Что такое сс вообще и позиционная сс в частности

Системы счисления (СС)

СС называется способ представления числа символами.

СС бывают позиционные и непозиционные.

В позиционной СС величина, которую обозначает цифра в записи числа, зависит от позиции цифры в этом числе, а в непозиционных – не зависит.

Позиционные СС

Позиционные СС характеризуются определённым алфавитом цифр и основанием.

Алфавит СС – множество цифр, используемых в ней. Основание СС – это мощность алфавита (число цифр).

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает от младших разрядов к старшим справа налево. Наименьшее возможное основание позиционной СС – 2. Наиболее распространённой СС считается десятичная система.

Число в позиционной СС записывается в виде суммы ряда степеней основания с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры данной системы.

Общий вид представления числа в разных СС

Непозиционные СС

Самой распространённой из непозиционных СС является римская. В качестве цифр в римской системе используются: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

Значение цифры не зависит от её положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра Х встречается трижды и, в каждом случае, означает одну и ту же величину – число 10, три раза по 10 даёт в сумме 30.

Величина числа в римской СС определяется как сумма и разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

Например, 1998 в римской СС будет выглядеть следующим образом:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Билет № 10

Вопрос 1. Устройство компьютера. Структурная схема.

ПК представляет собой комплект устройств. Главным в этом комплекте является системный блок. В системном блоке находится мозг машины: микропроцессор и внутренняя память. Там же помещаются: блок электропитания, дисководы, контроллеры внешних устройств.

Системный блок помещён в металлический корпус, на поверхности которого имеются (как минимум): клавиша включения электропитания, щели для установки дискет в дисковые устройства, разъёмы для подключения внешних устройств.

Кроме системного блока в обязательный минимальный комплект ПК входят: клавиатура и монитор (дисплей). Дополнительно к минимальному комплекту ПК могут быть подключены: принтер, мышь, модем и др. устройства.

Микропроцессор является электронным устройством. Поэтому различные виды информации должны обрабатываться в нём в форме последовательностей электрических импульсов.

Источник

1) Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры зависит от её положения в числе.

Например, запись «102» обозначает сто два, «120» — сто двадцать, при этом для записи числа используются одни и те же цифры, число зависит от их позиции. Любая позиционная система характеризуется её основанием.

Основание системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Например, в десятичной системе используются десять символов (цифры от 0 до 9), следовательно основание системы десять.

Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты без применения вычислительной техники. Широко применяемые сегодня двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы с основаниями два, десять, восемь и шестнадцать являются позиционными системами счисления.

Продвижением цифры называют её замену на следующую по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3. Продвижение старшей цифры в десятичной системе (это цифра 9) означает замену её на 0.

В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления формируются с помощью правил счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть крайнюю правую цифру числа, при этом если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно также продвинуть цифру, стоящую слева от неё. Если цифры слева нет, вместо нее ставится ноль и продвигается.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел в различных системах счисления.

В двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.

В шестнадцатеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (первые десять цифр совпадают с десятичными, а числа от 10 до 15 в шестнадцатеричной системе изображаются буквами A, B, C, D, E, F).

В восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

2) Непозиционные системы счисления — это такие системы, в которых значение цифры не зависит от ее положения в числе. При этом система может накладывать определенные ограничения на порядок цифр (расположение по возрастанию или убыванию).

3) Смешанные системы счисления — это такие системы, в которых числа, заданные в системе счисления с основанием Р изображают с помощью цифр другой системы с основанием Q, где Q

Пример смешанной системы счисления — денежные знаки. Чтобы получить определенную сумму, нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Таким образом, у этой системы целый ряд оснований, равный достоинствам денежных знаков, также используется основание той системы, с помощью которой производится их счет.

Источник

Позиционные системы счисления

Дополнительной домашнее задание: придумайте свою непозиционную сc, указав при этом: какие знаки использовать в качестве цифр, правила по которым формируются из этих цифр числа.

Цель: сформировать у учащихся понятие «позиционные системы счисления»; закрепить понятия «непозиционные системы счисления», «системы счисления».
Задачи:
1. Повторить понятия «система счисления», «непозиционные системы счисления».
2. Ввести понятия: «позиционная система счисления», «основание системы счисления», «алфавит».
3. Провести сравнительный анализ непозиционных и позиционных систем счисления.
Учащиеся должны знать:

Учащиеся должны уметь:

Программно-дидактическое обеспечение: Приложение 1, Приложение 2.

Ход урока

А сейчас прервемся на физкультминутку:
Физкультминутка коротка,
Встряхнем руками мы слегка,
Потянемся немножко,
Посмотрим мы в окошко.
Присядем мы и встанем,
И опять за парты сядем.

Раз – два – присели, встали.
Три – четыре – руки вверх: потянули, потянули.
Отдохнули? Отдохнули.

Сегодня десятичными цифрами выражается все: время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.
Особенностью образования чисел в десятичной сс является то, что из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в 10 раз больше правой.
Например, число 333. (презентация, слайд 8). В записи этого числа используется трижды цифра 3. Но вклад каждой цифры в величину числа различный. Первая означает число сотен, вторая – число десятков, третья – число единиц.
– Что можно сказать про «вес» каждой цифры в этом числе? (Если сравнивать «вес» каждой цифры в этом числе, то получится, что первая 3 «больше» второй в 10 раз и «больше» третьей в 100 раз. Этот принцип отсутствует в непозиционных сс).
Не только сама цифра, но и ее место, ее позиция, в числе имеют определенное значение. Поэтому данную сс называют позиционной. (предложить самим сформулировать определение). (презентация, слайд 9)
Позиционная сс – это сс, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Французский математик Пьер Симон Лаплас такими словами оценил «открытие» позиционной сс: «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна». (есть слайд переход по гиперссылке)

Основные достоинства любой позиционной сс – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
(презентация, слайд 10) Конечная последовательность символов (цифр), с помощью которых записывается число называется алфавитом сс.
Основание позиционной сс – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел (или количество символов в алфавите).
В десятичной сс 10 цифр, основание равно 10, алфавит состоит из символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но 10 не единственно возможное основание позиционной сс.
– Сколько можно образовать позиционных сс? (множество, достаточно изменить основание сс). Названия систем счисления образуются по основанию сс (слайд 11): двоичная, пятеричная, восьмеричная и т.д.
– А если основание равно 1? Что это за система? (единичная – унарная, в ее алфавите только 1 символ, это непозиционная сс).
(Приложение 1, слайд 12) Таблицу должны заполнить сами учащиеся по презентации «История счета и систем счисления» (Приложение 2), по 2 человека за ПК, каждому выдается свой вид позиционной сс. Алфавит составляется самостоятельно. Все сводится в единую таблицу. (сидя за ПК, за парты не возвращаться).
Примеры позиционных сс.

3. Выводы:
Позиционные системы счисления отличаются друг от друга алфавитом – множеством используемых цифр. Системы счисления с основанием не больше 10 используют только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роле цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке.
Сравнение позиционной и непозиционной сс:
Самое главное (Приложение 1, слайд 13)

ДОМА: § 4.7 – 4.10, РТ № 11 стр. 9, № 17 стр. 12.

Источник

Позиционные и непозиционные системы счисления

Лабораторная работа № 2

Системы счисления: основные понятия и определения.

Цель и содержание

Ознакомить студентов с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Научить студентов производить арифметические действия в двоичной системе счисления.

Данное практическое занятие содержит сведения о существующих системах счисления, приводится методика выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления.

Теоретическое обоснование

Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления (CC) – это совокупность набора символов (цифр) и правил, используемых для записи чисел. СС делятся на:

– позиционные;

– непозиционные.

В позиционной СС (ПСС), значение символа зависит от позиции в которой он находится. Примером позиционной системы счисления является десятичная система.

Непозиционными являются такие системы, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Непозиционной СС является римская система. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Основной характеристикой ПСС является основание. Оно указывает на количество символов, употребляемых в ПСС, определяет название ПСС и обозначается p. Например, в десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, следовательно основание этой ПСС p =10.

В ЭВМ применяют следующие ПСС: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Основной СС применяемой в ЭВМ является двоичная система. Это связано с тем, что в аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое – 1.

Двоичная система счисления.Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде: полинома

,

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1).

Таблица 2.1 – Позиционные системы счисления

Любое вещественное число (десятичная дробь) принято представлять в виде последовательности символов. В этой последовательности десятичная точка (запятая) отделяет целую часть числа от дробной, если число целое точка опускается. Для удобства позиции символов в этой последовательности нумеруется.

Номер позиции символа(цифры) в числе называетсяразрядом.Крайний левый разряд числа называетсястаршим разрядом,а крайний правый– младшим разрядомэтого числа.Количество символов в числе определяют разрядность числа.

Нумерация разрядов целой части производится справа налево от десятичной точки, от 0 до n. Нумерация разрядов дробной части производится слева направо от десятичной точки, от -1 до –m.

где R_p – вещественное число, представленное в ПСС с основанием p;

a_i – символ (цифра) находящийся в i-ом разряде числа;

Номер старшего разряда– n, номер младшего разряда– ( –m )

Любое вещественное число R, представленное в ПСС с основанием p, может быть представлено в виде полинома:

a_j – символ (цифра) находящийся в i-о м разряде числа;

p i – вес символа (цифры) находящегося в i-ом разряде числа.

Целая часть вещественного числа R_p в полиноме выделена подчеркиванием. Если в виде полинома необходимо представить целое число разложение дробной части (невыделенной подчеркиванием) из полинома отбрасывается.

Пример 2.3. Представить число 5147,56₁₀ в виде полинома.

Рассмотрим исходное число. Количество цифр в этом числе 6 следовательно разрядность числа равна 6.

Пронумеруем позиции исходного числа:

Представим число 5147,56 в виде полинома:

2.2 Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицей 2.

Таблица 2 – Правили выполнения арифметических операций

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают ноль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример 2.4..Выполнить сложение двоичных чисел: X=1101, Y=101.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда.

Пример 2.5.. Даны двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения. Для удобства вычислений рекомендуется складывать по два слагаемых, а затем к полученной сумме прибавлять следующее слагаемое (пример 1.6 а))

Пример 2.6. Даны двоичные числа X и Y, вычислить X Y.

а) X=1001 и Y=101

Для выполнения деления двоичных чисел используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример 2.7.. Даны двоичные числа X=1100.011 и Y=10.01. Вычислить X/Y.

Источник

Позиционные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую

Цель урока: сформировать у учащихся понятия позиционные системы счисления, развернутая запись числа, навыки и умения перевода чисел из любой системы счисления в десятичную, из десятичной в любую другую.

Учащиеся должны знать:

Учащиеся должны уметь:

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, проектор, программа Калькулятор, карточки с заданиями, презентация к уроку – Приложение 1.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин.)

Сообщение темы, целей и задач урока.

II. Проверка домашней работы (4 мин.)

Дать определение понятий: цифра, число, система счисления, непозиционная СС.

Записать число 2012 в римской СС.

Исправить неверные равенства, переложив с одного места на другое всего одну палочку:

III. Изучение нового материала (14–17 мин.)

Каковы недостатки непозиционных СС? (в записи больших чисел участвует большое количество цифр, невозможно представлять отрицательные и дробные и числа, сложно выполнять арифметические операции).

В связи с этими недостатками непозиционные СС со временем уступили место позиционным СС. Как вы думаете, какая СС счисления называется позиционной?

(Позиционной называется такая СС, в которой количественный «вес» цифры зависит от ее местоположения в записи числа)

Приведите примеры позиционной СС. (Десятичная, двоичная)

Что означает цифра 3 в записи числа 333? (3 – сотни, 3 –десятка, 3 – единицы)

Приведите примеры чисел в десятичной СС. Назовите разряды.

Позиционная СС удобна не только для записи чисел знаками и для выполнения арифметических действий над ними, но и для механического представления, например, счеты. Каждому разряду числа на счетах соответствует своя проволока.

Разряд – это позиция цифры в числе.

Основание позиционной СС – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной СС.

Рассмотрим некоторые СС и заполним таблицу. Слайд 3 Проверим ответы. Слайд 4

В позиционной СС любое число может быть представлено в виде: Слайд 5

А – число,
g – основание СС,
а_i – цифры данной СС,
n – число разрядов целой части,
m – число разрядов дробной части числа.

Приведем пример: запишем число А₁₀= 45609,02 в развернутом виде.

Запишите числа в развернутом виде. Слайд 6

Алгоритм перевода чисел из любой СС в десятичную систем счисления. Слайд 7

Переведите числа в десятичную СС. Слайд 8

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной СС в любую другую. Слайд 9

Рассмотрим пример. Переведем число 97₁₀ в двоичную СС. Слайд 10

Переведите целые числа из десятичной СС в другие СС. Слайд 11

Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной СС в любую другую. Слайд 12.

Рассмотрим примеры. Слайд 13

Переведем число 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Переведем число 0,9₁₀ в двоичную систему счисления.

Получаем 0,9₁₀=0,111₂ с точностью до трех знаков

Чтобы перевести произвольное число, т.е. содержащее целую и дробную части, нужно

отдельно перевести целую часть и отдельно дробную часть. В записи числа полученная целая часть отделяется запятой от дробной.

Переведите правильные дроби из десятичной системы счисления в другие системы счисления. Слайд 14.

IV. Закрепление (17–20 мин.)

V. Рефлексия (2 мин.)

VI. Домашнее задание (1 мин.)

Знать алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Составить свою биографию, записав все числа в двоичной (пятеричной, восьмеричной или любой другой) системе счисления.

Для проверки знаний и умений учащихся по теме «Позиционные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую» можно использовать следующие материалы: тест в программе MyТestХ – Приложение 5, самостоятельную работу – Приложение 6, фронтальный опрос – Приложение 7, задания для подготовки к ГИА и ЕГЭ по информатике по теме «Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую» – Приложение 8.

Источник