Что такое статистика в математике

Математическая статистика

Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Содержание

Предмет и методы

Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.

Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внес А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов.

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

Источник

Математическая статистика. Начало

Есть правда, есть большая правда, а есть статистика на mathprofi.ru!

На протяжении многих лет я всё думал, когда же доберусь до этой темы, и вот, наконец-то свершилось! …как и во многих делах, самое трудное – первый шаг, но я таки открыл вёрдовский файл (решался и обдумывал 2 недели) и с радостью и даже какой-то торжественностью написал первый абзац.

И сразу второй. Что нужно для изучения математической статистики? Ничего особенного. Нужно уметь складывать, умножать, делить, извлекать корни и ещё много чего выполнять другие бесхитростные действия. Да, вот так просто. Настоящий курс предназначен для начинающих статистиков, и на предстоящих уроках научимся решать типовые задачи, которые реально встречаются в ваших студенческих работах.

Из инструментальных средств потребуется Эксель (не умеете – научим!), проверьте, есть ли он у вас, и калькулятор, лучше оффлайн калькулятор с кнопочками, ибо на зачёте или экзамене гаджетами, как правило, пользоваться нельзя.

Из литературы рекомендую те же две книги: задачник и учебное пособие В.Е. Гмурмана под названием Теория вероятностей и математическая статистика.

Математическая статистика следует «вторым эшелоном» за теорией вероятностей, и это не случайность, а логическое продолжение. Отличие состоит в том, что тервер даёт теоретическую оценку случайным событиям, а статистика работает с практическими, или как говорят, эмпирическими данными, которые берутся непосредственно «из жизни». Поэтому для изучения темы желательно (но не критично обязательно) знать азы теории вероятности, в частности, случайные величины – многие понятия и формулы будут очень и очень схожи.

Что такое математическая статистика? Её часто называют то наукой, то разделом математики. И это правда 🙂 Математическая статистика, буду краток, изучает методы сбора и обработки статистической информации для получения научных и практических выводов. Статистическая – это та, которую можно выразить числами. Эта информация появляется в результате исследования массовых (обычно) явлений, которые носят случайный характер.

Причём, информация может носить как количественный характер (например, размеры чего-либо), так и качественную природу – «оцифровать» можно, да хоть пятьдесят оттенков серого.

Немедленный пример. Что главное орудие физика? Секундомер:

Студент Константин выполняет лабораторную работу по определению коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.

…тихо-тихо, тут будет всего несколько чисел 🙂

Экспериментальная часть этой работы состоит в том, что в высокий цилиндрический сосуд с жидкостью сбрасывается достаточно маленький и тяжёлый шарик, после чего замеряется время его погружения.

Время погружения шарика зависит от множества случайных факторов: прямоты рук экспериментатора, погрешности измерения времени, хаотичного движения молекул жидкости и т.д., вплоть до влияния Луны. Поэтому эксперимент целесообразно провести 5-10 раз (как оно обычно и требуется).

Предположим, что в результате 5 опытов получены следующие результаты (в секундах):

Что произошло? Студент Костя собрал первичные (ещё не обработанные) статистические данные. Они эмпирические (взяты непосредственно из опыта), носят случайный характер (см. выше). И массовый. Ну а как нет? Все однокурсники только и занимаются тем, что бросают в сосуды шарики, да и мало ли на планете похожих шариков, которые тонут в похожей жидкости.

Ну а мы потихоньку погружаемся в терминологию:

— полученные экспериментальные значения называются вариантами, а их совокупность – вариационным рядом. Почему так? Потому что полученные значения варьируются под воздействием случайных факторов.

Справка: вариАнта (существительное женского рода) – в статистике означает отдельно взятое эмпирическое значение.

Далее. Далее Константин должен обработать полученные данные. Во-первых, посмотреть, а нет ли среди полученных значений варианты, которая сильно отличается от всех остальных? Наличие такого значения сигнализирует о том, что соответствующий опыт проведён неудачно и его следует исключить из рассмотрения.

Нет, все значения достаточно близкИ друг к другу, и теперь напрашивается вычислить среднюю величину – разделить сумму значений на их количество:
секунды.

Это значение называют простой средней или, как многие знают, средним арифметическим. Его стандартно обозначают с чёрточкой наверху.

Справка на всякий случай: математический значок означает суммирование, а переменная играет роль «счётчика»; в данном случае изменяется от 1 до 5.

Если грызут сомнения на счёт точности, то лучше не полениться и провести 10 опытов, что, кстати, удобнее в плане вычислений (на 10 делить проще). И, разумеется, полученный результат будет надёжнее, чем в 1-м случае.

Всё. Статические данные обработаны, осталось сделать выводы. А именно, с помощью значения вычислить коэффициент вязкости жидкости и ещё там вроде что-то, желающие могут найти эту лабу в Сети.

…возможно, у вас возник вопрос, почему я выбрал такой пример? Это единственное, что мне запомнилось из институтского курса физики 🙂

Студенческая группа сдала коллоквиум по матанализу со следующими результатами:

Требуется определить среднюю успеваемость группы

Сбором статистических данных здесь занимался преподаватель, и обратите внимание на их характер: они эмпирические, массовые (громко, конечно, сказано, но таки массовые) и отчасти случайные. Кому-то повезло с вопросом, кому-то нет, кто-то что-то вспомнил / забыл, списал, прогулял и так далее…, прямо какое-то броуновское движение студентов))

Как нетрудно понять, роль вариант здесь играют полученные оценки, а – это соответствующие частоты – количество студентов, которые получили ту или иную оценку. Подсчитаем общую численность группы:
человек и, привыкаем к терминам, исследуемое множество называют статистической совокупностью, а количество его элементов – объёмом совокупности.

Теперь обратим внимание на следующую вещь: двоечников и отличников у нас мало, а нормальных студентов 🙂 много. И возникает вопрос: как вычислить «справедливую» среднюю оценку по всей совокупности? Решение напрашивается – с помощью так называемой средневзвешенной средней:

– средняя успеваемость по группе. И я обязательно приму соответствующие меры!

…да, суровые у меня сегодня примеры 🙂 Давайте проанализируем их принципиальные отличия:

1) В первом примере проводится статистическое исследование количественной величины (времени), а во втором «оцифровывается» и анализируется качественный признак (успеваемость).

2) В первом случае исследуемая величина непрерывна, и, строго говоря, все полученные значения различны (отличаются хоть какими-то миллисекундами). Во втором случае варианты дискретны, т.е. представляют собой отдельно взятые изолированные значения. Следует заметить, что они не обязаны быть целыми, так, например, можно ввести в рассмотрение оценки 2,5; 3,5 и 4,5. И у дискретной величины, как правило, есть неоднократно встречающиеся (одинаковые) варианты, так, например, «пятёрка» встретилась 3 раза.

3) В первом примере речь идёт о выборке значений. Что это значит? Это значит, что шарик можно сбрасывать в воду гораздо бОльшее и теоретически вообще бесконечное количество раз. Таким образом, проведённые 5 опытов есть, по сути, выборка, которую называют выборочной совокупностью. При этом соответствующее среднее значение принято называть выборочной средней.

Второй пример отличен тем, что в нём исследуется ВСЯ совокупность, и поэтому её называют генеральной совокупностью, а соответствующее среднее значение – генеральной средней. Но такая ситуация редкость. Редко когда удаётся исследовать всю совокупность.

И сейчас мы подошли к основному методу математической статистики:

Федор пошёл на базу исследовать помидоры. Требуется определить среднюю массу помидора и среднюю долю первосортных помидоров.

Разбираемся в ситуации. Очевидно, что на базе находится очень и очень много помидоров, обозначим их общее количество через . Это генеральная совокупность. Для того чтобы решить задачу, можно взвесить каждый овощ: (в граммах, например) и вычислить генеральную среднюю:
– среднюю массу помидора.

Но это долго и трудно, даже если Феде будут помогать все его однокурсники.

Поэтому для оценки параметров генеральной совокупности целесообразно использовать выборочный метод. Его суть состоит в том, что из генеральной совокупности достаточно выбрать объектов, которые хорошо характеризуют всю совокупность. Это «хорошо» называют представительностью или, как говорят, репрезентативностью выборки. Проговорим это модное слово вслух: ре-пре-зен-та-тив-ность.

Что нужно для того, чтобы обеспечить репрезентативность?

Ну, во-первых, выборка должна быть достаточно велика, помидоров так 500-1000 точно, что уже вполне по силам даже одному Феде.

Примечание: в дальнейшем мы сформулируем более строгие статистические критерии на счёт оптимального размера выборки.

Во-вторых, отбор следует осуществлять равномерно – из каждого ящика.

В-третьих, отбор должен быть случайным. Для этого используются разные приёмы, и самый простой здесь – это выбор «вслепую» из случайно выбранного места ящика, обязательно с разной глубины (а то мало ли, что поставщик там мог спрятать).

И, в-четвёртых (а может быть, и, в-первых), есть и другие факторы, которые могут быть менее очевидны. В частности, важно знать, а однородна ли генеральная совокупность? Так, если помидоры поступили от разных поставщиков, то каждую партию полезно исследовать по отдельности (сделать несколько выборок).

Итак, пусть Фёдор по всем правилам выбрал помидоров, и теперь дело за малым – взвесить каждый овощ: (граммы) и вычислить выборочную среднюю:
– среднюю массу помидора в выборке.

При этом очевидно, что чем больше объем выборочной совокупности, тем полученное значение будет точнее приближать генеральную среднюю .

Но фишка состоит в том, что если начать увеличивать выборку в два, три и бОльшее количество раз, то будут получаться выборочные средние, которые мало отличаются от уже рассчитанного значения . Вы спрОсите, как это установлено? Эмпирически. В результате огромного количества реально проведённых исследований.

Таким образом, нет никакого практического смысла тратить силы, время, деньги, нервы на исследование бОльшей выборки и тем более, всей генеральной совокупности.

Вот оно как – в статистике есть и прямая экономическая выгода!

И ещё один момент, чуть не забыл: обратите внимание на используемые буквы – они стандартны. Другие варианты встречаются реже.

Вторая часть задачи. Определим вместе с Фёдором среднюю долю высококачественных помидоров на базе (ну мы же не садисты заставлять его одного заново перебирать 1000 штук :)).

В отличие от первого этапа, здесь мы исследуем уже качественный признак, для которого, тем не менее, можно сформулировать чёткие критерии. Пусть первосортный помидор – это чёрный, лысый красный, спелый, без видимых дефектов, массой выше среднего.

Совершенно понятно, что генеральная совокупность содержит таких помидоров, и существует точное значение:
– генеральная доля первосортных помидоров.

Но по причине трудозатратности и нецелесообразности полного исследования, достаточно подсчитать количество таких овощей в выборке и вычислить:
– выборочную долю, которая будет весьма близка к истинному значению . Но это только, напомню, при условии грамотно организованной и проведённой выборки.

Доля, как вы догадываетесь, может принимать значение от 0 до 1, и иногда её домножают на 100, чтобы выразить этот показатель в процентах.

Константин, Фёдор, спасибо за участие, а остальные, как в том анекдоте, поедут на картошку 🙂 Тем более, сейчас на дворе конец сентября, а осень, как сказал прозаик, это клубни.

В качестве разминки предлагаю вам задачу с тремя пунктами различного уровня сложности. Проверьте наличие инструментов под рукой и свои навыки вычислений (Эксель вечной живой по-прежнему тут):

а) Урожайность картофеля по трём областям за **** год составила 147, 145, 155 ц/га (центнеров с га). Требуется вычислить среднюю урожайность.

Метрическая справка: 1 центнер = 100 кг, 1 тонна = 1000 кг;
1 гектар (га) = 10000 квадратных метров;
показатель ц/га обозначает, сколько центнеров собрано с 1 гектара.

Не забываем приписывать к итоговому результату размерность! (секунды, граммы и т.д., а в данном случае – ц/га).

Вариация чуть сложнее:

б) Известны следующие данные по трём областям:

…это нарисовали чиновники для отчёта – привыкайте к настоящей статистике!:)))

Требуется вычислить среднюю урожайность.

Обратите внимание, что здесь урожайность, скажем, по 3-й области велика, но её посевная площадь мала. Поэтому урожайность уместно «взвесить» по площадям.

и третий пункт, творческий:

в) вычислить среднюю урожайность по следующим данным:

«Валовой» – это значит, всего собрано по области.

ДУМАЕМ, ВНИКАЕМ и РАССУЖДАЕМ – принцип здесь точно такой же, как и при решении задач по теории вероятностей. И, главное, не паримся – это просто разминочные задачи!

Решения с пояснениями и ответы совсем близко.

И в заключение вводного урока систематизируем самое важное:

Математическая статистика – это наука, изучающая методы сбора и обработки статистической информации для получения научных и практических выводов.

Основным методом матстатистики является выборочный метод, его суть состоит в исследовании представительной выборочной совокупности – для достоверной характеристики совокупности генеральной. Данный метод экономит временнЫе, трудовые и материальные затраты, поскольку исследование всей совокупности зачастую затруднено или невозможно.

Для решения задач по математической статистике требуется калькулятор, Эксель и голова. …Нет-нет-нет, голова, разумеется, ещё много где нужна 🙂

И я желаю вам успехов в дальнейшем освоении курса!

Вперёд без страха и сомнений:

. как ваша форма? Продолжаем!

и продолжение следует!

а) Используем простую среднюю:
ц/га – в среднем по трём областям.

б) Используем средневзвешенную (по площади) среднюю:

ц/га в среднем по трём областям.

в) Здесь урожайность тоже следует переоценить через посевную площадь, используя формулу Посевная площадь = Валовой сбор / Урожайность:
ц/га в среднем по трём областям. Такой вид средней иногда называют средней гармонической.

И здесь часто задают вопрос по размерности, комментирую: за размерностью можно проследить в бравом физико-математическом стиле. В числителе у нас расположены сотни тонн (миллионы кг). В знаменателе миллионы кг делим на центнеры с га, избавляемся от трёхэтажности и сокращаем дробь на 100 кг:
(общая посевная площадь)
И, наконец, размерность всей дроби:
или центнеры с га.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник