Что такое средний угол треугольника
Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Формулы площади треугольника
Формула Герона
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Справочный материал «Треугольники»
Содержимое разработки
а) Прямоугольные, тупоугольные, остроугольные.
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
По двум сторонам и углу между ними
По стороне и двум прилежащим к ней углам
Медиана треугольника– отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.
Биссектриса треугольника – отрезок соединяющий вершину треугольника с противолежащей стороной и делящий угол пополам.
Биссектрисы пересекаются в одной точке.
Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, на которой лежит противоположная сторона.
Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника..
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника.
Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Соотношение между сторонами и углами треугольника.
против большей стороны лежит больший угол;
против большего угла лежит большая сторона.
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Сторону, которая лежит напротив прямого угла, называют гипотенузой.
Катетами называются стороны, которые образуют прямой угол.
Свойства прямоугольного треугольника
Гипотенуза больше любого катета.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30°.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Высота hc, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.
Каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Признаки прямоугольного треугольника
— Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.
по гипотенузе и катету,
по катету и острому углу,
по катету и гипотенузе.
Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
Отношения сторон прямоугольного треугольника не зависят от величин этих сторон, а зависят от величины острых углов прямоугольного треугольника. Для этих отношений были введены специальные названия и обозначения(тригонометрические функции).
синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Тригонометрические равенства
Основное тригонометрическое тождество
Связь между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
Катет, лежащий против острого угла, равен произведению гипотенузы на синус острого угла.
Катет, прилежащий к острому углу, равен произведению гипотенузы на косинус острого угла.
Катет, лежащий против острого угла, равен произведению второго катета на тангенс острого угла.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению противолежащего катета к синусу острого угла.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению прилежащего катета к косинусу острого угла.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.
AB и BC – боковые стороны ∆ABC, AC – основание ∆ABC.
Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Площадь прямоугольного треугольника.
SΔ=(½) a∙b, где a и b — катеты или SΔ=(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.
Подобие – это преобразование, при котором расстояние между точками изменяется в одно и то же число раз. Преобразование подобия сохраняет градусные меры углов.
Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Признаки подобия треугольников:
1 признак – по двум углам (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны);
3 признак – по трем сторонам (если все стороны одного треугольника пропорциональны всем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны).
Если треугольники подобны, то у них соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.
Треугольник
Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.
Типы треугольников
По величине углов
Остроугольный треугольник
— все углы треугольника острые.
Тупоугольный треугольник
— один из углов треугольника тупой (больше 90°).
Прямоугольный треугольник
— один из углов треугольника прямой (равен 90°).
По числу равных сторон
Разносторонний треугольник
— все три стороны не равны.
Равнобедренный треугольник
Равносторонний (правильный) треугольник
— все три стороны равны.
Вершины, углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin α = b sin β = c sin γ
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Формулы сторон через медианы
Медианы треугольника
Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника
S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
Биссектрисы треугольника
Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Свойства биссектрис треугольника
Угол между l c и l c ‘ = 90°
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны
где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол
l a = 2 b c cos α 2 b + c
l b = 2 a c cos β 2 a + c
l c = 2 a b cos γ 2 a + b
Высоты треугольника
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
Формулы высот треугольника через сторону и угол
h a = b sin γ = c sin β
h b = c sin α = a sin γ
h c = a sin β = b sin α
Формулы высот треугольника через сторону и площадь
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
Окружность вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности
Окружность описанная вокруг треугольника
Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Свойства углов
Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Радиус описанной окружности через три стороны и площадь
Радиус описанной окружности через площадь и три угла
Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то
Радиус описанной окружности через площадь и три угла
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника
Признаки
Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.
Формулы площади треугольника
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.
где a, b, c — стороны треугольника,
ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.
Формула площади треугольника по трем сторонам
где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Равенство треугольников
Определение
Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.
Свойства
У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).
Признаки равенства треугольников
По двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
По стороне и двум прилежащим углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
По трем сторонам
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подобие треугольников
Определение
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
где k — коэффициент подобия.
Признаки подобия треугольников
Свойства
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Прямоугольные треугольники
Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Свойства прямоугольного треугольника
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.
Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.
Свойства
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: