Для ее вычисления необходимо найти среднее значение всех отметок, полученных учеником.
Кроме того, среднее арифметическое используется при вычислении какой-либо характеристики опытным путем.
Например, при расчете заряда электрона производится определенное количество измерений, а затем рассчитывается средняя величина заряда частицы.
Методика определения среднеарифметического значения:
Для реализации алгоритма на практике необходимо записать несколько чисел — 4, 7, 8, 12, 15. Решение выглядит следующим образом:
В некоторых случаях результат необходимо округлять. Однако этого можно не делать при подсчете какой-либо физической величины.
При проведении опытов необходимо брать больше значений, поскольку это существенно влияет на точность получения данных.
Пример решения
Для закрепления теории необходимо разобрать пример и решить его. Например, нужно найти среднее арифметическое четырех смешанных чисел, а именно: 3 2/3, 4 5/7 и 6 3/8.
Решение выполняется по следующему алгоритму:
При получении результата в виде неправильной дроби, его нужно преобразовать в смешанную величину. Это считается «правилом хорошего тона» в математике, поскольку любой ответ должен переводиться в читабельную сокращенную форму.
Кроме того, можно проверить результат выполнения операции, воспользовавшись онлайн-сервисами. Однако пользоваться ими часто не рекомендуется, поскольку нужно уметь искать ошибки самостоятельно.
Таким образом, для вычисления среднеарифметического значения необходимо знать специальную методику, предложенную специалистами в области математики.
Математика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Понятие среднего арифметического
К сестрам Марине, Наталье, Елене в гости приехала бабушка. Она привезла своим внучкам гостинцы: восемнадцать конфет, шесть шоколадок, шесть киндер-сюрпризов. Сказала угощение разделить поровну. Определите, сколько сладостей достанется каждой девочке?
Ответ на вопрос, можно получить двумя способами. Рассмотрим их.
Чтобы выяснить, сколько сладостей достанется одной девочке, нужно каждый вид угощения разделить поровну – на 3.
Разделим конфеты между детьми:
Теперь известно, что каждому ребенку досталось 6 конфет.
Каждой внучке досталось две шоколадки.
Разделим шоколадные яйца:
Выяснили, бабушка привезла по два киндер-сюрприза.
Стало известно, сколько гостинцев получил один ребенок. Теперь, вычислим, сколько сладостей досталось каждой девочке. Сложим количество конфет(6), шоколадок(2), киндер-сюрпризов(2), имеющихся у одной девочки:
Получается, бабушка привезла по 10 сладостей.
Запишем решение задачи.
Как видите, способ, довольно простой, ноимеет длинную запись, занимает много времени. Рассмотрим второй способ решения задач такого вида.
Известно, сколько гостинцев привезла бабушка: конфет–восемнадцать, шоколадок – шесть, киндер-сюрпризов – шесть. Чтобы узнать количество гостинцев, доставшееся каждой сестре, сложим гостинцы и разделим поровну. То есть, суммируем привезенные подарки, делим на 3. Такой способ решения, имеет название в математике – «Нахождение среднего арифметического». Сформулируем, определение, среднего арифметического:
Используя, рассмотренное определение, найдем общее количество угощения, для этого сложим количество сладостей каждого вида конфеты + шоколадки + киндеры:
Получается, что всего было 30 угощений. Теперь, эту сумму(30) делим на количество слагаемых(3), использованных в сумме:
Каждой внучке досталось по 10 сладостей.
Запишем решение этой задачи с использованием второго способа.
Как видите, второй способ, более краткий и удобный. Главное – запомнить изученное определение. Ведь, решение задач такого вида часто встречается на протяжении всего учебного процесса!
Алгоритм нахождения среднего арифметического
Рассмотрим следующую задачу.
Два брата-садовода продавали собранные фрукты. Первый брат продал яблок на 25000 рублей, а второй брат продал груш на сумму 15000 рублей. Все заработанные деньги братья разделили поровну. Сколько денег заработал каждый садовод?
Чтобы ответить на вопрос, необходимо использовать изученное правило.
Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно сумму этих чисел разделить на их количество. Для этого:
1. Определяем количество слагаемых;
2. Находим сумму всех слагаемых;
3. Делим полученную сумму на количество слагаемых
В начале давайте определим количество слагаемых. Так как фрукты продавали два садовода, то и делить выручку будем между ними. То есть количество слагаемых в сумме – два.
Теперь можем найти общую сумму, заработанную братьями. Для этого, складываем выручку первого и второго брата:
Всего они заработали 40000 рублей.
Зная, что общая сумма равна 40000 рублей, мы можем найти сумму заработка каждого садовода. Для этого полученную сумму (40000) делим на количество слагаемых (2):
Получается, заработок садовода составил 20000 рублей.
В ходе решения данной задачи мы составили алгоритм нахождения среднего арифметического.
Алгоритм вычисления среднего арифметического:
1. Находим слагаемые и считаем их количество;
2. Суммируем все слагаемые;
3. Полученную сумму делим на количество слагаемых
Держи табличку всегда под рукой, тогда сможешь найти среднее арифметическое любых чисел!
Найди среднее арифметическое чисел 10,20,30,40.
Чтобы выполнить необходимые вычисления, вспоминаем,
Мы уже знаем, что для вычисления заданий, такого вида, существует специальный алгоритм. Используя данный алгоритм,выполним все необходимые действия.
Следуя определенному алгоритму, мы без труда выполнили задание.
Запомни формулу среднего арифметического!
В заключение нашего урока рассмотрим еще одну задачу.
В школе четыре пятых класса 5А,5Б,5В,5Г. 5А – 22 ученика, 5Б –30 учеников, 5В – 28 детей, 5Г – 20. Найдите, сколько детей училось бы в каждом классе, если во всех классах учеников будет поровну.
Исходя из условия, в этой задаче нужно найти среднее количество учеников в одном классе. Чтобы ответить на главный вопрос, необходимо воспользоваться алгоритмом вычисления среднего арифметического.
Значит, если бы во всех пятых классах школы, училось равное количество учеников, в каждом классе было по 25 детей.
Сегодня вы узнали, как найти среднее арифметическое число. Внимательно рассмотрите урок, и запомните основные определения и алгоритмы! Тогда, любая контрольная будет по плечу!
Интересные факты
Когда трескается стекло, трещина распространяется со скоростью 5000 км/ч.