Что такое сумма цифр
Математика для блондинок
Страницы
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
 |
| Разрезание графического символа |
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
 |
| Преобразование цифр в числа |
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
 |
| Сложение чисел |
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про странный значок. Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
 |
| Сумма цифр числа |
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Нумерология: никакого гадания, только теория чисел
В данной статье речь пойдёт о таких понятиях теории чисел, как цифровой корень и ведический квадрат.
Данная статья ничего не говорит о нумерологии, кроме того, что это псевдонаучная концепция.
Цель данной статьи: показать математические закономерности вокруг вычисления цифрового корня и его связь с циклическими числами.
Введение
Несколько дней назад я решил написать незатейливую статью про нумерологическое сложение. Моей целью было показать, что даже такая незамысловатая операция может иметь большое количество интересных закономерностей. Многие из этих закономерностей я нашёл ещё в школьное время, когда скучал на уроках географии. При внимательном рассмотрении я нашёл больше закономерностей, чем ожидал, и это привело меня назад к моей любимой теме full reptend prime.
После я внимательно изучил то, что нашёл, узнал, что многие из этих понятий уже существуют, и решил переписать статью заново, чтобы опираться на общеизвестные понятия. Помимо известных понятий я добавил собственные визуализации, чтобы сделать чтение немного более увлекательным.
Сумма цифр и цифровой корень
Аддитивная стойкость натурального числа — это количество итераций, на которых нужно применить операцию суммы цифр, для того чтобы получить цифровой корень.
Пример: Цифровая сумма числа 142857 равна 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
Цифровая сумма числа 27 равна 2 + 7 = 9
Как следствие, цифровой корень числа 142857 = 9, аддитивная стойкость 142857 = 2.
Код для вычисления цифрового корня в произвольной системе счисления на языке Python:
Применение цифровой суммы
Цифровые суммы применялись при расчёте контрольных сумм для проверки арифметических операций ранних компьютеров. Ранее, в эпоху ручного счета, Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил использовать суммы 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмов, в качестве формы генерации случайных чисел; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близкое к гауссову распределению.
Цифровая сумма двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или численность населения. Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена в качестве встроенной операции в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию, теорию кодирования и компьютерные шахматы.
Улучшение алгоритма вычисления цифрового корня
Свойства цифрового корня
Операция сложения
Сделаем небольшую таблицу, для того чтобы изучить закономерности, каким образом вычисляется цифровой корень суммы двух чисел:
Таблица для анализа операции цифрового корня суммы двух чисел.
Код для построения таблицы суммы:
Как можно увидеть, цифровой корень суммы чисел равен цифровому корню суммы цифровых корней этих чисел:
Операция вычитания
Формула похожа на предыдущую, однако совпадает не полностью.
Операция умножения
Выведем вариацию таблицы умножения, для того чтобы исследовать эту операцию:
Расчет цифрового корня от двух множителей
Код для вывода таблицы умножения:
Запишем значения для каждого множителя:
1) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
2) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9]
3) [3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9]
4) [4, 8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9]
5) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9]
6) [6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9]
7) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9]
8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9]
9) [9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9]
Последовательности для множителей 1, 2, 3, 4. Они же являются зеркальными для 8, 7, 6, 5.
Для нахождения последовательности любой линии можно записать формулу:
Если записать эти значения как множество пересечений всех множителей, мы получим в результате ведический квадрат.
Ведический квадрат для десятичной системы счисления.
Приведение ведического квадрата к латинскому квадрату в десятичной системе счисления.
В результате мы получим:
Подмножество ведического квадрата, составляющее латинский квадрат в десятичной системе счисления.
Если переставить некоторые из его строчек местами, мы получим последовательность циклических чисел. О том, каким образом должны быть осуществлены перестановки строчек, будет рассказано ниже при исследовании других операций с цифровым корнем.
Ведические квадраты для систем счисления 100 и 1000.
Теперь вернемся к произведению. Цифровой корень произведения одиночных цифр в заданной системе счисления вычисляется при помощи соответствующего ведического квадрата.
Для вычисления цифрового корня произведения двух чисел, которые содержат больше одной цифры, для начала нужно вычислить цифровой корень каждой из этих цифр, и после этого воспользоваться ведической площадью.
Операция деления
Рассмотрим те числа, которые дают при делении непериодические дроби, это 2, 5, 4, 8.
Для того чтобы быть уверенными, что мы не допускаем ошибок, воспользуемся уже выведенными правилами и умножим результат деления на 1000; так как цифровой корень 1000 равен 1, то произведение будет иметь тот же самый цифровой корень.
Таблица деления для делителей, которые взаимно просты с десятичной системой счисления.
Тут бросаются в глаза несколько закономерностей. Число 9 не только при умножении, но и при делении приводит к значению цифрового корня, равному 9. Интересное происходит также с числами 3 и 6, эти числа как при умножении, так и при делении дают абсолютно одинаковые значения цифрового корня.
Запишем в таблицу череду делений:
Операция деления для цифрового корня определена только для делителей, которые не являются взаимно простыми с основанием системы счисления.
Операция возведения в степень
Таблица возведения в степень:
Таблица возведения в степень в десятичной системе счисления.
Здесь мы можем наблюдать цикличность.
Рассмотрим систему счисления 8, череда его значений будет равна [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Именно такие же остатки от деления мы получаем при делении числа в десятичной системе счисления.
Деление 1 на 7 в столбик. Здесь мы можем наблюдать остатки от деления [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Последовательность полученная при возведении в степень, в восьмеричной системе счисления.
Это свойство связано с тем, что вычисление цифрового корня можно осуществить при помощи альтернативной формулы расчета цифрового корня:
Ещё визуализации
Остатки от деления, найденные в 6 системе счисления, связанные с числом 5. Остатки от деления, найденные в 10 системе счисления, связанные с квадратом числа 3. Остатки от деления, найденные в 12 системе счисления, связанные с числом 11. Остатки от деления, найденные в 14 системе счисления, связанные с числом 13. Остатки от деления, найденные в 18 системе счисления, связанные с числом 17. Остатки от деления, найденные в 20 системе счисления, связанные с числом 19. Остатки от деления, найденные в 26 системе счисления, связанные с квадратом числа 5. Остатки от деления, найденные в 28 системе счисления, связанные с кубом числа 3.
Теперь приведём несколько картинок из ведических квадратов, принцип их формирования очень прост, потому ограничимся небольшим количеством:
Замкнутая фигура из 6 системы счисления, связана с числом 5. Замкнутые фигуры из 8 системы счисления, связанные с числом 7. Замкнутые фигуры из 12 системы счисления, связанные с числом 11.
Образование циклических чисел при помощи ведической площади и остатков от деления
После того как мы получили латинский квадрат из ведического квадрата, пронумеруем его строки последовательно:
Пронумерованный латинский квадрат.
Теперь мы можем переставить строки на основании череды остатков от деления, таким образом мы получим последовательность циклических чисел. Напомню, остатки от деления были равны [1, 3, 2, 6, 4, 5]. В результате у нас получится следующая картина:
Перестановки в пронумерованном латинском квадрате, в результате мы получили циклическое число.
Как можно наблюдать, первый столбец теперь представляет собой циклическое число 142857.
Выводы
Несмотря на плохую репутацию нумерологии, операции суммы цифр и цифрового корня имеют пусть не широкое, но всё же практическое применение.
Например, с помощью цифрового корня можно сформировать множество замкнутых n-вершинных звезд, многие из которых очень любят современные рок\метал группы 🙂
Как можно видеть, многие метал группы тоже любят теорию чисел!
Но лично я для своей метал группы решил выбрать анимированный логотип, составленный из одновременной визуализации периодических дробей, образованных из 90 рациональных дробей 1/91..90/91:
Почему я выбрал число 91, которое является произведением 7 и 13? Речь об этом пойдет в следующей статье 🙂
Если у кого-то есть дополнительная информация об описанных выше понятиях, пожалуйста присылайте её в комментарии, я буду очень благодарен!
Надеюсь, что вам было интересно, большое спасибо за внимание!