Что такое статическая ошибка

27.10.202330.04.2022 admin 0 Comments

Качество регулирования САУ

Качество работы САУ оценивают по величинам статической и динамической ошибок. По этим характеристикам автоматические системы бывают статические и астатические.

Рисунок 6.17 – График регулирования астатической (а) и статической (б) САУ.

В астатической системе статическая ошибка равна нулю, т.е. система после процесса регулирования возвращается в исходное состояние равновесия. В астатических САУ конечное и исходное равновесие совпадает с заданием. Поэтому в этих САУ динамическая ошибка равна максимальному отклонению параметра в процессе регулирования (рис. 6.17а).

Перерегулирование вычисляют по формуле:

Обобщённый показатель качества. Для определения величины этого показателя вычисляют интеграл (площадь подынтегральной фигуры) изменения в процессе регулирования выходного сигнала системы за период времени регулирования:

Δ – амплитуду колебаний берут в квадрате, чтобы просуммировать как положительные, так и отрицательные отклонения выходного сигнала. Естественно, чем меньше динамическая, статическая ошибки и время регулирования, тем меньше величина интеграла J и выше качество работы САУ.

Оптимальные процессы регулирования.

На практике часто требования к качеству работы проектируемой САУ задаются не в виде величины отдельных показателей качества, а в виде требования реализации одного из трёх оптимальных процессов регулирования.

Регулируемый параметр после отклонения плавно возвращается к заданной величине. В этом процессе по сравнению с двумя последующими будет минимально время регулирования, но максимальна динамическая ошибка.

Источник

Установившаяся (статическая) ошибка. Ошибка, остающаяся после полного затухания переходного процесса

ГЛАВА 4. Устойчивость линейных систем.

Самое первое требование, предъявляемое к системе, состоит в том, чтобы она была способна выполнять свои функции устойчиво. «Термин «устойчивость» настолько выразителен, что он сам за себя говорит» [5]. Но для математического анализа устойчивости требуется ее количественная характеристика.

Рассмотрим вначале понятия устойчивости равновесия и устойчивого движения.

Для исследования устойчивости равновесия предполагают, что система под действием внешнего толчка отклонилась от положения равновесия, и изучают те силы, которые возникают в результате этого отклонения. Если они в силу свойств системы стремятся вернуть систему в положение равновесия при любом направлении отклонения, равновесие устойчиво; если они стремятся увеличить отклонение, равновесие неустойчиво.

В случае движения системы заданное движение можно назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного. Это движение будет возмущенным. Заданное невозмущенное движение называется устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область.

Теперь, основываясь на этих понятиях, рассмотрим устойчивость систем автоматического управления.

4.1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ. РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В УСТОЙЧИВОЙ СИСТЕМЕ.

Пусть имеется некоторая линейная система:

Эта линейная система описывается следующим дифференциальным уравнением:

(1)

Решение этого дифференциального уравнения представляется в виде суммы:

Здесь х_СВ представляет собственные переходные процессы и является общим решением однородного дифференциального уравнения, х_ВЫН представляет процессы, возникающие вследствие внешнего воздействия, и является частным решением неоднородного дифференциального уравнения.

Система называется устойчивой, если собственные переходные процессы являются затухающими. Математически это можно записать:

(3)

Найдем эту составляющую. Для этого необходимо решить уравнение (1) без правой части.

(4)

Использовав преобразование по Лапласу, приходим к уравнению:

(5)

Решение уравнения (4) представляется в виде:

, (6)

где r- кратность корня.

Рассмотрим различные положения корней характеристического уравнения (5) и влияние этого положения на устойчивость системы.

p_i =

Вывод: левым корням соответствуют затухающие переходные процессы.

а) p₄ = , r =1

б) p_5,6 = , r =1

2) Нейтральные корни

а) p_8,9 = , r =1

Наличие нулевого корня показывает, что система устойчива не по отношению к , а по отношению к производной от .

Вывод: звено или система устойчива, если все корни характеристического уравнения левые. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая плоскость при этом представляет собой область устойчивости.

Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

2) пары чисто мнимых корней;

Во всех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

4.2 алгебраические критерии устойчивости.

Для определения устойчивости системы нужно знать только расположение корней ее характеристического уравнения.

Существует ряд критериев, позволяющих определить устойчивость системы без решения соответствующего дифференциального уравнения. Все критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические критерии устойчивости и частотные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют определить устойчивость системы по коэффициентам соответствующего характеристического уравнения.

4.2.1 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ.

Рассмотрим теорему Стодолы, определяющую необходимые условия устойчивости:

Если система устойчива (все корни левые), то все коэффициенты соответствующего характеристического уравнения положительны.

Характеристическое уравнение линейной системы n-го порядка в общем виде:

Система устойчива, если все корни левые. Эти корни могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными.

Проверим справедливость теоремы.

Т.е. можно отметить справедливость того, что коэффициенты характеристического уравнения действительно будут положительными.

Отсюда тоже видно, что коэффициенты характеристического уравнения будут положительными.

Таким образом, установлена справедливость теоремы Стодолы.

Кроме того, нужно отметить, что положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядка.

4.2.2 критерии УСТОЙЧИВОСТИ гурвица.

Большое распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А.Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Пусть имеем линейную систему четвертого порядка. Ее характеристическое уравнение будет иметь вид:

Составим матрицу 4 4, по диагонали которой располагаются коэффициенты характеристического уравнения. Строчки матрицы заполняются в соответствии со старшинством коэффициентов.

Диагональные миноры, составленные по главной диагонали матрицы Гурвица:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры в матрице Гурвица были положительны.

Рассмотрим характеристическое уравнение системы третьего порядка:

Первый минор a₂ > 0;

Получаем, что для устойчивости линейной системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы произведение внутренних коэффициентов характеристического уравнения было больше произведения наружных коэффициентов.

Уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает четкого ответа на то, каким образом нужно изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Пример. В качестве примера рассмотрим следящую систему отработки угла.

Здесь W_ип – передаточная функция измерительного преобразователя:

, (1)

W_у – передаточная функция усилителя:

, (2)

W_Д – передаточная функция двигателя постоянного тока:

. (3)

(4)

Из выражения (4) и условий (1), (2), (3) получаем характеристическое уравнение по правилу:

В результате получим характеристическое уравнение:

По критерию устойчивости Гурвица для систем третьего порядка получаем:

k > T₁, то k 0 – баланс фаз.

Сопоставляя годограф и ЛАЧХ, нужно отметить, что когда выполняется условие баланса амплитуд, то модуль вектора больше 1. Теперь можно сформулировать условие устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:

Если имеется разомкнутая устойчивая система, то эквивалентная замкнутая структура будет устойчивой, если среди частот баланса амплитуд нет частоты баланса фаз.

Ключевые термины и понятия.

Критерий устойчивости Гурвица. Если все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны, то система устойчива.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют один знак, то система устойчива.

Критерий устойчивости Михайлова А.В. В устойчивой системе годограф Михайлова – это плавная кривая, которая при изменении частоты от нуля до бесконечности последовательно пересекает (n-1) квадрант, уходя в бесконечность в n-ом квадранте. Вместо построения годографа часто используют признак перемежаемости корней и , где — частотный характеристический полином системы.

Критерий устойчивости Найквиста Г. Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по годографу разомкнутой.

Теоремы Ляпунова А.М. О влиянии малых параметров на устойчивость системы.

Необходимые условия устойчивости. Все коэффициенты характеристического уравнения системы должны быть положительны.

Принцип аргумента. Лежит в основе всех частотных критериев устойчивости. Утверждает, что изменение аргумента комплексного коэффициента передачи при изменении частоты от нуля до бесконечности равно , где n – порядок системы, а – количество правых полюсов.

Устойчивая система. Система устойчива, если собственные переходные процессы являются затухающими, т.е. если все корни ее характеристического уравнения (полюса передаточной функции) имеют отрицательные действительные части.

Источник

Статическая ошибка

Как всякая динамическая система, система автоматического управления может находиться в одном из двух режимов – стационарном (установившемся) и переходном. Существует два вида стационарных режимов работы АСУ – статический и динамический.

Статический стационарный режим – это режим, при котором система находится в состоянии покоя вследствие того, что все внешние воздействия и параметры самой системы не меняются во времени.

Динамический стационарный режим возникает, когда приложенные к системе внешние воздействия изменяются по какому-либо установившемуся закону, в результате чего система приходит в режим установившегося вынужденного движения.

Статические показатели качества переходных процессов характеризуют установившееся состояние и к ним относится статическая ошибка Х_ст. Как определить статическую ошибку, где она на графике? Если возмущение поступило со стороны нагрузки, то выходная координата апериодически или с колебаниями придет к установившемуся значению. Новое установившееся состояние и будет статической ошибкой (рис. 7.5 и 7.6).

Если возмущение поступило со стороны задания, то выходная координата апериодически или с колебаниями будет стремиться к новому заданному значению. Однако установившееся значение выходной координаты будет отличаться от заданного значения. Статической ошибкой в этом случае является разность между заданным значением выходной координаты и её установившемся значением ((рис 7.9).

Статическая ошибка вызвана самой структурой системы, и она имеет место только в статических системах. В астатических системах статической ошибки нет, т.е. астатические системы точно поддерживают заданное значение регулируемой координаты при любой нагрузке и точно выходят на новое заданное значение.

Как же определить статическую ошибку в статической системе по известным дифференциальным уравнениям или передаточным функциям? Рассмотрим поведение автоматической системы, когда на вход поступает скачкообразное возмущение:

В преобразованном по Лапласу виде входная координата запишется так:

(7.29)

Тогда выходная координата в преобразованном виде может быть записана так:

при возмущении по нагрузке

(7.30)

или при возмущении по заданию

(7.31)

Установившееся состояние выходной координаты определим по формуле:

а) при возмущении по нагрузке

(7.32)

б) при возмущении по заданию

(7.33)

Рассмотрим несколько примеров определения статической ошибки

Пример №1. На статическом объекте с передаточной функцией установлен пропорциональный регулятор с передаточной функцией .

Запишем передаточную функцию по каналу задания

(7.34)