Что такое статический прогиб

Что такое статический прогиб

Главной частью упругого устройства подвески являются упругие элементы. Наибольшее распространение среди них в настоящее время получили металлические рессоры, пружины и торсионы (стержни). Наметилось также широкое использование пневматических упругих элементов.

Параметры упругого элемента оцениваем по его упругой характеристике. На рис. 118 дана характеристика 1 рессоры грузового автомобиля, полученная при ее испытании на автомобиле. Линии нагрузки и разгрузки не совпадают вследствие трения между листами рессоры. Чтобы найти жесткость рессоры по ее характеристике, необходимо провести среднюю линию между линиями нагрузки и разгрузки. Тангенс угла наклона прямой O₁, O₁ и будет равен искомой жесткости с_р. Найденная таким образом упругая характеристика 2 получена в отличие от кривой 1 при испытании рессоры, снятой с автомобиля.

Жесткость измеряют в кГ/см (для рессор и пружин) или в кГм/рад (для стержней). Жесткость рессоры зависит от способа ее крепления и установки. Если при испытании средняя часть рессоры не затянута стремянками, то это равноценно увеличению ее длины. Жесткость рессоры при этом уменьшается (прямая 2). Жесткость упругого элемента, полученная при испытаниях на автомобиле, может отличаться от той, которая найдена при испытании этого элемента, снятого с автомобиля. Для рессоры это объясняется влиянием сережки, а для пружины или стержневого упругого элемента — рычагов подвески.

Рессора, один конец которой прикреплен к раме при помощи сережек различного расположения, показана на рис. 119. При расположении по схеме рис. 119, а сережка не влияет на жесткость рессоры. В схеме рис. 119, б сережка наклонена на —42°. Появление составляющей, вызывающей сжатие коренного листа рессоры, уменьшает ее жесткость. Если жесткость рессоры (рис. 119, а) такова, что число ее собственных колебаний равно 68 в минуту, то при наклоне сережки на —42° (рис. 119, б) оно снизится до 57 в минуту. Если сережке придать наклон в обратную сторону, то коренной лист рессоры будет испытывать растяжение, а жесткость рессоры повысится. При наклоне сережки той же рессоры на 34° (рис. 119, в) число собственных колебаний возрастет до 76 в минуту.

При увеличении или уменьшении нагрузки на автомобиль или колебаниях положение сережки и жесткость рессоры будут

меняться. В большинстве случаев размеры сережки и изменение прогиба таковы, что увеличение или уменьшение жесткости рессоры при ее деформации невелико. Мало меняется также жесткость и при обычных рычажных подвесках.

Следовательно, целесообразно оценивать упругие свойства подвески пользуясь не характеристиками упругого элемента, а характеристикой упругого устройства подвески. Это устройство оцениваем также при помощи упругой характеристики — зависимости между вертикальной нагрузкой и деформацией подвески, измеренной непосредственно над осью колеса. Упругая характеристика подвески позволяет найти следующие параметры, характеризующие упругое устройство подвески: жесткость 2с_р; статический прогиб f_р; динамический ход (прогиб) до верхнего и нижнего ограничителей соответственно f_дв и f_дн.

Примерный вид упругой характеристики Z(z_om) подвески показан на рис. 120. Жесткость 2с_р равна тангенсу угла наклона касательной к средней линии (штриховая) характеристики подвески при статической нагрузке

Жесткость подвески при прогибах в интервале f₂—f₁ меняется только в зависимости от изменения положения сережки рессоры или рычагов подвески. Если перемещения больше f₂ или меньше f₁, то рессора или рычаг подвески соприкасается с резиновым буфером. При дальнейших перемещениях жесткость подвески возрастает. Заштрихованная площадь соответствует наибольшей потенциальной энергии, запасаемой подвеской при наезде на неровность, или так называемой динамической емкости подвески. Чем больше эта потенциальная энергия, т. е. чем выше динамическая емкость подвески, тем меньше вероятность ударов в ограничитель при движении автомобиля по неровной дороге (без учета прогиба).

Величина динамического прогиба до резинового буфера зависит от вида характеристики подвески и в среднем составляет: у легковых автомобилей f_дв = 0,5 f_р; у автобусов f_дв = = 0,75 f_p; у грузовых автомобилей f_дв = 1,0 f_p. Эти данные — ориентировочные. Для большей точности следует сопоставлять (см. § 22) величины f_дв и f_дн с вероятностями ударов в буферы (пробиванием подвески).

Надлежащим выбором объема дополнительного резервуара для заданного баллона можно воздействовать на жесткость подвески, которую можно также менять, увеличивая или уменьшая внутреннее давление в баллоне при статической нагрузке. Этим пользуются, чтобы обеспечить постоянство величин статического прогиба и высоты кузова автомобиля при меняющейся статической нагрузке на подвеску.

Регулятор постоянства высоты кузова показан условно в виде крана 3, который при изменении расстояния между кузовом и колесом или подает сжатый воздух из резервуара 4 в баллон 1 и дополнительный резервуар 2, или выпускает из них часть сжатого воздуха в атмосферу. Чтобы регулятор не работал при колебаниях автомобиля, имеется устройство, обеспечивающее включение регулятора лишь через несколько секунд после изменения расстояния между кузовом и колесом, т. е. при отклонении только статической нагрузки.

Обычно редко удается осуществить постоянство собственной частоты колебаний. Зависимость собственной частоты от изменения массы грузового автомобиля с пневматической подвеской показана на рис. 124, б, причем данные соответствуют малым колебаниям вблизи положения равновесия.

При отсутствии дополнительного резервуара жесткость подвески является сравнительно высокой и изменению силы тяжести подрессоренной части в 3 раза соответствует изменение статических прогибов в 1,34 раза, а собственной частоты Ω с 2,0 до 2,37 гц. Наличие дополнительного резервуара объемом 12,5 л уменьшает жесткость подвески, и интервал изменения собственной частоты будет составлять 1,57—1,7 гц. Увеличение объема

дополнительного резервуара вдвое уменьшает собственные частоты, и интервал их изменения снижается до 1,45—1,55 гц. Дополнительный резервуар объемом 24,4 л дал сравнительно малое уменьшение собственной частоты и оказался неприемлемым по размерам.

Применение листовой рессоры, обеспечивающей при нагрузке, равной 8150 кГ, статический прогиб f_p = 10,16 см и собственную частоту 1,57 гц, привело бы при снижении массы подрессоренной части в 3 раза к уменьшению статического прогиба до 3,39 см и увеличению собственной частоты до 2,71 гц вместо 1,7 гц при пневматической подвеске.

Преимуществом пневматической подвески является отсутствие трения в упругом элементе и меньшая ее масса, а также меньшая передача вибраций и шума от колес кузову. При пневматическом элементе диафрагменного типа оказывается возможным придать упругой характеристике подвески желаемый вид (см. рис. 121). Рассмотрим, как влияет изменение жесткости подвески на колебания кузова и колес автомобиля.

Амплитудно-частотные характеристики перемещения кузова, построенные для различной жесткости подвески, приведены на рис. 125, а, причем кривые 1—6 соответствуют жесткостям подвесок, равным 50, 100, 150, 300, 450 и 600 кГ/см. Снижение жесткости подвески улучшает плавность хода автомобиля, во-первых, уменьшая амплитуду перемещений кузова в области низкочастотного резонанса, а во-вторых, смещая резонанс в область более низких частот. При этом длина неровностей дороги, вызывающих в заданном интервале скоростей движения резонансные явления, увеличивается, и, следовательно, вероятность возникновения таких колебаний уменьшается. Например, при снижении жесткости подвески с 600 до 300 кГ/см длина неровности, соответствующая резонансу при v_a = 25 км/ч, увеличивается с 4 до 5 м, т. е. до величины, сравнительно редко встречающейся на дорогах.

Влияние жесткости подвески на перемещения колеса показано на рис. 125, б. При жесткой подвеске (кривая 6) перемещения колеса достигают наибольшего значения в области низкочастотного резонанса, тогда как в области высокочастотного резонанса они незначительны. Снижение жесткости подвески сопровождается уменьшением перемещения колеса в области низкочастотного резонанса и более быстрым возрастанием перемещения колеса в области высокочастотного резонанса.

Особенно важно проследить, как меняются перемещения в области резонансов в зависимости от жесткости подвески (рис. 126, а). С уменьшением жесткости подвески перемещения кузова (кривая 2) и колеса (кривая 3) при низкочастотном резонансе убывают примерно по одному закону. Перемещение колеса (кривая 1) в области высокочастотного резонанса при

1 с_р = 236 кГ/см равно перемещению колеса (кривая 3) в области

низкочастотного резонанса, а при меньших жесткостях подвески оно быстро возрастает.

Если построить для резонансных частот кривые зависимости ускорений от жесткости подвески (рис. 126,6), то можно сделать вывод, что ускорение в области низкочастотного резонанса (кривая 4) убывает практически по линейному закону, тогда как ускорение в области высокочастотного резонанса (кривая 5) можно принять постоянным.

Таким образом, снижение жесткости подвески улучшает плавность хода автомобиля при низкочастотных колебаниях, наиболее заметно уменьшая ускорения кузова, а также перемещения кузова и колеса. Плавность хода улучшается также потому, что низкочастотный резонанс смещается в область меньших частот, при которых вероятность наступления условий резонанса на дороге снижается. Уменьшение жесткости подвески отрицательно сказывается на колебаниях в высокочастотной области, где перемещения колеса могут существенно возрастать.

О колебаниях автомобиля во время движения по булыжному покрытию при различной жесткости подвески и скорости движения можно судить по средним квадратическим значениям z и z*_отc (рис. 127). Как видим, уменьшая скорость движения, можно обеспечить плавность хода и ограничить деформации рессор (удары в буфера). Рассматривая кривые рис. 127, а, убеждаемся, в том, что надлежащим выбором жесткости подвески можно обеспечить высокую скорость движения по заданной дороге с неровной поверхностью. Например, для булыжного покрытия с выступами и впадинами, если считать приемлемым

Влияние жесткости подвески на изменение величин z*_omc и ζ_nmc показано на рис. 128. Для устранения отрыва колес наиболее эффективно уменьшение скорости движения, так как изменение жесткости подвески сказывается слабее.

Значительные колебания колес и иногда их отрывы от поверхности дороги заметны при движении автомобиля, имеющего

мягкую подвеску, по дороге с частыми небольшими неровностями (булыжное покрытие), когда высокочастотные колебания возбуждаются особенно часто. Уменьшение перемещений колеса при высокочастотных колебаниях достигают надлежащим выбором конструкции амортизатора и его характеристики.

В приведенных рассуждениях жесткость подвески предполагалась постоянной, хотя при конструировании подвески может встретиться необходимость и в ее переменной жесткости. В таких случаях при расчетах переменную жесткость приближенно заменяют постоянной, т. е. заменяют нелинейную упругую характеристику эквивалентной линейной характеристикой, а затем анализируют ее свойства на ЭВМ [40].

Ротенберг Р.В.
Подвеска автомобиля
1972

Источник

Лекция 15 (продолжение). Примеры решения на динамические нагрузки

Расчеты при ударных нагрузках

Пример 1.

Груз весом Р = 2 кН, скользя без трения вдоль стального бруса, падает на приваренную к нему жесткую пластину и вызывает ударное растяжение бруса. Площадь поперечного сечения бруса А = 0,0005 м 2 (рис. а ), его длина l = 1,8 м, модуль продольной упругости материала бруса Е =2·10 5 МПа; высота падения груза Н равна 0,02 м.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Определим величину (рис. б)

Рассчитываем динамический коэффициент, используя формулу

Определяем статическое нормальное напряжение

Находим максимальное динамическое напряжение

.

Проводим статический расчет, т.е. определяем максимальное напряжение и перемещение в серединном сечении балки при нагружении ее статической сосредоточенной силой Р = 200 Н.

Максимальный изгибающий момент равен

Статический момент площади сечения равен

Определяем максимальное нормальное статическое напряжение

Статическое перемещение посередине балки определяем по известной из теории изгиба формуле

Рассчитываем динамический коэффициент

Находим динамическое напряжение

МПа.

Запас прочности равен

Для заданной упругой системы определить:

— величину перемещения в направлении удара в том сечении, в котором прикладывается ударная нагрузка в направлении удара.

Рассмотрим различные примеры ударного нагружения.

Осевое действие ударной нагрузки.

Длины участков

Динамические напряжения в стальном стержне определяются по формуле

При статическом приложении нагрузки в месте удара в любом сечении стержня будет возникать продольная сила

Знак минус указывает на сжимающее нормальное напряжение.

Коэффициент динамичности зависит от высоты падения груза и статической деформации

Статическая деформация будет складываться из деформаций участков

Максимальное динамическое напряжение

Динамическая деформация сечения, в котором прикладывается ударная нагрузка

Предварительно определим статические значения напряжения и перемещения.

,

Коэффициент динамичности

Максимальное статическое напряжение при действии закручивающего момента

.

Определим максимальное напряжение и величину перемещения сечения в месте приложения ударной нагрузки.

Статическое перемещение определим способом Верещагина

Максимальное статическое напряжение будет возникать в опорном сечении

.

Вес груза ,

Статическое напряжение .

Коэффициент динамичности (без учета собственной массы стержня), где статическая деформация

.

Коэффициент динамичности

Для жесткого стержня единицами в формуле можно было бы пренебречь.

Для дюралюминиевого стержня

,

.

Таким образом, замена материала позволяет снизить напряжения в 1,69 раза.

Определяем опорные реакции

;

;

;

Определяем статический прогиб балки

Прогиб балки определим по методу начальных параметров.

Составляем уравнение прогибов для точки С

Определяем начальные параметры

Находим прогиб в точке С

Определяем ударный коэффициент

Определяем напряжения в балке от статического действия нагрузки

Изгибающий момент будет иметь максимальное значение в точке С (см. рис.), а его величина определится по формуле:

Тогда напряжения в точке С:

Определяем динамический прогиб и напряжения

Коэффициент динамичности при ударе вычисляется по формуле

1. Строим эпюру изгибающих моментов от силы кН, приложенной к балке статически.

Отсюда находим, что

Тогда изгибающий момент под сосредоточенной силой равен:

В этом случае и тогда ордината единичной эпюры моментов под силой равна

м.

4. Коэффициент динамичности равен :

5. Вычисляем наибольшее статическое напряжение, возникающее в поперечном сечении балки ( кНм = 63 кНсм ; см 3 ):

6. Вычисляем наибольшее динамическое напряжение в балке:

Прочность балки при ударе обеспечена, поскольку

Определить динамические напряжения в опасных сечениях ба­лок. Сравнить полученные напряжения с теми, которые появятся в балках, если балка КD будет опираться на абсолютно жесткое осно­вание.

Из уравнений равновесия балки и находим опорные реакции R_K , R_{D :}

кН;

кН.

Затем строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рассматриваемой балки КD и двух консольных балок АК и DМ (рис. 1, б, в, г, д, е).

Сначала определим статический прогиб сече­ния С балки КD при опирании ее на абсолютно жесткое основание. Составим уравнение прогиба методом начальных параметров, при­няв начало координат в сечении К:

. (1)

; .

Теперь, подставив найденное значение в уравнение (1), получим формулу для определения прогиба сечения С :

м.

Для определения полного прогиба сечения С с учетом упругого характера опирания балки КD (рис. 1, ж) необходимо предварительно найти прогибы концов консольных балок АК и DМ. Для этого воспользуемся фор­мулой, полученной в примере 34:

м ;

м.

Эпюра перемещений для составной конструкции из балок изо­бражена на рис. 1, ж. Величину полного перемещения сечения С балки с учетом перемещения его в результате смещения опор балки КD, опирающейся на консольные балки, определяем по формуле:

.

Динамический коэффициент при падении груза G на балку КD, опирающуюся на консольные балки АК и DМ, опреде­ляем по формуле:

.

Для вычисления динамических напряжений необходимо внача­ле определить статические напряжения, возникающие в сечении С:

а затем динамические напряжения:

.

Динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на консольные балки,

и динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на абсолютно жесткое основание:

Таким образом, если опоры лежат на абсолютно жестком осно­вание, то в сечении С возникают динамические напряжения в раза большие по величине. Статические напряжения, возникающие в сечении А:

При динамическом коэффициенте К_Д = 78,1, полученном в предположении упругого опирания балки КD в точках К и D, нахо­дим динамические напряжения в сечении А:

Статическое и динамическое напряжения в сечении М балки DМ:

Следовательно, вне зависимости от того, на какое основание опирается балка KD, опасное сечение находится в точке удара.

На раму, показанную на рис. 1, падает груз Q с высоты . Вес груза , поперечное сечение рамы – двутавр № 20. Требуется найти максимальные нормальные напряжения в опасном сечении рамы и прогиб в точке удара от ударного действия нагрузки.

Чтобы определить динамический коэффициент по формуле , необходимо найти прогиб точки С (точки приложения нагрузки Q ) от статического действия нагрузки. Найдем этот прогиб, используя метод Максвелла–Мора и интегрируя формулу Максвелла–Мора с помощью правила Верещагина. Для этого построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки Q (рис. 2, а) и от единичной силы, соответствующей искомому перемещению (рис. 2, б). Перемножим эти эпюры по правилу Верещагина:

.

Подставляя величину жесткости для двутавра № 20, сосчитаем прогиб в «см»

.

Найдем динамический коэффициент по формуле

.

Определим максимальные нормальные напряжения в опасном сечении от статического действия нагрузки. В рассматриваемом примере несколько равно опасных сечений с изгибающим моментом . Максимальные статические напряжения равны

.

Динамические напряжения от действия ударной нагрузки увеличатся согласно формуле в раз.

.

Видно, что динамические напряжения не превосходят предела пропорциональности = 200 МПа, и материал работает упруго.

Во столько же раз увеличится и динамический прогиб:

.

Дано: на раму падает груз весом P с некоторой высоты h (рис.1)

материал – сталь, = 160 МПа, МПа;

a = 0,6 м, b = 0,2 м, c = 0,8 м; d = 11 см, P = 1 кН, h = 14 см;

1) раскрыть статическую неопределимость рамы;

2) определить динамический коэффициент;

3) определить динамические напряжения и прогибы;

1. Раскрытие статической неопредимости рамы

Выбираем эквивалентную систему, отбрасывая реакцию катка и заменяя ее неизвестной силой X ₁ (рис. 2, а).

а) построение грузовой эпюры

Изгибающий момент от статической силы P на 2 участке будет:

в сечении D момент равен 0, в сечении A :

Строим эпюру моментов от силы P (рис. 2, в).

б) построение эпюры моментов от единичной силы

Вместо неизвестной X ₁ прикладываем единичную силу и рассматриваем ее действие на раму (рис. 2, г). Реакция заделки в этом случае равна:

Изгибающий момент от единичной силы равен:

в сечении C момент равен 0, в сечении A :

Строим эпюру моментов от единичной силы (рис.2, д).

в) решение канонического уравнения

В сечении B приложения неизвестной реакции прогиб равен 0 (т.к. катковая опора препятствует вертикальному перемещению), поэтому и в сечении C прогиб равен 0, т.е. суммарный прогиб от действия неизвестной реакции X ₁ и силы P равен 0:

Находим прогибы способом Верещагина:

где – площадь фигуры на грузовой эпюре, – ордината под центром тяжести этой фигуры на эпюре единичной силы.

Находим прогиб от единичной силы: площадью фигуры в формуле Верещагина будет площадь эпюры единичной силы, ординатой – ордината под центром тяжести эпюры единичной силы (2/3 высоты эпюры); поэтому:

Находим прогиб от силы P : площадью фигуры будет площадь грузовой эпюры, ординатой – ордината на эпюре единичной силы под центром тяжести грузовой эпюры (рис. 3); поэтому:

Тогда, решая каноническое уравнение получаем:

Неизвестная реакция X ₁ равна по величине и направлена по направлению единичной силы.

2. Определение статического прогиба и динамического коэффициента

а) построение эпюры изгибающих моментов

Определяем реакцию заделки A с учетом реакции отброшенной опоры (рис. 2, е):

Изгибающий момент на 1 участке равен:

в сечении C момент равен 0, в сечении D :

Изгибающий момент на 2 участке:

в сечении А момент равен:

Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 2, ж).

б) построение эпюры единичной силы

В сечении D прикладываем единичную силу и рассматриваем ее действие на раму (рис. 2, з). Момент от единичной силы возникает только на 2 участке рамы:

в сечении D момент равен 0, в сечении A :

Строим эпюру изгибающего момента от единичной силы (рис. 2, и).

в) определение статического прогиба

Определяем статический прогиб с помощью интеграла Мора:

где M _и( P ), M _и(1) – изгибающие моменты, возникающие под действием силы P и единичной силы.

но т.к. на 1 участке единичная сила момента не создает, то первое слагаемое обращается в ноль:

с учетом моментов, создаваемых силой P и единичной силой на 2 участке получаем:

Учитывая, что сечение рамы круглое, находим его момент инерции:

тогда статический прогиб равен:

Вычисляем динамический коэффициент по приближенной формуле:

3. Определение динамических напряжений и прогибов

Динамические напряжения определяются как:

Учитывая, что сечение рамы круглое, находим его момент сопротивления:

Считая статический изгибающий момент максимальным, действующим в сечениях рамы, находим максимальные динамические напряжения:

Таким образом, максимальные динамические напряжения превышают допустимые напряжения подбираем новое сечение рамы, исходя из условия прочности:

Округляем диаметр нового сечения рамы до стандартного выбранного из ряда Ra 40 нормальных линейных размеров (ГОСТ 6636–69), тогда для нового сечения:

Максимальные динамические напряжения, возникающие в раме с новым сечением:

Определяем статический прогиб для рамы с новым сечением:

Пересчитываем динамический коэффициент:

Динамический прогиб в сечении падения груза будет:

Онлайн-калькулятор «Расчет коэффициента динамичности при падении груза на конструкцию»

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Источник