Что такое степень определение в алгебре
Степень числа. Квадрат и куб числа
Определение.
Степенью числа «
» с натуральным показателем «
«, большим 1, называется произведение «» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу ««.
Например, найдем значение следующих степеней:
2 4 = 2
222 = 422 = 82 = 16;
3 6 = 333333 = 93333 = 27333 = 8133 =2433 = 729.
Например, найдем квадрат чисел 4 и 8:
4 2 = 44 = 16;
8 2 = 88 = 64.
Например, найдем куб чисел 5 и 7:
5 3 = 555 = 255 = 125;
7 3 = 777 = 495 = 343;
Степенью числа «» с показателем = 1 является само это число, то есть 
.
Сначала выполним возведение во 2 степень числа 4, затем находим значение выражения, находящегося в скобках, после чего выполняем умножение, и последним действием выполняем вычитание:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Степени и их свойства
Данная тема очень легкая, если выучить все свойства степеней. Они, кстати, достаточно просты для запоминания.
Перед тем, как перейти в свойствам степеней, разберемся, что такое степень.
Показатель степени показывает (масло масляное) сколько раз мы умножаем основание на себя. Это очень хорошо проглядывается на следующих примерах:
Вроде бы ничего сложного нет, правда?
Что ж, время перейти к свойствам.
Свойства степеней.
1. Любое число в первой степени равно самому себе: a 1 = a.
Сразу рассмотрим примеры.
2. Любое число в нулевой степени равно 1: а 0 = 1.
3. Единица в любой степени равна 1: 1 n = 1.
Это свойство легко доказать на числовом примере.
Конечно, так никто не расписывает, а сразу пользуется готовой формулой. Вот еще несколько примеров:
3 4 · 3 9 · 3 15 = 3 4 + 9 + 15 = 3 2 8 ;
Еще парочка примеров:
(2 2 ) 3 = 2 2 · 3 = 2 6 ;
8. Чтобы возвести дробь в степень надо и числитель, и знаменатель возвести в эту степень:
.
9. Степень с дробным показателем можно представить в виде корня некоторой степени по формуле 
(а > 0, n ≥ 2).
10. Чтобы возвести число, отличное от нуля, в степень с отрицательным показателем надо взять число, обратное данному, и возвести его в ту же степень, только без минуса: 
(a ≠ 0).
Это же правило работает и для дробей: 
(a ≠ 0, b ≠ 0).
Все эти свойства срабатывают как в одну сторону, так и в другую. Соберем их в аккуратную табличку.
Нам нужно сократить такую дробь:
Преобразуем знаменатель дроби, дважды использовав формулу по номером 5 из второго столбика таблицы.
Получившиеся частные в знаменателе запишем в виде дробей.
Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту). Нижний ярус этой дроби перейдет в верхний. Это не магия вне Хогвартса, но описывать эти преобразования текстом очень грустно. Если коротенько, то при делении на дробь мы ее переворачиваем и получается, что знаменатель заползает наверх 🙂
Переходим к финалу. Преобразуем знаменатель по свойству 7 из второго столбика таблицы (снова) и, наконец-таки, сокращаем дробь!
Степень и ее свойства. Определение степени
Разделы: Математика
Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
По определению степени:
а n = 
Нахождение значения степени называют возведением в степень.
1. Примеры возведения в степень:
2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ; 
25 = 5 2 ; 0,09 = ( 0,3 ) 2 ;
.
.3. Представьте в виде куба числа:
4. Найти значения выражений:
а) 3• 10 3 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
2. Представьте в виде квадрата числа:
16 ; 0,25 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
125 ; 0,027 ; 
.
4. Найти значения выражений :
Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:
Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
a m a n a k = a m + n a k = a ( m + n ) + k = a m + n + k
1. Представить в виде степени:
б) y• y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7
в) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
г) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6
д) 0,01• 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
б) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187
1. Представить в виде степени:
д) 2 3 •2 4 к) 0,3 3 •0,09
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
б) 3 4 •3 2 г) 27• 243
Для любого числа а
0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:
по определению частного:
Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:
1. Представьте в виде степени частное:
г) с 5 :с 0 = с 5 :1 = с 5
2. Найдите значения выражений:
б) 10 20 :10 17 = 10 3 = 1000
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
Возведение в степень произведения.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n:
По определению степени
( ab ) n = 
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:
= 
Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.
( a• b• c ) n = a n •b n •c n ;
Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.
1. Возвести в степень:
б) (2• х• у ) 3 =2 3 •х 3 •у 3 = 8• х 3 •у 3
в) ( 3• а ) 4 = 3 4 •а 4 = 81• а 4
д) (-0,2• х• у ) 2 = (-0,2) 2 •х 2 •у 2 = 0,04• х 2 •у 2
е) (-3• a• b• c ) 4 = (-3) 4 •a 4 •b 4 •c 4 = 81• a 4 •b 4 •c 4
2. Найти значение выражения:
а) (2• 10) 4 = 2 4 •10 4 = 16• 1000 = 16000
б) (3• 5• 20) 2 = 3 2 •100 2 = 9• 10000= 90000
в) 2 4 •5 4 = (2• 5) 4 = 10 4 = 10000
г) 0,25 11 •4 11 = (0,25• 4) 11 = 1 11 = 1
д) 
1. Возвести в степень:
е) 
2. Найти значение выражения:
г) 
д) 
Возведение в степень степени.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:
По определению степени
( а m ) n = 
Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
1. Возвести в степень:
( а 3 ) 2 = а 6 ( х 5 ) 4 = х 20
( у 5 ) 2 = у 10 ( b 3 ) 3 = b 9
2. Упростите выражения:
а) а 3 •( а 2 ) 5 = а 3 •а 10 = а 13
б) ( b 3 ) 2 •b 7 = b 6 •b 7 = b 13
в) ( х 3 ) 2 •( х 2 ) 4 = х 6 •х 8 = х 14
г) ( у• у 7 ) 3 = ( у 8 ) 3 = у 24
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
в) ( у 3 ) 2 г) ( b 4 ) 4
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
Приложение
1ю Запишите произведение в виде степени:
б) 
2. Представьте в виде квадрата числа:
25 ; 0,16 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
64 ; 0,125 ; 
.
4. Найти значения выражений:
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
в) с• с• с• с• с• с• с• с• с
2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
1000 ; 0,008 ; 
.
4. Найти значения выражений :
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )
2. Представьте в виде квадрата числа:
81 ; 0,64 ;
.
3. Представьте в виде куба числа:
216 ; 0,064 ; 
.
4. Найти значения выражений :
1. Представить в виде степени:
д) 2 2 •2 5 к) 0,2 3• 0,04
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представить в виде степени:
д) 2 3 •2 6 к) 0,3 4 •0,27
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представить в виде степени:
б) х 7 •х 8 ж) 3 4 •27
д) 2 4 •2 5 к) 0,2 2 •0,008
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
Возведение в степень произведения.
1. Возвести в степень:
2. Найти значение выражения:
д) 
1. Возвести в степень:
е) 
2. Найти значение выражения:
г) 
1. Возвести в степень:
2. Найти значение выражения:
д) 
Возведение в степень степени.
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).