Что такое сумма углов

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Источник

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловАВС (рис. 220).

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Доказать: Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловA+Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловB +Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловC = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловKBA =Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловA как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловMBC =Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловC как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловKBA +Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловABC +Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловMBC = 180°. ОтсюдаЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловA +Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловB +Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловC = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов1 =Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов2.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Решение:

Пусть Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов( Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов— градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Тогда Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Ответ: Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Решение:

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Из треугольника АОС находим: Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Замечание. Если Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловто, рассуждая аналогично, получим формулу: Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловЕсли, например, Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов(рис. 226).

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Докажем, чтоЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловACB = 90°. Обозначим Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловA = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов,Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловВ = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловАВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловАМС — равнобедренный, тоЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловA =Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловACM = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловкак углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловСМВ — равнобедренный и Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловB =Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловBCM = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов+ 2Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов, с другой — равна 180°. Отсюда 2 Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов+ 2 Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов= 180°, 2( Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов+ Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов) = 180°, Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов+ Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов= 90°. НоЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловACB = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов+ Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов, поэтому

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловC=90°,Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловA=Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов,Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловB=Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Проведем отрезок СМ так, чтоЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловACM=Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловАВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловBCM дополняетЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловACM до 90°. Поскольку Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловACM =Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловA = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов, тоЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловBCM =Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловАВ.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Чему равна сумма углов?

Просто мне нужно объяснить. Но не просто объяснить, а чтобы ещё стало понятно!

Е. Гришковец «Одновременно»

Разговор покупателя с продавцом в магазине «Ткани».

— Здравствуйте! Я шью дома и сама делаю выкройки. Для этого использую угольник с различными углами. Мне нужны чаще всего 90, 60 и 45 градусов, но они у меня в разных угольниках. Приходится перекладывать. Нет ли у вас угольника, в котором были бы именно эти углы?

— Вы знаете, среди тех, что я вижу, нет, но вы заходите, такие должны на днях привезти.

— Большое спасибо, обязательно зайду.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Для математического уха разговор выглядит комично. То, что сумма углов треугольника равна 180°, знают даже школьники, не очень увлечённые математикой. А что такое 180° и почему именно 180? Ясно, скажет умный школьник, это половина от 360, то есть полного оборота.

Невозможно точно сказать, почему окружность была разбита на 360 одинаковых частей и когда это произошло. То ли это персы придумали, у которых год длился 360 дней, то ли вавилоняне, которым удобно было делить окружность на 6 равных частей с помощью равностороннего треугольника.

Была, правда, попытка ввести более логичную, с точки зрения современных представлений о счёте, шкалу для угловых мер. Она делила окружность на 400 равных частей — градов. В этой шкале величина прямого угла равнялась 100 градам. Однако шкала эта не прижилась. Трудно одним желанием изменить пятитысячелетнюю историю цивилизации. Да впрочем, какая разница, в чём мерить, хоть в попугаях, главное — понять, что угол — это некоторая доля от полного оборота.

Почему же сумма углов любого треугольника равна в точности половине полного оборота? Давайте представим себе, что у нас есть три прожектора. Каждый освещает внутренность некоторого угла до бесконечности (жить мы будем временно в двумерном мире). Если мы, стоя в одной точке, включим три прожектора (зелёный, розовый и жёлтый на рисунке), сумма «световых углов» которых равна 180°, и направим их без наложений освещаемой площади, то осветим ровно половину нашего двумерного пространства.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Теперь рассмотрим произвольный треугольник и в вершинах его поставим трёх помощников (Али, Бен и Сирил по буквам вершин, но можно попросить Анну, Варвару и Светлану), доверив им по прожектору. Каждый помощник должен осветить внутренность треугольника лучами света, которые выходят из вершины и продолжаются до бесконечности. Таким образом, каждый прожектор будет освещать внутренность своего угла и не будет освещать внутренность такого же угла, вертикального выбранному. При этом каждая точка плоскости либо попадёт внутрь освещённого угла, либо не будет освещена, попав в вертикальный угол к углу треугольника. Точки же самого треугольника будут освещены трижды. Теперь давайте посмотрим на нашу частично освещённую плоскость с большой высоты (мы-то, как люди трёхмерные, имеем на это право). Если закрыть глаза на небольшой участок перекрытия внутри треугольника, то нетрудно понять, что мы осветили «ровно» половину плоскости. Из чего и можно заключить, что сумма углов произвольного треугольника равна 180°!

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Если наше маленькое жульничество внутри треугольника режет глаз, давайте отойдём далеко-далеко от плоскости и забудем, что где-то стоят наши помощники. Нарисуем окружность огромного радиуса с центром где-то внутри треугольника. Какая часть окружности освещена? Ровно (почти) половина. И чем больше радиус нашей окружности, тем меньше будут отличаться освещённая и тёмная части окружности. Ведь каждой светлой дуге будет в пару поставлена такая же тёмная.

Не будем останавливаться на сумме углов треугольника, а попробуем развить эту идею. Самое естественное продолжение — четырёхугольник. Нетрудно понять, что четыре помощника, выполняя аналогичное задание, осветят всю плоскость, что значит: сумма углов четырёхугольника равна 360°. Стоп! Давайте не торопиться, отойдём подальше. Что мы видим? Ужас! Некоторые точки плоскости вообще не освещены. Всё пропало? Не будем паниковать преждевременно. Продолжим наши прямые до бесконечности. На рисунке серым цветом закрашена неосвещённая часть плоскости. Посмотрим внимательно на вертикальный с ней угол. Он освещён, конечно, но освещён дважды! А значит, и здесь всё сходится. Так и должно быть, ведь четырёхугольник можно просто разрезать на два треугольника. Думаем дальше.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Нарисуем пятиконечную звёздочку (не обязательно правильную). Теперь позовём пять фонарщиков, поставим их в вершинах «лучиков» нашей звёздочки, и пусть каждый освещает внутренность того угла, в котором стоит. Соответственно, вертикальный угол освещён не будет. Что мы видим? Картина почти такая же, как у треугольника. Половина плоскости светлая, половина тёмная, а значит, сумма углов пятиконечной звезды равна 180°!

При этом мы нигде не пользовались какими-то особенностями формы этой звёздочки. Более того, а где мы считали количество углов? Давайте внимательно посмотрим на 7-конечную звезду. А потом на 2021-конечную (нарисовать непросто, а представить можно). Что изменится для суммы? Да ничего — половина светлого, половина тёмного. Правда, для большого числа углов нужно «правильно» рисовать звёздочку. Например, для семиугольной конструкции можно привести два примера. Подсчитайте самостоятельно сумму для «более тупоугольной» звёздочки.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Теперь давайте немного развернём наших фонарщиков и дадим им задание осветить один из своих внешних углов. Для начала позовём четверых, поставим их в вершинах выпуклого четырёхугольника. Нетрудно понять, что они осветят всё, кроме самого четырёхугольника. Удаляясь от них, мы поймём, что сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Также при достаточном удалении мы забудем о количестве помощников, а когда вспомним, поймём, что это совершенно неважно. Сколько бы их ни было, плоскость будет освещена полностью и без перекрытий. Из этого следует чрезвычайно важный и удивительный вывод: сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°!

Продолжая применять этот метод, можно получить и другие формулы для суммы углов. То есть если внимательно посмотреть на количество перекрытий, можно вывести формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. Но даже без вывода становится понятно, почему сумма внутренних углов зависит от их количества, а сумма внешних нет. Попробуйте развить эту идею на случай невыпуклых многоугольников. Можно, немного поломав голову, найти сумму внутренних углов, а вот для суммы внешних надо сначала понять: что такое внешний угол невыпуклого многоугольника? Успехов в вашем исследовании!

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

P. S. А угольник 45°, 60° и 90°, оказывается, существует! Это специальный портновский угольник — треугольник, в котором сделаны треугольные дырки с другими углами. И речь в магазине «Ткани», оказывается, совсем не шла о сумме углов треугольника.

Источник

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов Что такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма угловЧто такое сумма углов. Смотреть фото Что такое сумма углов. Смотреть картинку Что такое сумма углов. Картинка про Что такое сумма углов. Фото Что такое сумма углов

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *