Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² всСх Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² чисСл β€” матСматичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ сущСствуСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния. На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° трСбуСтся быстро ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ сумму Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π±Π΅Π· матСматичСских хитростСй Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ достаточно Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния

Для упрощСния расчСтов Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎ сути, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой частныС случаи Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности Π²ΠΈΠ΄Π°:

(a Β± b) 2 = a 2 Β± 2ab + b 2

Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅. ЕстСствСнно, ΠΎΠ½Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ для комплСксных чисСл, Ρ‚Π΅Ρ… самых, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ знакомимся Π² унивСрситСтском курсС матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Выглядит эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° достаточно ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎ:

Π³Π΄Π΅ i – лСгСндарная мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, которая рассчитываСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.

Π’ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ рСбята нСгласно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, которая Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠ°Π½Ρ‚Π΅ΠΎΠ½ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 βˆ’ 2ab.

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° идСально ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для вычислСния суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл. Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ трСбуСтся ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл? Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π° сцСнС появляСтся наша ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

Наша ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° позволяСт ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ сколько ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Для вычислСний Π²Π°ΠΌ потрСбуСтся ввСсти числа Π² ячСйку, ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»ΠΎΠΌ. ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, ΠΈ с запятой. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· / (слэш). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ сумму Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чисСл, Π½ΠΎ для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ это Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ?

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹

Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл? ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹ Π½Π΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΊΡƒΠ±Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ 33-Π΅ стСпСни? Π­Ρ‚ΠΈ вопросы Π²ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ чисСл. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π° сумму Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² β€” классичСская Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стоит исслСдованиС дСлимости. Π’ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° эта ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ: вопрос ставится Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, раскладываСтся Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число Π½Π° сумму Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². НСкоторыС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ΄ΡƒΡ‚ дальшС ΠΈ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ числа Π½Π° суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠœΡ‹ ΠΆΠ΅ просто ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ посмотрим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ получится Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ чисСл:

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ чисСл Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сами числа 25 ΠΈ 64 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ 5 ΠΈ 8 соотвСтствСнно. Магия Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… расчСтах.

Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° 5-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. ΠŸΡΡ‚ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ тСтраэдр ΠΈΠ»ΠΈ 5-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ симплСкс β€” это ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° для пятимСрного пространства. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΡƒΠ΄Π»ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ барицСнтричСском исчислСнии, Π½ΠΎ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΡ‚ вас Π½Π΅ потрСбуСтся Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΈΡ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° пятимСрного тСтраэдра рассчитываСтся ΠΏΠΎ достаточно простой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Π³Π΄Π΅ a, b, c, d – стороны симплСкса.

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΊΠΈ достаточно ввСсти Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°. Допустим, стороны симплСкса Π² условных Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ этим Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ячСйку Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π» ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 7,3725. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вычислим ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ выясним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° пятимСрного симплСкса Ρ€Π°Π²Π½Π° 2,715.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… чисСл β€” нСстандартная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°, которая вряд Π»ΠΈ встрСтится Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… расчСтах, ΠΊΠ°ΠΊ-Ρ‚ΠΎ вычислСниС Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π΄Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ограТдСния ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΈΡ†Ρ†Ρ‹. Для Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… матСматичСских расчСтов Π²Π°ΠΌ пригодится наша ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, которая быстро вычислит сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² сколько ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ большого количСства Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²?

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² – это статистичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π² рСгрСссионном Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ для опрСдСлСния разброса Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π’ рСгрСссионном Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Ρ†Π΅Π»ΡŒ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, насколько Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ряд Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π» создан ряд Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ матСматичСский способ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго соотвСтствуСт (мСньшС всСго отличаСтся) ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстна ΠΊΠ°ΠΊ вариация.

Π§Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²?

Допустим, Ρ†Π΅Π½Π° закрытия Microsoft (MSFT) Π·Π° послСдниС ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π΄Π½Π΅ΠΉ составляла 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 ΠΈ 73,40 Π² Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°Ρ… БША. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ†Π΅Π½ составляСт 369,73 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°, Π° срСдняя Ρ†Π΅Π½Π° ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 369,73 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π° / 5 = 73,95 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€Π°.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² – это сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ вариация опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ разброс ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ срСдним Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ соотвСтствия возводится Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ суммируСтся. Линия Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ соотвСтствия ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Как ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся суммой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ для краткости суммой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ наш ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ MSFT, сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ:

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ суммы ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ числу, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ отклонСния ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ отклонСния. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ рСалистичноС число, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ возвСсти сумму ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ любого числа, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ использования суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°Ρ… расчСта MSFT, большая сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ дальшС ΠΎΡ‚ срСднСго, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ большая ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Низкая сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π½ΠΈΠ·ΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° наблюдСний.

Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 1.0942 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСбания Ρ†Π΅Π½Ρ‹ Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ MSFT Π·Π° послСдниС ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈ, ΠΈ инвСсторы, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΡΡ‚Π°Π±ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ†Π΅Π½ ΠΈ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ MSFT.

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ использования суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ инвСстиционного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большСго количСства наблюдСний, Ρ‡Π΅ΠΌ пСрСчислСнныС здСсь. Аналитику, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, придСтся Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π° Π³ΠΎΠ΄Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ с большСй ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, насколько высока ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°. По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π°Π±ΠΎΡ€ добавляСтся большС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² становится большС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ значСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ разбросанными.

БущСствуСт Π΄Π²Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° рСгрСссионного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²: Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² относится ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция рСгрСссии ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² отклонСния ΠΎΡ‚ фактичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая статистичСски Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция рСгрСссии ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ (прямая линия) ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ (кривая линия).

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл суммой Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ эллиптичСскиС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅

БовсСм Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ 3, 7, 11 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ числа, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4 остаток 3, нСпрСдставимы Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ a 2 +b 2 : ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа всСгда дСлится Π½Π° 4, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа всСгда Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ остаток 1 ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4, сумма Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ остатки 0, 1 ΠΈΠ»ΠΈ 2, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ 3. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ простых чисСл Π²ΠΈΠ΄Π° 4k+1 Π½Π΅ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π° (особСнно Ссли Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ простота сущСствСнна: число 21 хотя ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ остаток, Π½ΠΎ суммой Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π΅ прСдставляСтся).

Π’Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. Π‘Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² классы ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌ. Π’ частности, объСдинСниС ΠΏΠΎ остатку ΠΎΡ‚ дСлСния Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ число n ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Π°ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ n: Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ xΜ… β€” это класс всСх чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° n Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ остаток, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ x. Π§Ρ‚ΠΎ эквивалСнтно, Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ xΜ… состоит ΠΈΠ· всСх чисСл Π²ΠΈΠ΄Π° x+nβˆ™k, Π³Π΄Π΅ k Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅. Π’ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ поста всС Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ p (Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ самого Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ простого числа ΠΈΠ· ввСдСния). ЕстСствСнно, Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΆΠ΅, сколько ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ остатков ΠΎΡ‚ дСлСния Π½Π° p, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ p. По ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Π°ΠΌ сильно сокращаСт число Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ².
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ классами Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ всСгда ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ смысл. НапримСр, ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ класс простых чисСл с классом составных чисСл Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ осмыслСнна: ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ числа, Π° Ρƒ суммы простого числа ΠΈ составного числа Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ свойств, ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… для класса. Π₯отя Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ»ΡƒΠ±Π° Ρ‚Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТСниС класса простых чисСл ΠΈ класса составных чисСл Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ класс чисСл, Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π² сумму простого числа ΠΈ составного числа.

Для Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, «унаслСдованныС» ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹. НапримСр, 2Μ…+3Μ…=5Μ…: Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ любоС число с остатком 2, любоС число с остатком 3, ΠΈ ΠΈΡ… сумма ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ даст остаток 5. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π½Π΅Π·Π°ΠΏΠ½ΠΎ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½ΡƒΠ»Ρ‘ΠΌ, 2Μ…βˆ™3Μ…=0Μ… ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ 6, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСприятно. Но Π² случаС простого модуля, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ говорят, Π½Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ нуля. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ aΜ…βˆ™xΜ…=bΜ… (опСрация дСлСния) для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ², ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ случая aΜ…=0Μ…, ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½. ΠžΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ aΜ…β‰ 0Μ…, Ρ‚ΠΎ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a ΠΈ p Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1 (здСсь Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° простота p), Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚ x ΠΈ y Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ aβˆ™x+pβˆ™y=1, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт aΜ…βˆ™xΜ…=1Μ…, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, aΜ…βˆ™(bΜ…βˆ™xΜ…)=bΜ….

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ слСдствиС ΠΈΠ· отсутствия Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ нуля: Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ стСпСни n Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. (Π­Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстно для ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ использовании ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ обоснования: ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3Μ…βˆ™xΜ…=0Μ… ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ 6 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ 0Μ…, 2Μ…, 4Μ….) Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Β«Π² столбик» ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ f(x) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ f(x)=(x-с)g(x)+(нСкоторая константа), Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ g(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС; Ссли c β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ f(x), Ρ‚ΠΎ константа Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ (подставим x=c); Ссли c’ β€” Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ f(x), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ g(x) (здСсь Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ отсутствиС Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ нуля), Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ процСсс ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ. Если ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π°Π±Ρ€Π°Π»ΠΎΡΡŒ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ g(x) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ константой, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ (ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ f(x)=0) ΠΈ большС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚.

Π’Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ простому ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ. На Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ. ВсС эти ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами Ρ‚ΠΈΠΏΠ° aΜ…βˆ™bΜ…=bΜ…βˆ™aΜ…. Π’ ΡƒΠΌΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ… говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ простому ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅ (Π° Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ составному ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ, Π³Π΄Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя, Π° всё ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅, β€” ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ). И Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ. ПолС Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ² β€” Π½Π΅ СдинствСнноС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅, Π½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ поля Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ понадобятся.

Π§ΡƒΡ‚ΡŒ-Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎ эллиптичСскиС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡŠΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅Ρ‰Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² разлоТСния p Π² сумму Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ g β€” любой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚. Если p ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4 Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ остаток 1, Ρ‚ΠΎ
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€
ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ число Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ скобкС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, число Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скобкС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ΅. Если ΠΆΠ΅ p ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4 Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ остаток 3, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ суммы Π² скобках Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ (Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° эллиптичСских ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ p+1).

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ пост ΠΈ Π±Π΅Π· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΡƒΠ±Ρ€Π°Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ спойлСр. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ спокойно ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· ΡƒΡ‰Π΅Ρ€Π±Π° для восприятия.

Если Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ c ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° всС Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ 1Μ… Π΄ΠΎ pΜ…-1Μ…, всС произвСдСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ (Ссли cβˆ™x=cβˆ™y, Ρ‚ΠΎ cβˆ™(x-y)=0Μ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ c ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли x=y), Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ просто какая-Ρ‚ΠΎ пСрСстановка всСх Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 1Μ… Π΄ΠΎ pΜ…-1Μ…. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, 1Μ…βˆ™2Μ…βˆ™. βˆ™(pΜ…-1Μ…)=(cβˆ™1Μ…)βˆ™(cβˆ™2Μ…)βˆ™. βˆ™(cβˆ™(pΜ…-1Μ…))=c p-1 βˆ™1Μ…βˆ™2Μ…βˆ™. βˆ™(pΜ…-1Μ…) ΠΈ c p-1 =1Μ… для любого Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Π° c. (Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°.)

Как слСдствиС, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€.

Если p Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ остаток 1 ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4, Ρ‚ΠΎ слагаСмыС с x ΠΈ -x Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… сумма Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Π°. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, вся сумма Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Π° ΠΈ числа Π² скобках Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅. Π§Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ/Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ послС дСлСния ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ Π½Π΅Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слоТнСС: Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ скобкС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… слагаСмых, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ слагаСмыС Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° (p-3)/2 ΠΏΠ°Ρ€ с суммой Β±2 Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π΅; ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°ΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4 получаСтся остаток 2, вся сумма ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4 Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ остаток Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ p-3, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2. ПослС дСлСния ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скобкС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ всСго ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС ΠΈ (p-1)/2 ΠΏΠ°Ρ€ с Β±2, ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ остаток ΠΎΡ‚ дСлСния Π½Π° 4 получаСтся 0, послС дСлСния ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ остаётся Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ p ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 4 Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ остаток 1. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ скобку Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· a, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· b. ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a ΠΈ b Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ способ вычислСния Π΄Π°Ρ‘Ρ‚
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

Если x2/x1 β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ эллиптичСским ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ число Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2p минус число Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² случаС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2p-(p-1)=p+1.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ. Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ с x1=x2=0, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ p Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π•ΡΡ‚ΡŒ 2(p-1) Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ², Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· x Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ p Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π•ΡΡ‚ΡŒ 2(p-1) Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² с x2=Β±x1, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ 2p-1 Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π•ΡΡ‚ΡŒ (p-1)((p-1)/2-2) Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ², Π³Π΄Π΅ x1 β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚, Π° x2/x1 β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ Β±1Μ…, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· этих Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ p-1 Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. НаконСц, остаётся (p-1) 2 /2 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ², Π³Π΄Π΅ x1 β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚, Π° x2/x1 β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² p+1 Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€.

Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ для N Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ здСсь криптография?

Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ числа Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для ΠΊΡ€ΠΈΠΏΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ Π½Π° этой ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ. На эллиптичСской ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ввСсти ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ слоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (ΠΎ Ρ‡Ρ‘ΠΌ ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Π»ΠΈ, Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, всС, ΠΊΡ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠΏΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ) со ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ O Π² Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ нуля. На основС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число: 2P=P+P, 3P=P+P+P ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли n β€” порядок ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ nP=O для любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ P. Зная n, c, d, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° xβˆ™(cP)=dP ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ дСлСнию Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ²: Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚ x, y Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cβˆ™x+nβˆ™y=1, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° xβˆ™(cP)+yβˆ™(nP)=P, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ xβˆ™(cP)=P. ΠŸΡ€ΠΈ этом, Ссли c, d нСизвСстны, Π° cP ΠΈ dP Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ эффСктивных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² дСлСния Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС нСизвСстно.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ довольно слоТно (ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ сущСствуСт, Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ довольно ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ). Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ с ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ свойствами Π½Π° число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ случайныС коэффициСнты ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ получится Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ, Π½ΠΎ придётся ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ. К ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

РСшСниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

АННОВАЦИЯ

Π’ настоящСй ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного произвСдСния, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, равСнств ΠΈ нСравСнств, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для упрощСния слоТных алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ практичСскоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅.

ABSTRACT

In this article, we first proposed a solution to the abbreviated product formula, which can be used in solving various mathematical problems, equalities and inequalities, as well as to simplify complex algebraic expressions that have wide practical applications in science and technology.

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ слова: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного произвСдСния, сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл.

Keywords: formulas of short multiplication, sum of squares two numbers.

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π²ΠΎ всСх Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного произвСдСния (Π€Π‘Π£) [1. 163-182, 2. 115, 3. 134]. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ слоТных матСматичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ алгСбраичСских, тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, нСравСнств, гСомСтричСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ слоТности. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ„ΠΈΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ всСм извСстныС Π€Π‘Π£ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² АлгСбры для 7 класса:

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

НазваниС

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

Square of difference

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

ΠšΡƒΠ± суммы Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

ΠšΡƒΠ± разности Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

Cube of difference

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

Difference of cubes

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл

Difference of squares

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл (ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π»Π°Π³Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π½Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹) [8]

Sum of squares (Note: not expands) [8,10]

Наглядно Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ 1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ-ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΆΠ΅Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ со Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρƒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части равСнства. Однако, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для урувнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a 2 +b 2 (8) Π΄ΠΎ настоящСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½ΠΈ Π² ΠΎΡ„ΠΈΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… источниках, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° 4. Π’ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ послС ознакомлСния Π² элСктронных ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… Π½Π° английском, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… языках. Π’ Π½ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (8) ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ β€œnot expands” – Β«Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π»Π°Π³Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π½Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹Β» 9. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Π²ΠΎ всСх ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… для срСдних ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… школ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² пособиях для Π’Π£Π—ΠΎΠ² УзбСкистана, России ΠΈ ЕвропСйских стран, написанныС Π½Π° узбСкском, Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΠΊΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π° русском языках, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (8), Π΄ΠΎ настоящСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ, β€œΠ½Π΅ Ρ€Π°Π·Π»Π°Π³Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π½Π° члСны”.

Π’ настоящСй ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (8), для разлоТСния суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹. Она ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ (8)

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (8), Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл, Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части равСнства. Для этого примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊ выраТСниям Π² скобках, Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части равСнства:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π§Π»Π΅Π½Ρ‹ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями, Π½ΠΎ с Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€;

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€;

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ† Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл (8) являСтся ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² дальнСйшСм практичСскоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ИВ, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ… Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… отраслях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ.

Бписок Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

НумСрология: Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ гадания, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ тСория чисСл

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚ ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… понятиях Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ вСдичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

Данная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это псСвдонаучная концСпция.

ЦСль Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ: ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ матСматичСскиС закономСрности Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ вычислСния Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈ Π΅Π³ΠΎ связь с цикличСскими числами.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

НСсколько Π΄Π½Π΅ΠΉ Π½Π°Π·Π°Π΄ я Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΉΠ»ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎ нумСрологичСскоС слоТСниС. МоСй Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ такая нСзамысловатая опСрация ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ большоС количСство интСрСсных закономСрностСй. МногиС ΠΈΠ· этих закономСрностСй я Π½Π°ΡˆΡ‘Π» Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² школьноС врСмя, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° скучал Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… Π³Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ рассмотрСнии я Π½Π°ΡˆΡ‘Π» большС закономСрностСй, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π», ΠΈ это ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ мСня Π½Π°Π·Π°Π΄ ΠΊ ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ любимой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ full reptend prime.

ПослС я Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ» Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΡˆΡ‘Π», ΡƒΠ·Π½Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· этих понятий ΡƒΠΆΠ΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ Π·Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° общСизвСстныС понятия. Помимо извСстных понятий я Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ» собствСнныС Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ ΠΈ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

Аддитивная ΡΡ‚ΠΎΠΉΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа β€” это количСство ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ суммы Ρ†ΠΈΡ„Ρ€, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Цифровая сумма числа 142857 Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

Цифровая сумма числа 27 Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 + 7 = 9

Как слСдствиС, Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа 142857 = 9, аддитивная ΡΡ‚ΠΎΠΉΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ 142857 = 2.

Код для вычислСния Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС счислСния Π½Π° языкС Python:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ суммы

Π¦ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ суммы ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ расчётС ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сумм для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ арифмСтичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ΠΎΠ². Π Π°Π½Π΅Π΅, Π² эпоху Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ счСта, Ѐрэнсис Π˜ΡΠΈΠ΄ΠΎΡ€ Π­Π΄ΠΆΡƒΠΎΡ€Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ суммы 50 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€, взятых ΠΈΠ· матСматичСских Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Π² качСствС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ случайных чисСл; Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° случайна, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ эти Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ суммы Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ случайноС распрСдСлСниС, Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊ гауссову Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ.

Цифровая сумма Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ прСдставлСния числа извСстна ΠΊΠ°ΠΊ вСс Π₯эмминга ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ насСлСния. Алгоритмы выполнСния этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹, ΠΈ ΠΎΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° Π² качСствС встроСнной ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ языки программирования. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прилоТСниях, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΊΡ€ΠΈΠΏΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡŽ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ кодирования ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΡˆΠ°Ρ…ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‹.

Π£Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° вычислСния Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня

Бвойства Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ слоТСния

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ закономСрности, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ вычисляСтся Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня суммы Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл.

Код для построСния Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ суммы:

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ суммы чисСл Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ суммы Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ этих чисСл:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ вычитания

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ совпадаСт Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ умноТСния

Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ умноТСния, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² цифрРасчСт Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Код для Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ умноТСния:

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ значСния для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля:

1) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

2) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9]

3) [3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9]

4) [4, 8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9]

5) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9]

6) [6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9]

7) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9]

8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9]

9) [9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9]

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ для ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 1, 2, 3, 4. Они ΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ для 8, 7, 6, 5.

Для нахоТдСния ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ любой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

Если Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ эти значСния ΠΊΠ°ΠΊ мноТСство пСрСсСчСний всСх ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ вСдичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² цифрВСдичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ для дСсятичной систСмы счислСния.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ вСдичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΊ латинскому ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π² дСсятичной систСмС счислСния.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ вСдичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ латинский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π² дСсятичной систСмС счислСния.

Если ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ строчСк мСстами, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ цикличСских чисСл. О Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ осущСствлСны пСрСстановки строчСк, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рассказано Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ исслСдовании Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² цифрВСдичСскиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ для систСм счислСния 100 ΠΈ 1000.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вСрнСмся ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π¦ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ произвСдСния ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС счислСния вычисляСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ вСдичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°.

Для вычислСния Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ содСрТат большС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹, для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ†ΠΈΡ„Ρ€, ΠΈ послС этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ вСдичСской ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ дСлСния

Рассмотрим Ρ‚Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ нСпСриодичСскиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, это 2, 5, 4, 8.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ допускаСм ошибок, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΡƒΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ дСлСния Π½Π° 1000; Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 1000 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ самый Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° дСлСния для Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ просты с дСсятичной систСмой счислСния.

Π’ΡƒΡ‚ Π±Ρ€ΠΎΡΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π³Π»Π°Π·Π° нСсколько закономСрностСй. Число 9 Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ 9. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ происходит Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с числами 3 ΠΈ 6, эти числа ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Ρƒ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ дСлСния для Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простыми с основаниСм систСмы счислСния.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π² дСсятичной систСмС счислСния.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Рассмотрим систСму счислСния 8, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° [1, 3, 2, 6, 4, 5]. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ остатки ΠΎΡ‚ дСлСния ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ числа Π² дСсятичной систСмС счислСния.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1 Π½Π° 7 Π² столбик. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ остатки ΠΎΡ‚ дСлСния [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ получСнная ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π² Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ систСмС счислСния.

Π­Ρ‚ΠΎ свойство связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вычислСниС Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ расчСта Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€

Π•Ρ‰Ρ‘ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 6 систСмС счислСния, связанныС с числом 5. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 10 систСмС счислСния, связанныС с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ числа 3. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 12 систСмС счислСния, связанныС с числом 11. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 14 систСмС счислСния, связанныС с числом 13. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 18 систСмС счислСния, связанныС с числом 17. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 20 систСмС счислСния, связанныС с числом 19. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 26 систСмС счислСния, связанныС с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ числа 5. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ дСлСния, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² 28 систСмС счислСния, связанныС с ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ числа 3.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ нСсколько ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΎΠΊ ΠΈΠ· вСдичСских ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ ΠΈΡ… формирования ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ прост, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ограничимся нСбольшим количСством:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² цифрЗамкнутая Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΈΠ· 6 систСмы счислСния, связана с числом 5. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈΠ· 8 систСмы счислСния, связанныС с числом 7. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π—Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈΠ· 12 систСмы счислСния, связанныС с числом 11.

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ цикличСских чисСл ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ вСдичСской ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΈ остатков ΠΎΡ‚ дСлСния

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ латинский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΠ· вСдичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ строки ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠŸΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ латинский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ строки Π½Π° основании Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Ρ‹ остатков ΠΎΡ‚ дСлСния, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ цикличСских чисСл. Напомню, остатки ΠΎΡ‚ дСлСния Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρƒ нас получится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Π°:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ латинском ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ цикличСскоС число.

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ столбСц Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ прСдставляСт собой цикличСскоС число 142857.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹

НСсмотря Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΡƒΡŽ Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ суммы Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ ΠΈ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅, Π½ΠΎ всё ΠΆΠ΅ практичСскоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

НапримСр, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ мноТСство Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… n-Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π²Π΅Π·Π΄, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡΡ‚ соврСмСнныС Ρ€ΠΎΠΊ\ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π» Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ πŸ™‚

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π» Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π»ΡŽΠ±ΡΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ чисСл!

Но Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ я для своСй ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π» Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π½ΠΈΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΎΡ‚ΠΈΠΏ, составлСнный ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ пСриодичСских Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· 90 Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ 1/91..90/91:

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ я Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π» число 91, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 7 ΠΈ 13? Π Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΎΠ± этом ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ πŸ™‚

Если Ρƒ ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ информация ΠΎΠ± описанных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ понятиях, поТалуйста присылайтС Π΅Ρ‘ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ, я Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€Π΅Π½!

НадСюсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ интСрСсно, большоС спасибо Π·Π° Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅!

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *