Что такое степень графа
Степень графа
Степень графа не следует путать с умножением графа на себя, который (в отличие от степени графа), в общем случае, имеет много больше вершин, чем исходный граф.
Связанные понятия
Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице).
В теории графов рёберным графом L(G) неориентированного графа G называется граф L(G), представляющий соседство рёбер графа G.
В теории графов графом гиперкуба Qn называется регулярный граф с 2n вершинами, 2n−1n рёбрами и n рёбрами, сходящимися в одной вершине. Его можно получить как одномерный скелет геометрического гиперкуба. Например, Q3 — это граф, образованный 8 вершинами и 12 рёбрами трёхмерного куба. Граф можно получить другим образом, отталкиваясь от семейства подмножеств множества с n элементами путём использования в качестве вершин все подмножества и соединением двух вершин ребром, если соответствующие множества.
В теории графов короной с 2n вершинами называется неориентированный граф с двумя наборами вершин ui и vi и рёбрами между ui и vj, если i ≠ j. Можно рассматривать корону как полный двудольный граф, из которого удалено совершенное паросочетание, как двойное покрытие двудольным графом полного графа, или как двудольный граф Кнезера Hn,1, представляющий подмножества из 1 элемента и (n − 1) элементов множества из n элементов с рёбрами между двумя подмножествами, если одно подмножество содержится в другом.
В теории графов графом без клешней называется граф, который не содержит порождённых подграфов, изоморфных K1,3 (клешней).
В теории графов outerplanar graph — это граф, допускающий планарную диаграмму, в которой все вершины принадлежат внешней грани.
Орграф называется сильно связным (англ. strongly connected), если любые две его вершины сильно связны. Две вершины s и t любого графа сильно связны, если существует ориентированный путь из s в t и ориентированный путь из t в s.
В теории графов циркулянтным графом называется неориентированный граф, имеющий циклическую группу симметрий, которая включает симметрию, переводящую любую вершину в любую другую вершину.
В теории графов графом-циклом называется граф, состоящий из единственного цикла, или, другими словами, некоторого числа вершин, соединённых замкнутой цепью. Граф-цикл с n вершинами обозначают как Cn. Число вершин в Cn равно числу рёбер и каждая вершина имеет степень 2, то есть любая вершина инцидентна ровно двум рёбрам.
В теории графов параллельно-последовательные графы — это графы с двумя различными вершинами, которые называются терминальными, образованные рекурсивно с помощью двух простых операций. Эти графы могут быть использованы для моделирования последовательного и параллельного соединения электрических цепей.
В теории графов неориентированный граф H называется минором графа G, если H может быть образован из G удалением рёбер и вершин и стягиванием рёбер.
В теории графов графом пересечений называется граф, представляющий схему пересечений семейства множеств. Любой граф можно представить как граф пересечений, но некоторые важные специальные классы можно определить посредством типов множеств, используемых для представления в виде пересечений множеств.
В теории графов совершенным графом называется граф, в котором хроматическое число любого порождённого подграфа равно размеру максимальной клики этого подграфа. Благодаря строгой теореме о совершенных графах, с 2002 года известно, что совершенные графы — это то же самое, что и графы Бержа. Граф G является графом Бержа если ни G, ни его дополнение не имеет порождённых циклов нечётной длины (5 и более рёбер).
Теория графов — основы
График — это диаграмма точек и линий, соединенных с точками. У него есть по крайней мере одна линия, соединяющая набор из двух вершин без вершин, соединяющих себя. Понятие графов в теории графов опирается на некоторые основные термины, такие как точка, линия, вершина, ребро, степень вершин, свойства графов и т. Д. Здесь, в этой главе, мы рассмотрим эти основы теории графов.
точка
Точка — это конкретная позиция в одномерном, двухмерном или трехмерном пространстве. Для лучшего понимания точку можно обозначить алфавитом. Его можно обозначить точкой.
пример
Здесь точка — это точка с именем «а».
Линия
Линия — это связь между двумя точками. Это может быть представлено сплошной линией.
пример
Здесь «а» и «б» являются точками. Связь между этими двумя точками называется линией.
пример
Здесь вершина названа с алфавитом «а».
Ребро — это математический термин для линии, соединяющей две вершины. Многие ребра могут быть сформированы из одной вершины. Без вершины ребро не может быть сформировано. Для ребра должна быть начальная и конечная вершина.
пример
Здесь «a» и «b» — две вершины, и связь между ними называется ребром.
график
Граф ‘G’ определяется как G = (V, E), где V — множество всех вершин, а E — множество всех ребер графа.
Пример 1
В приведенном выше примере ab, ac, cd и bd являются ребрами графа. Аналогично, a, b, c и d являются вершинами графа.
Пример 2
В этом графе есть четыре вершины a, b, c и d и четыре ребра ab, ac, ad и cd.
петля
В графе, если ребро нарисовано от вершины к себе, это называется циклом.
Пример 1
На приведенном выше графике V — вершина, для которой у нее есть ребро (V, V), образующее петлю.
Пример 2
В этом графе есть две петли, которые сформированы в вершине a, и вершине b.
Степень вершины
Это число вершин, смежных с вершиной V.
Обозначение — град (V).
В простом графе с n числом вершин степень любых вершин равна —
Степень вершины можно рассматривать по двум случаям графов —
Степень вершины в неориентированном графе
Ненаправленный граф не имеет направленных ребер. Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1
Посмотрите на следующий график —
На приведенном выше неориентированном графике
deg (a) = 2, поскольку в вершине ‘a’ встречаются 2 ребра.
deg (b) = 3, поскольку в вершине ‘b’ встречаются 3 ребра.
deg (c) = 1, поскольку в вершине ‘c’ сформировано 1 ребро
deg (d) = 2, поскольку в вершине ‘d’ встречаются 2 ребра.
deg (e) = 0, так как в вершине ‘e’ есть 0 ребер.
deg (a) = 2, поскольку в вершине ‘a’ встречаются 2 ребра.
deg (b) = 3, поскольку в вершине ‘b’ встречаются 3 ребра.
deg (c) = 1, поскольку в вершине ‘c’ сформировано 1 ребро
deg (d) = 2, поскольку в вершине ‘d’ встречаются 2 ребра.
deg (e) = 0, так как в вершине ‘e’ есть 0 ребер.
Пример 2
Посмотрите на следующий график —
На приведенном выше графике
deg (a) = 2, deg (b) = 2, deg (c) = 2, deg (d) = 2 и deg (e) = 0.
Вершина «е» является изолированной вершиной. Граф не имеет никакой вершины.
Степень вершины в ориентированном графе
В ориентированном графе каждая вершина имеет степень и степень.
Степень графа
Степень вершины V — это количество ребер, входящих в вершину V.
Обозначение — град — (V).
Степень вершины V — это количество ребер, входящих в вершину V.
Обозначение — град — (V).
Степень графа
Отступ вершины V — это число ребер, выходящих из вершины V.
Обозначение — град + (V).
Отступ вершины V — это число ребер, выходящих из вершины V.
Обозначение — град + (V).
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1
Посмотрите на следующий ориентированный граф. Вершина «а» имеет два ребра, «ad» и «ab», которые идут наружу. Следовательно, его степень равна 2. Аналогично, существует ребро «ga», идущее к вершине «a». Следовательно, степень «а» равна 1.
Степень и степень других вершин показаны в следующей таблице:
| темя | полустепень захода | полустепень |
|---|---|---|
| 1 | 2 | |
| б | 2 | 0 |
| с | 2 | 1 |
| d | 1 | 1 |
| е | 1 | 1 |
| е | 1 | 1 |
| г | 0 | 2 |
Пример 2
Посмотрите на следующий ориентированный граф. Вершина ‘a’ имеет ребро ‘ae’, идущее наружу от вершины ‘a’. Следовательно, его степень равна 1. Аналогично, у графа есть ребро «ba», приближающееся к вершине «a». Следовательно, степень «а» равна 1.
Степень и степень других вершин показаны в следующей таблице:
| темя | полустепень захода | полустепень |
|---|---|---|
| 1 | 1 | |
| б | 0 | 2 |
| с | 2 | 0 |
| d | 1 | 1 |
| е | 1 | 1 |
Кулон Вертекс
Используя степень вершины, мы получаем два специальных типа вершин. Вершина с первой степенью называется нерешенной вершиной.
пример
Здесь, в этом примере, вершина ‘a’ и вершина ‘b’ имеют соединенное ребро ‘ab’. Таким образом, что касается вершины «a», то к вершине «b» имеется только одно ребро, и аналогично по отношению к вершине «b» есть только одно ребро к вершине «a». Наконец, вершина ‘a’ и вершина ‘b’ имеют степень как единицу, которая также называется висячей вершиной.
Изолированная вершина
Вершина с нулевой степенью называется изолированной вершиной.
пример
Здесь вершина «a» и вершина «b» не имеют связи между собой, а также с любыми другими вершинами. Таким образом, степень обеих вершин ‘a’ и ‘b’ равна нулю. Они также называются изолированными вершинами.
смежность
Вот нормы смежности —
В графе две вершины называются смежными, если между двумя вершинами есть ребро. Здесь смежность вершин поддерживается одним ребром, соединяющим эти две вершины.
В графе два ребра называются смежными, если между двумя ребрами есть общая вершина. Здесь смежность ребер поддерживается единственной вершиной, соединяющей два ребра.
В графе две вершины называются смежными, если между двумя вершинами есть ребро. Здесь смежность вершин поддерживается одним ребром, соединяющим эти две вершины.
В графе два ребра называются смежными, если между двумя ребрами есть общая вершина. Здесь смежность ребер поддерживается единственной вершиной, соединяющей два ребра.
Пример 1
На приведенном выше графике —
«a» и «b» — это смежные вершины, так как между ними есть общее ребро «ab».
«a» и «d» являются смежными вершинами, так как между ними есть общее ребро «ad».
ab ‘и’ be ‘- смежные ребра, так как между ними есть общая вершина’ b ‘.
be ‘и’ de ‘- смежные ребра, так как между ними есть общая вершина’ e ‘.
«a» и «b» — это смежные вершины, так как между ними есть общее ребро «ab».
«a» и «d» являются смежными вершинами, так как между ними есть общее ребро «ad».
ab ‘и’ be ‘- смежные ребра, так как между ними есть общая вершина’ b ‘.
be ‘и’ de ‘- смежные ребра, так как между ними есть общая вершина’ e ‘.
Пример 2
На приведенном выше графике —
a ‘и’ d ‘являются смежными вершинами, так как между ними есть общее ребро’ ad ‘.
‘c’ и ‘b’ являются смежными вершинами, так как между ними есть общее ребро ‘cb’.
‘ad’ и ‘cd’ являются смежными ребрами, так как между ними есть общая вершина ‘d’.
ac ‘и’ cd ‘являются смежными ребрами, так как между ними есть общая вершина’ c ‘.
a ‘и’ d ‘являются смежными вершинами, так как между ними есть общее ребро’ ad ‘.
‘c’ и ‘b’ являются смежными вершинами, так как между ними есть общее ребро ‘cb’.
‘ad’ и ‘cd’ являются смежными ребрами, так как между ними есть общая вершина ‘d’.
ac ‘и’ cd ‘являются смежными ребрами, так как между ними есть общая вершина’ c ‘.
Параллельные края
В графе, если пара вершин соединена более чем одним ребром, то эти ребра называются параллельными ребрами.
На приведенном выше графике «a» и «b» — это две вершины, которые соединены между собой двумя ребрами «ab» и «ab». Так это называется параллельным ребром.
Мульти График
Граф, имеющий параллельные ребра, называется мультиграфом.
Пример 1
На приведенном выше графике есть пять ребер «ab», «ac», «cd», «cd» и «bd». Поскольку ‘c’ и ‘d’ имеют два параллельных ребра между ними, это мультиграф.
Пример 2
На приведенном выше графике вершины «b» и «c» имеют два ребра. Вершины ‘e’ и ‘d’ также имеют два ребра между ними. Следовательно, это мультиграф.
Степень последовательности графика
Если степени всех вершин в графе расположены в порядке убывания или возрастания, то полученная последовательность называется последовательностью графа графа.
Пример 1
| темя | б | с | d | е | |
|---|---|---|---|---|---|
| Присоединенный к | До нашей эры | объявление | объявление | с, Ь, е | d |
| степень | 2 | 2 | 2 | 3 | 1 |
На приведенном выше графике для вершин
Пример 2
| темя | б | с | d | е | е | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Присоединенный к | быть | а, с | б, г | с, е | объявление | — |
| степень | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 |
На приведенном выше графике для вершин
Степень вершины (теория графов)
Содержание
Лемма о рукопожатиях
По формуле суммы степеней для графа 
,
то есть сумма степеней вершин любого графа равна удвоенному числу его рёбер. Кроме того, формула утверждает, что в любом графе число вершин нечётной степени чётно. Данное утверждение (и сама формула) известны как лемма о рукопожатиях. Название происходит от известной математической задачи: необходимо доказать, что в любой группе число людей, пожавших руку нечётному числу других чётно.
Последовательность степеней вершин
Последовательность степеней вершин неориентированного графа является невозрастающей последовательностью. [2] Для графа, изображённого на рис. 1, она имеет вид (5, 3, 3, 2, 2, 1, 0). Последовательность степеней вершин есть инвариант графа, поэтому у изоморфных графов она одинакова. Однако последовательность степеней вершин не является уникальной характеристкой графа: в некоторых случаях неизоморфные графы также обладают одинаковой последовательностью.
Проблема последовательности степеней заключается в нахождении некоторых или всех графов с заданной невозрастающей последовательностью, состоящей из натуральных чисел (нулевые степени при этом могут быть проигнорированы, так как их количество изменяется добавлением или удалением изолированных вершин). Последовательность, являющаяся последовательностью степеней какого-либо графа, называется графической (англ. graphical sequence ). Из формулы суммы степеней следует, что любая последовательность с нечётной суммой (как, к примеру, 3, 3, 1) не может быть последовательностью степеней графа. Обратное также верно: если последовательность имеет чётную сумму, она представляет собой последовательность степеней мультиграфа. Построение такого графа осуществляется достаточно простым способом: необходимо объединить вершины нечётных степеней в пары, к оставшимся незаполненными вершинам следует добавить петли.
Сложнее реализовать простой граф с заданной последовательностью. Теорема Эрдёша — Галлаи утверждает, что невозрастающая последовательность di (при i = 1,…,n) может быть последовательностью простого графа только если её сумма чётна и выполняется неравенство
Например, последовательность (3, 3, 3, 1) не может являться последовательностью простого графа; она удовлетворяет неравенству Эрдёша — Галлаи только при k равном 1, 2 или 4, но не при k равном 3.
С. Л. Хакими доказал, что (d1, d2, …, dn) есть последовательность степеней простого графа только если существует (d2 − 1, d3 − 1, …, dd1+1 − 1, dd1+2, dd1+3, …, dn). Этот факт позволил разработать простой алгоритм нахождения простого графа с заданной реализуемой последовательностью:
Проблема нахождения или оценки числа графов по заданной последовательности относится к области перечисления графов.
Частные значения
Общие свойства
См. также
Примечания
Источники
Полезное
Смотреть что такое «Степень вершины (теория графов)» в других словарях:
Дуга (теория графов) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Цикл (теория графов) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Дерево (теория графов) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дерево (значения). Дерево это связный ациклический граф.[1] Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность отсутствие циклов и то, что между парами вершин… … Википедия
Графов теория — раздел конечной математики (См. Конечная математика), особенностью которого является геометрический подход к изучению объектов. Основное понятие теории граф. Граф задаётся множеством вершин (точек) и множеством рёбер (связей), соединяющих … Большая советская энциклопедия
Глоссарий теории графов — Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Теория графов Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия
Словарь терминов теории графов — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
Практическое применение раскраски графов — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Раскраска графов практически применяется (постановку задачи различиных раскрасок здесь обсуждаться не будет) дл … Википедия
Теоремы теории графов — Здесь собраны теоремы из теории графов. Содержание 1 Лемма о рукопожатиях 2 Существование эйлерова пути и цикла … Википедия
Вершина (граф) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Длина пути в орграфе — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
4.2 Локальные степени графа
Если число ребер графа конечно, то такой граф называется Конечным, в противном случае – это Бесконечный Граф. При таком определении конечный граф может иметь бесконечное число вершин, но все они, кроме конечного числа, являются изолированными. Однако обычно в конечном графе число вершин также конечно.
Пусть G – неориентированный граф. Число ребер, инцидентных одной вершине А, называется Локальной степенью Или просто Степенью графа G в вершине А.
Обозначается степень r(А).
Если все числа r(А), А Î V являются конечными, то граф называется Локально конечным. При подсчете r(А) некоторую путаницу вносят петли, так как их можно считать и как однократное, и как двойное ребро.
Если в G нет кратных ребер, то есть только две возможности: R(A,B)=0 или R(A,B) = 1. Очевидно, что каждая локальная степень есть сумма: r(А) = 
R(A,B).
Обозначим число ребер в графе G как N = N(G).
Так как каждое ребро учитывается в двух локальных степенях, для A и B, то имеем:
2N = 
R(А), или 2N = 
R(A,B).
Эта формула остается справедливой и при наличии петель, если только в локальных степенях их считать дважды.
Сумма в правой части всегда четная. Отсюда следует теорема:
В конечном графе число вершин нечетной степени всегда четное.
Если локальные степени всех вершин графа G одинаковы и равны r(А) = N, то граф G называется Однородным степени N.
Примерами однородных графов являются графы, составляемые ребрами и вершинами платоновых тел: Конечные, однородные и бесконечные однородные (рис.4.8).