Что такое степень числа 5 класс
Степень числа. Квадрат и куб числа
Определение.
Степенью числа «
» с натуральным показателем «
«, большим 1, называется произведение «» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу ««.
Например, найдем значение следующих степеней:
2 4 = 2
222 = 422 = 82 = 16;
3 6 = 333333 = 93333 = 27333 = 8133 =2433 = 729.
Например, найдем квадрат чисел 4 и 8:
4 2 = 44 = 16;
8 2 = 88 = 64.
Например, найдем куб чисел 5 и 7:
5 3 = 555 = 255 = 125;
7 3 = 777 = 495 = 343;
Степенью числа «» с показателем = 1 является само это число, то есть 
.
Сначала выполним возведение во 2 степень числа 4, затем находим значение выражения, находящегося в скобках, после чего выполняем умножение, и последним действием выполняем вычитание:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Математика. 5 класс
Конспект урока
Степень с натуральным показателем
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— понятие степени с натуральным показателем;
— вычисление квадрата числа;
— вычисление куба числа.
Квадрат числа – это вторая степень числа.
Куб числа – это третья степень числа.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Нам известно, что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче – в виде произведения:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ∙ 5
Произведение одинаковых чисел также можно записать короче:
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 5
Это произведение можно записать короче, полученный результат называют степенью. Читается так: «четыре в пятой степени».
Запись 4 3 (четыре в степени три) означает 4 ∙ 4 ∙ 4. При этом число 4 называют основанием степени, а число 3 – показателем степени. Число три показывает, сколько раз нужно взять множителем основание степени – число 4: 4 3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.
Степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называют произведение n натуральных множителей, каждый из которых равен а:
Таким образом, можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем, большим единицы. Стоит запомнить, что любое число в первой степени будет ровняться ему самому, т. е. a 1 = a.
Вторую степень числа называют квадратом числа. Запись 4 2 читают «четыре в квадрате». Третью степень числа называют кубом числа. Запись 4 3 читают «четыре в кубе».
Обратите внимание на таблицы квадратов и кубов натуральных чисел. Со временем вы их запомните.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Найдите чему равно 13 4 = ____.
№ 2. Чему равна пятая степень 19? Выберите верный ответ.
Степень числа: определения, обозначение, примеры
В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.
Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа
Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).
Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.
Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.
Что такое степени с целым показателем
В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.
Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: 
.
При этом n – любое целое положительное число.
Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:
Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0
При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.
Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).
Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:
В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:
Что такое степени с рациональным показателем
Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.
Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.
Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.
Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как
При отрицательном отношении m n 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.
Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
Объединим все данные выше определения в одной записи:
Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.
Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.
При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:
Что такое степени с иррациональным и действительным показателем
Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.
и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).
Степень числа
Всего получено оценок: 164.
Всего получено оценок: 164.
Степень – это еще один тема в изучении арифметических действий. Первой было сложение и вычитание, второй – умножение и деление, третьей станет возведение в степень и извлечение корня. Знание степеней и их свойств позволяет значительно ускорить счет, а зачастую без этих знаний не обойтись при решении уравнений математики 5 класса.
Определение
Что значит возвести в степень? Это значит умножить число само на себя какое-то количество раз. Какое именно – показывает показатель степени. Сама степень состоит из двух частей. Основание – это то число, которое мы будем умножать само на себя. Показатель – это число, показывающее сколько раз число нужно умножить само на себя. Вот и вся формула степени числа.
Понимание разных частей формулы степени обязательно. Поскольку без него будет трудно в дальнейшем понять, что же такое логарифм.
Чаще всего возводится в квадрат, потому что числа в квадрате очень часто применяются в физических и математических вычислениях. Но и более высокие степени есть и нужно уметь их вычислять. Специально для квадратов и кубов составлены краткие таблицы, которые позволяют быстро вычислить то или иное значение степени, без вычислений по возведению.
Свойство степеней
У степени всего 6 свойств. Для каждого из них есть буквенная формулировка.
Свойства это хороший вариант быстро подсчитать результат больших чисел. Найти число в степени не так трудно, особенно с современными калькуляторами и таблицами степеней. А вот понять, какое именно число и в какую степень возводить, это уже задача для человеческого ума.
Корень
Обратное действие для возведения в степень это извлечение корня. Извлечение корня подразумевает под собой необходимость узнать, какое число возводили в ту или иную степень, чтобы получилось искомое число.
Если мы ищем квадратный корень из 4, то необходимо узнать, какое натуральное число возводилось в квадрат для получения числа 4.
Что мы узнали?
Мы дали определение степени числа, разобрали, как расписывается степень в выражениях. Определили 6 свойств степени, привели формулировку и буквенную запись для каждой из них. Поговорили об обратном для степени действии – корне, о его значении и способах вычисления.