Что такое структура додекаэдр
Додекаэдр
Математические характеристики додекаэдра
Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы додекаэдра
Сфера может быть вписана внутрь додекаэдра.
Радиус вписанной сферы додекаэдра
Площадь поверхности додекаэдра.
Для наглядности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.
Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон додекаэдра (это площадь правильного пятиугольника) умноженной на 12. Либо воспользоваться формулой:
Объем додекаэдра определяется по следующей формуле:
Вариант развертки
Древнегреческий философ Платон по одной из версий не относил додекаэдр ни к одному из земных элементов, а по другой из версий ассоциировал додекаэдр с эфиром (пустотой). Для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали желтый цвет.
Заметим, что это не единственный вариант развертки.
Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.
Представляем Вашему вниманию два варианта окраски додекаэдра с использованием шести и четырех цветов.
Додекаэдр — свойства, вид и структура двенадцатигранника
Додекаэдр — это двенадцатигранник, представляющий собой правильное геометрическое тело, образованное гранями в виде пятиугольников. Он относится к многогранникам, входит в группу платоновых тел, имеет особые характеристики, отличающие его от других математических элементов. Этой фигуре было дано название еще в Древней Греции. Благодаря особым свойствам объект нашел применение во многих сферах жизни человека.
Фигура в природе
Правильный многогранник считается шаблоном, привлекает безупречным совершенством формы и абсолютной симметричностью сторон. Природной моделью геометрической фигуры является кристалл пирита (FeS — колчедан сернистый).
Форму объемного додекаэдра имеют в природе различные объекты. К ним относятся:
В структуре ДНК наблюдается четкая связь. Спираль в виде двойной нити сформирована по схеме двухстороннего соответствия: после икосаэдра идет додекаэдр, затем снова икосаэдр и т. д.
Таким образом, еще с древности ученые доказывали, что в основе структуры дезоксирибонуклеиновой кислоты человека лежат священные правила геометрии и прочие невообразимые взаимосвязи. Работа над доказательством некоторых из них ведется и по сей день.
В древние времена о додекаэдре говорить вообще не было принято, а тем более упоминать вслух. Фигура считалась священной, так как, по мнению ученых, она представляет собой высшую форму человеческого сознания и расположена на внешнем краю энергетического пространства. Философы утверждают, что все человечество живет внутри огромного додекаэдра, заключающего в себе целую Вселенную. Он является завершающей фигурой в геометрии.
Геометрические свойства
Древние мудрецы утверждали: «Чтобы понять невидимое, внимательно смотри на видимое». В сакральных науках додекаэдр считается самым мощным и интересным многогранником. Впервые объемный двенадцатигранник был сделан и построен древнегреческим ученым Теэтетом в IV веке до нашей эры.
Фигура состоит из следующих элементов:
В додекаэдре насчитывается 15 осей симметрии с основным их центром. Каждая из них проходит посередине параллельных ребер, которые размещены при этом параллельно.
Любая из 15 плоскостей симметрии также проходит во всех гранях через середину и вершину противоположно расположенного ребра.
Чтобы понять, что собой представляет этот геометрический элемент, можно сделать развертку додекаэдра. Так более понятно выглядит его площадь. Кроме того, именно по этой схеме можно пошагово сделать фигуру самостоятельно из бумаги или картона, начертив предварительный шаблон с небольшими припусками для загибов.
На чертеже важно правильно определить линии сгибов. При этом немаловажно перед склеиванием знать, какой оттенок материала будет использован. По мнению древнегреческого философа Платона, додекаэдр не относится к известным земным элементам (Огонь, Вода, Земля) и поэтому ассоциируется с пустотой. Такая фигура делается из бумаги желтого цвета.
Развертка также может быть цветной. Первый классический вариант сборки — фигура с гранями, каждая из которых имеет свой оттенок. Второй способ — использование повторяющихся цветов, но они не могут граничить друг с другом.
Додекаэдр, ассоциирующийся с формой кристалла, имеет следующие характерные для него свойства и элементы симметрии:
Идея определения симметрии проста и интересна: если внутри кристалла вообразить ось, а потом вокруг нее повернуть фигуру на определенный угол, то элемент сам с собой совпадет. Это не свойственно никаким другим геометрическим фигурам.
Сфера применения
Благодаря своим свойствам додекаэдр широко используется в современной жизни в различных отраслях. Симметрия и правильная форма делают эту геометрическую фигуру незаменимой как в быту, так и в промышленности или науке.
Правильная схема додекаэдра используется:
Во время раскопок в XVIII веке на территории европейских стран были обнаружены подозрительные предметы, напоминающие по форме додекаэдры. Они были изготовлены из чистой бронзы и имели полое пространство внутри. Во всех гранях были отверстия с разным диаметром.
Таких объектов найдено более сотни, но ученым так и не удалось понять и догадаться, для чего они предназначались.
Находки датируются III—II вв. еком до наступления нашей эры, обнаружены на территории Франции, Германии, Италии, Испании и многих других стран. Если прислушаться к одной из версий, эти предметы использовались как подсвечники, так как внутри обнаружены восковые частички. Согласно другому предположению, это были древние календари, которые подсказывали оптимальное время посадки культур. Третья версия указывает на то, что объемные многогранники использовались как крепление для военного римского штандарта. Какой из фактов достоверный, неизвестно.
В качестве памятника архитектуры малый усеченный додекаэдр установлен в городе Обнинске около здания ДОСААФ. Сегодня это заброшенный объект, неизвестно даже, почему он здесь установлен и кто его автор. Однако точно определено, что появилась фигура еще при Советском Союзе.
Сакральное значение
Значение додекаэдра в сакральной геометрии обусловлено его совершенной формой. Эта наука объединяет совокупность дисциплин, которые обнаруживают и приписывают определенные качества различным фигурам и элементам, основываясь на их свойствах.
Идеальные пропорции способны привести в гармонию все окружающее пространство и находящиеся в нем тела. Энергия распределяется равномерно. Многогранник идеально подходит для медитативной практики, считается, что он выполняет функцию проводника и обеспечивает переход сознания в другую реальность. Специалисты приписывают фигуре способность мгновенно снимать усталость и стресс, улучшать память и повышать концентрацию внимания.
В первую очередь нужно обратить внимание на то, сколько вершин у додекаэдра. Их количество и взаимное расположение символизируют гармонию и уравновешенность.
Для додекаэдра характерны 3 звездчатые формы. В него можно вписать куб, в результате чего стороны вписанной фигуры станут диагоналями двенадцатигранника.
Если вместо пятиугольных граней использовать звезды, то ребра исчезнут, и образуется пространство из пересекающихся пяти кубов. Эти и многие другие удивительные свойства элемента делают его наиболее необычным и загадочным, не похожим ни на одну геометрическую фигуру.
Фигура в природе
Правильный многогранник считается шаблоном, привлекает безупречным совершенством формы и абсолютной симметричностью сторон. Природной моделью геометрической фигуры является кристалл пирита (FeS — колчедан сернистый).
Форму объемного додекаэдра имеют в природе различные объекты. К ним относятся:
В структуре ДНК наблюдается четкая связь. Спираль в виде двойной нити сформирована по схеме двухстороннего соответствия: после икосаэдра идет додекаэдр, затем снова икосаэдр и т. д.
Таким образом, еще с древности ученые доказывали, что в основе структуры дезоксирибонуклеиновой кислоты человека лежат священные правила геометрии и прочие невообразимые взаимосвязи. Работа над доказательством некоторых из них ведется и по сей день.
В древние времена о додекаэдре говорить вообще не было принято, а тем более упоминать вслух. Фигура считалась священной, так как, по мнению ученых, она представляет собой высшую форму человеческого сознания и расположена на внешнем краю энергетического пространства. Философы утверждают, что все человечество живет внутри огромного додекаэдра, заключающего в себе целую Вселенную. Он является завершающей фигурой в геометрии.
Геометрические свойства
Древние мудрецы утверждали: «Чтобы понять невидимое, внимательно смотри на видимое». В сакральных науках додекаэдр считается самым мощным и интересным многогранником. Впервые объемный двенадцатигранник был сделан и построен древнегреческим ученым Теэтетом в IV веке до нашей эры.
Фигура состоит из следующих элементов:
В додекаэдре насчитывается 15 осей симметрии с основным их центром. Каждая из них проходит посередине параллельных ребер, которые размещены при этом параллельно.
Любая из 15 плоскостей симметрии также проходит во всех гранях через середину и вершину противоположно расположенного ребра.
Чтобы понять, что собой представляет этот геометрический элемент, можно сделать развертку додекаэдра. Так более понятно выглядит его площадь. Кроме того, именно по этой схеме можно пошагово сделать фигуру самостоятельно из бумаги или картона, начертив предварительный шаблон с небольшими припусками для загибов.
На чертеже важно правильно определить линии сгибов. При этом немаловажно перед склеиванием знать, какой оттенок материала будет использован. По мнению древнегреческого философа Платона, додекаэдр не относится к известным земным элементам (Огонь, Вода, Земля) и поэтому ассоциируется с пустотой. Такая фигура делается из бумаги желтого цвета.
Развертка также может быть цветной. Первый классический вариант сборки — фигура с гранями, каждая из которых имеет свой оттенок. Второй способ — использование повторяющихся цветов, но они не могут граничить друг с другом.
Додекаэдр, ассоциирующийся с формой кристалла, имеет следующие характерные для него свойства и элементы симметрии:
Идея определения симметрии проста и интересна: если внутри кристалла вообразить ось, а потом вокруг нее повернуть фигуру на определенный угол, то элемент сам с собой совпадет. Это не свойственно никаким другим геометрическим фигурам.
Сфера применения
Благодаря своим свойствам додекаэдр широко используется в современной жизни в различных отраслях. Симметрия и правильная форма делают эту геометрическую фигуру незаменимой как в быту, так и в промышленности или науке.
Правильная схема додекаэдра используется:
Во время раскопок в XVIII веке на территории европейских стран были обнаружены подозрительные предметы, напоминающие по форме додекаэдры. Они были изготовлены из чистой бронзы и имели полое пространство внутри. Во всех гранях были отверстия с разным диаметром.
Таких объектов найдено более сотни, но ученым так и не удалось понять и догадаться, для чего они предназначались.
Находки датируются III—II вв. еком до наступления нашей эры, обнаружены на территории Франции, Германии, Италии, Испании и многих других стран. Если прислушаться к одной из версий, эти предметы использовались как подсвечники, так как внутри обнаружены восковые частички. Согласно другому предположению, это были древние календари, которые подсказывали оптимальное время посадки культур. Третья версия указывает на то, что объемные многогранники использовались как крепление для военного римского штандарта. Какой из фактов достоверный, неизвестно.
В качестве памятника архитектуры малый усеченный додекаэдр установлен в городе Обнинске около здания ДОСААФ. Сегодня это заброшенный объект, неизвестно даже, почему он здесь установлен и кто его автор. Однако точно определено, что появилась фигура еще при Советском Союзе.
Сакральное значение
Значение додекаэдра в сакральной геометрии обусловлено его совершенной формой. Эта наука объединяет совокупность дисциплин, которые обнаруживают и приписывают определенные качества различным фигурам и элементам, основываясь на их свойствах.
Идеальные пропорции способны привести в гармонию все окружающее пространство и находящиеся в нем тела. Энергия распределяется равномерно. Многогранник идеально подходит для медитативной практики, считается, что он выполняет функцию проводника и обеспечивает переход сознания в другую реальность. Специалисты приписывают фигуре способность мгновенно снимать усталость и стресс, улучшать память и повышать концентрацию внимания.
В первую очередь нужно обратить внимание на то, сколько вершин у додекаэдра. Их количество и взаимное расположение символизируют гармонию и уравновешенность.
Для додекаэдра характерны 3 звездчатые формы. В него можно вписать куб, в результате чего стороны вписанной фигуры станут диагоналями двенадцатигранника.
Если вместо пятиугольных граней использовать звезды, то ребра исчезнут, и образуется пространство из пересекающихся пяти кубов. Эти и многие другие удивительные свойства элемента делают его наиболее необычным и загадочным, не похожим ни на одну геометрическую фигуру.
А правильный додекаэдр или же пятиугольный додекаэдр это додекаэдр то есть обычный, который состоит из 12 обычный пятиугольник лица, по три встречи на каждом вершина. Это один из пяти Платоновы тела. У него 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагонали лица, 100 диагонали пространства). [1] Он представлен Символ Шлефли <5,3>.
Содержание
Размеры
и радиус вписанной сферы (касательная каждой из граней правильного додекаэдра)
в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен
Эти количества также могут быть выражены как
Площадь и объем поверхности
В площадь поверхности А и объем V правильного додекаэдра реберной длины а находятся:
Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с величиной Золотое сечение. Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу обладает свойствами: [2]
Двумерные проекции симметрии
В правильный додекаэдр имеет два специальных ортогональные проекции, по центру, на вершины и пятиугольные грани, соответствуют A2 и H2 Самолеты Кокстера.
| В центре | Вершина | Край | Лицо |
|---|---|---|---|
| Изображение |  |  |  |
| Проективный симметрия | [[3]] = [6] | [2] | [[5]] = [10] |
В перспективная проекцияЕсли смотреть на пятиугольную грань, правильный додекаэдр можно рассматривать как прямолинейный Диаграмма Шлегеля, или же стереографическая проекция как сферический многогранник. Эти проекции также используются для отображения четырехмерного 120 ячеек, правильный 4-мерный многогранник, построенный из 120 додекаэдров, проецируя его до 3-х измерений.
| Проекция | Ортогональная проекция | Перспективная проекция | |
|---|---|---|---|
| Диаграмма Шлегеля | Стереографическая проекция | ||
| Правильный додекаэдр |  |  |  |
| Додекаплекс (120 ячеек) |  |  |  |
Сферическая черепица
Правильный додекаэдр также можно представить в виде сферическая черепица.
Декартовы координаты
Следующее Декартовы координаты определите 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией: [3]
Уравнения, определяющие грань
Подобно симметрии координат вершин, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также демонстрируют симметрию своих коэффициентов:
Характеристики
Геометрические отношения
В правильный додекаэдр является третьим в бесконечном наборе усеченные трапецоэдры который может быть построен путем усечения двух осевых вершин пятиугольный трапецоэдр.
В звездчатые правильного додекаэдра составляют три из четырех Многогранники Кеплера – Пуансо.
А исправленный правильный додекаэдр образует икосододекаэдр.
Отношение к правильному икосаэдру
Когда правильный додекаэдр вписан в сфера, он занимает больше объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%).
У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. У обоих по 30 ребер.
Отношение к вложенному кубу
Куб может быть встроен в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми из его равноудаленных вершин в пяти различных положениях. [4] Фактически, пять кубов могут перекрываться и блокироваться внутри правильного додекаэдра, что приводит к соединение пяти кубиков.
Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1:ϕ, или же (ϕ − 1) : 1.
Например, встроенный куб объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64 + 32.ϕ (и длина кромки 4ϕ − 4).
Таким образом, разница в объеме между окружающим правильным додекаэдром и замкнутым кубом всегда составляет половину объема куба, умноженного наϕ.
Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра а по золотой середине:
Отношение к золотому прямоугольнику
Золотые прямоугольники отношения (ϕ + 1): 1 и ϕ : 1 также идеально вписывается в правильный додекаэдр. [5] Пропорционально этому золотому прямоугольнику край замкнутого куба равен ϕ, когда большая длина прямоугольника равна ϕ + 1 (или ϕ 2 ), а короткая длина равна 1 (общее ребро с правильным додекаэдром).
Кроме того, в центре каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника. [6]
Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром
Базисные векторы трехмерной проекции [ты,v,ш] используются:
История и использование
Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли роль в изобразительном искусстве и философии.
Ямблих утверждает, что Гиппас, пифагорейец, погиб в море, потому что хвастался, что впервые открыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». [7] В Theaetetus, диалог Платона, Платон смог доказать, что существует всего пять однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновые тела. Тимей (ок. 360 г. до н. э.), как персонаж диалога Платона, связывает другие четыре платоновых тела с четырьмя классические элементы, добавив, что существует пятый сплошной узор, который, хотя обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда прямо не упоминается как таковой; «Этого Бог использовал при описании Вселенной». [8] Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr (эфир на латыни, эфир на американском английском).
Обычные додекаэдры использовались как игральные кости и, вероятно, также как гадательные приспособления. Вовремя Эллинистическая эпоха, малая, полая бронза Римский додекаэдр были сделаны и были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.
В Искусство 20 века, додекаэдры появляются в работе М. К. Эшер, например, его литографии Рептилии (1943) и Гравитация (1952). В Сальвадор Даликартина Таинство Тайной вечери (1955) помещение представляет собой полый правильный додекаэдр. Жерар Карис Основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, который представлен как новое направление в искусстве, названное пентагонизмом.
В современном ролевые игры, правильный додекаэдр часто используется как двенадцатигранный кубик, один из наиболее распространенных многогранная игральная кость.
Иммерсивные СМИКомпания-производитель камер создала камеру Dodeca 2360, первую в мире камеру с полным движением на 360 °, которая снимает видео высокого разрешения со всех сторон одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. [ рекламный язык ] Он основан на правильном додекаэдре. [ нужна цитата ]
В Мегаминкс извилистая головоломка, наряду со своими аналогами большего и меньшего порядка, имеет форму правильного додекаэдра.
В природе
Ископаемое кокколитофора Braarudosphaera bigelowii (см. рисунок), одноклеточный прибрежный фитопланктонный водоросль, имеет оболочку из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой около 10 микрометров в поперечнике. [9]
Немного квазикристаллы имеют додекаэдрическую форму (см. рисунок). Некоторые обычные кристаллы, такие как гранат и алмаз также говорят, что демонстрируют «додекаэдр» привычка, но это утверждение фактически относится к ромбический додекаэдр форма. [10]
Форма вселенной
Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. В добавок к примитивные геометрииэти предложения включают Додекаэдральное пространство Пуанкаре, положительно искривленное пространство, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьер Люмине и коллеги в 2003 г., [11] [12] оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году. [13]
Заполнение пространства кубиком и билунабиротондами
Правильные додекаэдры заполняют пространство кубики и билунобиротонды (Джонсон солид 91) в соотношении 1: 1: 3. [14] [15] Только додекаэдры составляют решетку от края до края. пиритоэдры. Двунабиротунды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб встречается с шестью билунабиротондами в трех ориентациях.
 Блочная модель |  |  Решетка додекаэдров |  6 билунобиротондов вокруг куба |
