Что такое среднее гармоничное
Среднее гармоническое
Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднего гармонического, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию.
Рис.1. Гармонический ряд и среднее гармоническое
Среднее гармоническое от двух реже трех чисел используется в математике не менее двух с половиной тысяч лет (возможно более 4000 лет). Свойства средних гармонических, арифметических и геометрических величин для двух чисел были детально изучены еще пифагорейцами, поэтому они так же называются классическими пифагорейскими средними.
Свое название среднее гармоническое получило благодаря замечательному свойству гармонического ряда: каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее обратно-пропорциональное от двух соседних членов (рисунок). Это свойство гармонического ряда было известно еще во времена Аристотеля.
.
В свете современных представлений:
Среднее гармоническое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат деления количества этих чисел на сумму их обратных величин:
Среднее степенное значение sd порядка (степени) d от множества заданных чисел a 1 + a 2 + …+ a n определяется формулой:
Среднее гармоническое
Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных, то есть число
 |
 Статистические показатели | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Описательная статистика |
| ||||||||||||
| Статистический вывод и проверка гипотез |
| ||||||||||||
| Корреляция | Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания | ||||||||||||
| Линейные модели | Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ | ||||||||||||
| Регрессия | Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия | ||||||||||||
Полезное
Смотреть что такое «Среднее гармоническое» в других словарях:
СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ — англ. mean, harmonic; нем. Mittel, harmonisches. Измерение центральной тенденции ряда мат. величин, исчисляемое произведением n числа величин и извлечением корня n степени из этого произведения. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
среднее гармоническое — harmoninis vidurkis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Apibrėžtį žr. priede. priedas( ai) Grafinis formatas atitikmenys: angl. harmonic average; harmonic mean vok. harmonisches Mittel, n rus. среднее гармоническое, n… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
среднее гармоническое — harmoninis vidurkis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic average; harmonic mean vok. harmonisches Mittel, n rus. среднее гармоническое, n pranc. moyenne harmonique, f … Fizikos terminų žodynas
СРЕДНЕЕ, ГАРМОНИЧЕСКОЕ — Измерение центральной тенденции набора значений, представленное обратной величиной среднего арифметического обратных величин набора значений. Имеет ограниченное использование, преимущественно встречается при определении среднестатистической… … Толковый словарь по психологии
СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ — англ. mean, harmonic; нем. Mittel, harmonisches. Измерение центральной тенденции ряда мат. величин, исчисляемое произведением n числа величин и извлечением корня n степени из этого произведения … Толковый словарь по социологии
Среднее гармоническое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как В том случае, если все веса равны между собой, среднее гармоническое взвешенное равно среднему гармоническому. Существуют также взвешенные версии для других средних величин.… … Википедия
Среднее геометрическое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому. См. также Среднее геометрическое … Википедия
Среднее арифметическое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как Часто подразумевают, что сумма весов равна 1, тогда формула выглядит следующим образом: В том случае, если все веса равны между собой, среднее арифметическое взвешенное будет равно … Википедия
Среднее взвешенное — Среднее взвешенное общее название группы разновидностей среднего значения либо короткое название для любого из перечисленных: Среднее арифметическое взвешенное Среднее геометрическое взвешенное Среднее гармоническое взвешенное … Википедия
Гармоническое среднее
Гармоническое среднее может быть выраженно в виде обратной части среднего арифметических величин, обратные данный набор наблюдений. В качестве простого примера, гармоническое среднее для 1, 4 и 4 равно
Третья формула в приведенном выше уравнении выражает гармоническое среднее как обратное к среднему арифметическому обратных величин.
По следующей формуле:
Поскольку гармоническое среднее значение списка чисел сильно стремится к наименьшим элементам списка, оно имеет тенденцию (по сравнению со средним арифметическим) смягчать влияние больших выбросов и усугублять влияние мелких.
Среднее арифметическое часто по ошибке используется в тех местах, где требуется гармоническое среднее. [3] Например, в приведенном ниже примере скорости среднее арифметическое 40 неверно и слишком велико.
Два числа
В частном случае всего двух чисел Икс 1 <\ displaystyle x_ <1>> 
а также Икс 2 <\ displaystyle x_ <2>> , гармоническое среднее можно записать
Три числа
В частном случае трех чисел Икс 1 <\ displaystyle x_ <1>> , Икс 2 <\ displaystyle x_ <2>> а также Икс 3 <\ displaystyle x_ <3>> , гармоническое среднее можно записать
Невзвешенное гармоническое среднее значение можно рассматривать как частный случай, когда все веса равны.
В физике
Средняя скорость
Плотность
Электричество
Если соединить два электрических резистора параллельно, один с сопротивлением x (например, 60 Ом ), а другой с сопротивлением y (например, 40 Ом), то эффект будет таким же, как если бы использовались два резистора с одинаковым сопротивлением, оба равно среднему гармоническому значению x и y (48 Ом): эквивалентное сопротивление в любом случае составляет 24 Ом (половина от среднего гармонического). Тот же принцип применяется к конденсаторам, включенным последовательно, или к индукторам, включенным параллельно.
Как и в предыдущем примере, тот же принцип применяется, когда подключено более двух резисторов, конденсаторов или катушек индуктивности, при условии, что все они включены параллельно или все включены последовательно.
«Эффективная масса проводимости» полупроводника также определяется как среднее гармоническое значение эффективных масс вдоль трех кристаллографических направлений. [7]
Оптика
В финансах
Средневзвешенное гармоническое среднее является предпочтительным методом для усреднения мультипликаторов, таких как соотношение цена / прибыль (P / E). Если эти отношения усредняются с использованием средневзвешенного арифметического, высоким точкам данных присваивается больший вес, чем низким точкам данных. С другой стороны, взвешенное среднее гармоническое правильно взвешивает каждую точку данных. [9] Простое взвешенное среднее арифметическое, применяемое к ненормированным по цене коэффициентам, таким как P / E, смещено в сторону повышения и не может быть оправдано численно, поскольку оно основано на уравненной прибыли; точно так же, как скорость транспортных средств не может быть усреднена для поездки туда и обратно (см. выше). [10]
Используя средневзвешенное арифметическое значение (неверно):
Используя взвешенное гармоническое среднее (правильное):
Таким образом, правильный P / E 93,46 этого индекса может быть найден только с использованием взвешенного среднего гармонического, в то время как взвешенное среднее арифметическое будет значительно его завышать.
В геометрии
В других науках
В саберметрии число мощности и скорости игрока является гармоническим средним из их хоум-рана и украденных базовых тоталов.
В популяционной генетике гармоническое среднее используется при расчете влияния колебаний численности населения переписи на эффективный размер популяции. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как узкое место в популяции, увеличивают скорость генетического дрейфа и уменьшают количество генетических вариаций в популяции. Это результат того факта, что после узкого места очень немногие люди вносят вклад в генофонд, ограничивая генетические вариации, присутствующие в популяции для многих будущих поколений.
В химии и ядерной физике средняя масса на одну частицу смеси, состоящей из различных компонентов (например, молекул или изотопов), дается гармоническим средним масс отдельных частиц, взвешенных по их соответствующей массовой доле.
показывая, что при α = β среднее гармоническое колеблется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.
Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (ненулевым) и другим параметром, приближающимся к этим пределам:
В случае среднего геометрического гармоническое среднее может быть полезно при оценке максимального правдоподобия в случае четырех параметров.
показывая, что при α = β среднее гармоническое колеблется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.
Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:
Хотя оба гармонических средних асимметричны, при α = β два средних значения равны.
Гармоническое среднее ( H ) логнормального распределения равно [15]
Гармонические и арифметические средние связаны соотношением
Геометрические ( G ), арифметические и гармонические средние связаны соотношением [16]
Гармоническое среднее распределение Парето типа 1 равно [17]
Для случайной выборки среднее гармоническое значение рассчитывается, как указано выше. И среднее значение, и дисперсия могут быть бесконечными (если они включают хотя бы один член формы 1/0).
Выборочные распределения среднего и дисперсии
Сама дисперсия среднего составляет [18]
Дельта-метод
Метод складного ножа
Этот метод сначала требует вычисления среднего значения выборки ( m )
Затем берется среднее значение ( h ) w i :
Дисперсия среднего составляет
Выборка со смещением размера
Предположим, что случайная величина имеет распределение f ( x ). Предположим также, что вероятность того, что переменная будет выбрана, пропорциональна ее значению. Это известно как выборка на основе длины или размера.
Ожидаемое значение этого смещенного по длине распределения E * ( x ) равно [18]
Ожидание гармонического среднего такое же, как и для версии E ( x ) без смещения длины.
Проблема смещения выборки по длине возникает в ряде областей, включая текстильное производство [20], анализ родословной [21] и анализ выживаемости [22].
Акман и др. разработали тест для обнаружения систематической ошибки в выборках, основанной на длине. [23]
Сдвинутые переменные
Моменты
Если предположить, что X и E ( X )> 0, то [24]
Гурланд показал, что [25] для распределения, которое принимает только положительные значения, для любого n > 0
При некоторых условиях [26]
Свойства выборки
Предполагая, что переменные ( x ) взяты из логнормального распределения, существует несколько возможных оценок для H :
Оценщики смещения и дисперсии
Аппроксимация первого порядка смещения и дисперсии H 1 равна [28]
Аналогично в первом приближении с целью смещения и дисперсии H 3 являются [28]
Агентство по охране окружающей среды рекомендует использование гармонического среднего в установлении максимальных уровней токсинов в воде. [29]
В геофизических пластовых инженерных исследованиях, средний гармоническая широко используются. [30]
Гармоническое Среднее
Что такое Гармоническое Среднее?
Гармоническое среднее – это разновидность среднего численного значения. Он рассчитывается путем деления количества наблюдений на обратную величину каждого числа в серии. Таким образом, гармоническое среднее является величиной, обратной среднему арифметическому обратных величин.
Среднее гармоническое значение 1, 4 и 4 равно:
Краткая справка
Обратное значение числа n равно 1 / n.
Основы гармонического среднего
Гармоническое среднее помогает найти мультипликативные отношения или отношения делителей между дробями, не беспокоясь об общих знаменателях. Гармонические средние часто используются для усреднения таких вещей, как скорости (например, средняя скорость движения при продолжительности нескольких поездок).
Средневзвешенное гармоническое среднее используется в финансах для усреднения мультипликаторов, таких как соотношение цены и прибыли, поскольку оно придает одинаковый вес каждой точке данных. Использование взвешенного среднего арифметического для усреднения этих соотношений даст больший вес высоким точкам данных, чем низким точкам данных, потому что соотношение цена / прибыль не нормализуется по цене, в то время как прибыль выравнивается.
Ключевые моменты
Сравнение среднего гармонического и среднего арифметического и среднего геометрического
Другие способы вычисления средних значений включают простое среднее арифметическое и среднее геометрическое. Среднее арифметическое – это сумма серии чисел, деленная на количество этой серии чисел. Если бы вас попросили найти среднее (арифметическое) среднее количество баллов за тест, вы просто сложите все баллы учащихся, а затем разделите эту сумму на количество учащихся. Например, если пять студентов сдали экзамен и их баллы составили 60%, 70%, 80%, 90% и 100%, средняя арифметическая оценка по классу будет 80%.
Среднее геометрическое среднее из набора продуктов, расчет которых обычно используется для определения результатов эффективности инвестиций или портфеля. Технически это определяется как «произведение корня n-й степени из n чисел». Среднее геометрическое должно использоваться при работе с процентами, которые выводятся из значений, в то время как стандартное среднее арифметическое работает с самими значениями.
Гармоническое среднее лучше всего использовать для таких дробей, как ставки или кратные.
Пример среднего гармонического
В качестве примера возьмем две фирмы. Один имеет рыночную капитализацию 100 миллиардов долларов и прибыль 4 миллиарда долларов (P / E 25), а другой – рыночную капитализацию 1 миллиард долларов и прибыль 4 миллиона долларов (P / E 250). В индексе, составленном из двух акций, с 10% инвестиций в первую и 90% во вторую, коэффициент P / E индекса равен:
Гармоническое число
В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:
Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.
Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.
Содержание
Альтернативные определения
Дополнительные представления
Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках отличных от точек натурального ряда):
Свойства
Значения от нецелого аргумента
Суммы, связанные с гармоническими числами
Теоретико-числовые свойства
Приложения
В 2002 году Lagarias доказал, [1] что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство
верно при всех целых 
со строгим неравенством при 
1″ border=»0″ />, где 
— сумма делителей числа 
.
См. также
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Гармоническое число» в других словарях:
Гармоническое среднее — число (у), обратное которому есть Арифметическое среднее чисел, обратных данным числам (а1, a2. an): … Большая советская энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ — число (у), обратное к рому есть арифметич. среднее чисел, обратных данным числам (a1 a2. an) … Большой энциклопедический политехнический словарь
Число 666 — 666 шестьсот шестьдесят шесть 663 · 664 · 665 · 666 · 667 · 668 · 669 Факторизация: 2⋅32⋅37 Римская запись: DCLXVI Двоичное: 1010011010 Восьмеричное: 1232 Шестнадцатеричное: 29A … Википедия
Среднее гармоническое — Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных, то есть число Содержание 1 Свойства 2 Приложения и примеры … Википедия
666 (число) — 666 шестьсот шестьдесят шесть 663 · 664 · 665 · 666 · 667 · 668 · 669 Факторизация: Римская запись: DCLXVI Двоичное: 1010011010 Восьмеричное: 1232 Шестнадцатеричное: 29A … Википедия
Задача о джипе — (англ. Jeep problem, desert crossing problem, exploration problem) математическая задача, целью которой является максимизация пути, который можно преодолеть на джипе с полным баком топлива в труднопреодолимых условиях, к примеру, в… … Википедия
Биномиальный коэффициент — В математике биномиальные коэффициенты это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»): В … Википедия
Гипотеза Римана — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга Миллса Существование и гладкость решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Бёрча Свиннертон Дайера Гипотеза Римана о… … Википедия