Что такое свернутая форма числа

Позиционные системы счисления

Позиционной называют систему счисления, в которой положение (позиция) цифры определяет вес числа. Основные виды позиционных систем:

Немного истории

Первыми в истории человечества позиционную систему счисления применяли индейцы майя примерно 500 лет до нашей эры. Она использовалась для составления календарей и имела в основании число 20.

Современная позиционная система счисления уходит корнями в Индию, в V век нашей эры. И несмотря на то, что в ней используются арабские цифры, именно индусы стали ее основоположниками. А за счет удобных форм записи и выполнения арифметических действий, создание позиционной системы дало мощный толчок развитию математики.

Основание и алфавит

Например, с помощью трех цифр 0, 1 и 2 можно составить троичную систему счисления. Все правила построения чисел будут при этом соответствовать другим позиционным системам: двоичной, десятичной и так далее. А ее основание будет равно трем:

Разряд числа

Разряд — это место, позиция цифры в записи числа. Например, в 125: цифра 5 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 5 — к разряду сотен. Данное число можно также представить в виде суммы 100 + 20 + 5 и выделить основание системы в каждом слагаемом в той или иной степени:

125₁₀ = 1 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 1 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 + 5 ∙ 10 0

Если обратить внимание на показатели степени, то наблюдается закономерность — соответствие порядковому номеру цифры слева направо, начиная с нуля:

Развернутая форма записи числа

Данный способ записи числа действует и для любой другой позиционной системы счисления и называется развернутой формой:

где A — число, q — основание системы счисления, а n — количество разрядов числа. При этом свернутой формой будет запись вида:

Например, развернутая форма числа 753 в восьмеричной системе счисления будет иметь следующий вид:

753₈ = 7 ∙ 8 2 + 5 ∙ 8 1 + 3 ∙ 8 0

Представление дробей

Если же необходимо представить в развернутой форме дробь, то формула будет следующей:

где A — число, q — основание системы счисления, n — количество целых разрядов, а m — количество дробных разрядов числа. Свернутой формой, соответственно, является запись вида:

Например, для 1001,101 в двоичной системе счисления развернутая форма будет выглядеть так:

Плюсы и минусы позиционных систем

Главным удобством позиционной системы счисления является то, что запись больших чисел имеет краткую и удобную форму. Это также стало причиной их использования в программировании: большие числа занимают в данной форме меньшее количество памяти ЭВМ.

Источник

Развернутая и свернутая формы записи чисел

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в коде числа.

Основанием позиционной системы счисления называется целое число q, которое возводится в степень.

Основание в любой системе изображается как 10, но имеет разное количественное значение. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т. д.).

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Следовательно, основание позиционной системы счисления равно количеству символов (знаков) в ее алфавите. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.

Пример 1.Восьмеричная система счисления.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Числа: например, 45023,152₈; 751,001₈.

Пример 2.Пятеричная система счисления.

Алфавит: 0, 1, 2, 3 и 4.

Пример 3.Шестнадцатеричная система счисления.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0—9. Для записи остальных символов алфавита (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Числа: например, В5С3,1А2₁₆; 355,0FА01₈.

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в следующем виде:

A_q = ±(a_n–1×q n –1 + a_n–2×q n –2 +…+ a₀×q 0 + a_–1×q –1 + a_–2×q –2 +…+ a_–m×q –m ), (1) или ±.

Здесь А — само число; q — основание системы счисления;
а_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; п — количество целых разрядов числа; т — количество дробных разрядов числа.

Разложение числа по формуле (1) называется развернутой формой записи. Иначе такую форму записи называют многочленной или степенной.

Пример 1.Десятичное число А₁₀ = 5867,91 по формуле (1) представляется следующим образом:

Пример 2.Формула (1) для восьмеричной системы счисления имеет вид:

Восьмеричное число A₈ = 7064,3 в виде (1) запишется так:

Пример 3.Пятеричное число А₅ = 2430,21 по формуле (1) запишется так:

Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного пятеричного числа: 365,44₁₀.

Пример 4.В шестнадцатеричной системе счисления запись 3AF₁₆ означает:

3AF₁₆ = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943₁₀.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Развернутая и свернутая формы записи чисел

Основанием позиционной системы счисления называется целое число q, которое возводится в степень.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в коде числа.

Основание в любой системе изображается как 10, но имеет разное количественное значение. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т. д.).

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Следовательно, основание позиционной системы счисления равно количеству символов (знаков) в ее алфавите. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.

Пример 1.Восьмеричная система счисления.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Числа: например, 45023,152₈; 751,001₈.

Пример 2.Пятеричная система счисления.

Алфавит: 0, 1, 2, 3 и 4.

Пример 3.Шестнадцатеричная система счисления.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0—9. Для записи остальных символов алфавита (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Числа: например, В5С3,1А2₁₆; 355,0FА01₈.

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в следующем виде:

A_q = ±(a_n–1×q n –1 + a_n–2×q n –2 +…+ a₀×q 0 + a_–1×q –1 + a_–2×q –2 +…+ a_–m×q –m ), (1) или ±.

Здесь А — само число; q — основание системы счисления;
а_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; п — количество целых разрядов числа; т — количество дробных разрядов числа.

Разложение числа по формуле (1) называется развернутой формой записи. Иначе такую форму записи называют многочленной или степенной.

Пример 1.Десятичное число А₁₀ = 5867,91 по формуле (1) представляется следующим образом:

Пример 2.Формула (1) для восьмеричной системы счисления имеет вид:

Восьмеричное число A₈ = 7064,3 в виде (1) запишется так:

Пример 3.Пятеричное число А₅ = 2430,21 по формуле (1) запишется так:

Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного пятеричного числа: 365,44₁₀.

Пример 4.В шестнадцатеричной системе счисления запись 3AF₁₆ означает:

3AF₁₆ = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943₁₀.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Презентация по информатике на тему «Развёрнутая и свёрнутая формы записи числа» (8 класс)

Выбранный для просмотра документ Развёрнутая и свернутая формы записи чисел_8 класс.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Развёрнутая и свёрнутая формы записи чисел Кривостаненко Татьяна Викторовна, учитель информатики

Задание 2. Кроссворд «Системы счисления. Основные понятия» По горизонтали: Система счисления, в которой вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения в последовательности цифр, изображающей число. Система счисления, которая используется для организации машинных операций по преобразованию информации. Символы, при помощи которых записывается число. По вертикали: Количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.

Задание 3. Заполнение таблицы. Система счисления Основание Алфавит Десятичная 10 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Восьмиричная 8 0; 1 16

Результат выполнения задания 1 Графический диктант _ /\ /\ _ _ /\_

Ответы на задание 2: кроссворд. По горизонтали: 1. Позиционная. 2. Двоичная. 3. Цифры. По вертикали: 1. Основание. 2. Алфавит.

Ответ на задание 3. Правильно заполненная таблица имеет вид. Системы счисления Основа-ние Алфавит Десятичная 10 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Восьмеричная 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Двоичная 2 0; 1 Шестнадцатирич- ная 16 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9; A;B;C;D;E;F

Рассмотрим десятичное число 555: 5 5 5 10 единицы десятки сотни Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в десять раз больше правой.

Двоичная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в два раза больше правой.

Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8.

Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16. (Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)

Ответ: а) 341 (р=5) в) 222 (р=3) б) 123 (р=4) г) 111 (р=2) Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: а) 341 б) 123 в) 222 г) 111 Задание 1

Ответ: 11112 = 1510. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами? Переведите полученное число в десятичную систему счисления. Задание 3

Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1. а) 1012 = 510 б) 1102 = 610 в) 10012 = 910 г) 1002 = 410 Определите четное число или нечетное: а) 1012 б) 1102 в) 10012 г) 1002 Сформулируйте критерий четности в двоичной системе счисления. Задание 4

Ответ: да, если считать числа в задаче, представленными в двоичной системе счисления: 112= 121 + 120 = 310; 1102 = 122 + 121 + 020 = 4 + 2 = 610 Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок. Возможно ли это? Обоснуйте ответ. Задание 5

Ответ: алфавит пятеричной системы счисления – цифры (0,1,2,3,4). 325 = 351 + 250 = 15 + 2 = 1710 Выпишите алфавит традиционной позиционной пятеричной системы счисления. Переведите число 325 в десятичную систему счисления. Задание 6

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Современные педтехнологии в деятельности учителя

Курс профессиональной переподготовки

Информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-411086

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Дума приняла закон о бесплатном проживании одаренных детей в интернатах при вузах

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Хабаровском крае введут уроки по вакцинации в некоторых школах и колледжах

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Учитель информатики

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Представление чисел в позиционных системах счисления

Информатика. 10 класса. Босова Л.Л. Оглавление

§10. Представление чисел в позиционных системах счисления

10.1. Общие сведения о системах счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально число предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, чёрточек, точек. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), т. к. любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу.

Подумайте, где в наши дни можно найти отголоски унарной системы счисления.

Унарная система — не самый удобный способ записи чисел: записывать таким способом большие значения утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные и экономичные системы счисления.

Система счисления или нумерация — это способ записи (обозначения) чисел.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью или мощностью.

Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения этой цифры в числе.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две скрещённые ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (centum — сто, demimille — половина тысячи, mille — тысяча).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч (М), полутысяч (D), сотен (С), полусотен (L), десятков (X), пятёрок (V), единиц (I). Например, десятичное число 128 представляется следующим образом:

CXXVIII = 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

(одна сотня, два десятка, пять, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Например, XI обозначает 11, а IX обозначает 9.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Ещё 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется в основном для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Подумайте, почему римскую систему счисления нельзя считать полностью непозиционной.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

• существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;
• невозможно представлять дробные и отрицательные числа;
• сложно выполнять арифметические операции, т. к. не существует алгоритмов их выполнения.

Всех перечисленных недостатков лишены позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Например, используемая повсеместно десятичная система счисления — позиционная. Рассмотрим число 555. Цифра 5, стоящая в записи этого числа на первом месте, обозначает количество сотен и соответствует числу 500; цифра, стоящая посередине, обозначает 5 десятков (50); последняя цифра 5 соответствует пяти единицам. Исходное число можно представить в виде суммы:

555 = 500 + 50 + 5.

Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне, а завершили дело индийские математики в V-VII веках нашей эры. Важным достижением индийской науки было введение особого обозначения для пропуска разрядов — нуля. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству её оценили, усвоили и перенесли в Европу. Получив название арабской, эта система в XII веке нашей эры распространилась по всей Европе. И так как эта система счисления проще и удобнее остальных, быстро их вытеснила.

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827) оценил «открытие» позиционной системы такими словами: «Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им кроме значения по форме ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна».

10.2. Позиционные системы счисления

Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q > 1, называемым основанием системы счисления. Основание определяет (даёт) название системы счисления: двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, g-ичная и т. д. Можно говорить «система счисления с основанием q» (табл. 3.1).

Основное достоинство любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр: 0, 1, 2, …, g — 1.

Таблица 3.1

Основания и алфавиты систем счисления

В g-ичной системе счисления q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Целое число без знака А в g-ичной системе счисления представляется в виде конечной суммы степеней числа q — суммы разрядных слагаемых:

Последовательность чисел, каждое из которых задаёт «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Свёрнутой формой записи числа мы пользуемся в повседневной жизни, иначе её называют естественной формой или цифровой.

Развёрнутая форма записи чисел также всем хорошо известна. Ещё в начальной школе дети учатся записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых. Например:

125 248 = 1 • 100 000 + 2 • 10 000 + 5 • 1 000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 8 • 1.

Если представить разряды в виде степей основания, то получим:

Аналогичным образом представляются и дроби:

Иногда бывает полезно преобразовать развёрнутую форму записи числа так, чтобы избежать возведения основания системы счисления в степени.

Например, можно записать:

125 248 = 1 • 10 5 + 2 • 10 4 + 5 • 10 3 + 2 • 10 2 + 4 • 10 1 + 8 • 10 0 = ((((1 • 10 + 2) • 10 + 5) • 10 + 2) • 10 + 4) • 10 + 8;

Такую форму представления числа называют разложением по схеме Горнера.

Изучая десятичную систему счисления с раннего возраста и используя её в повседневной практике, многие люди не догадываются о существовании других систем счисления.

Но так ли хороша десятичная система счисления? Великий французский математик и естествоиспытатель Блез Паскаль (1623-1662) писал: «Десятичная система построена довольно неразумно, конечно, в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей». В ряде теоретических и практических задач некоторые системы счисления, отличные от десятичной, имеют определённые преимущества.

Первые механические счётные машины были разработаны на основе десятичной системы счисления. Для реализации десяти устойчивых состояний в них использовались сложные системы зубчатых колёс (рис. 3.1). Такие машины были очень громоздки, занимали много места.

Рис. 3.1. Механизм передачи десятков в арифмометре П.Л. Чебышёва

Так, если бы проект Аналитической машины Ч. Беббиджа — механического прототипа появившихся спустя столетие ЭВМ — был реализован, то по размерам такая машина сравнялась бы с локомотивом. В 1937 году немецкий инженер К. Цузе создал вычислительную машину, основанную на принципах действия аналитической машины Ч. Беббиджа. Она была механической, но работала на основе двоичной системы счисления, что позволило значительно уменьшить её размеры: машина занимала всего 2 м 2 на столе в квартире изобретателя!

В наши дни большой практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

10.3. Перевод чисел из g-ичной в десятичную систему счисления

Перевод числа, записанного в системе счисления с основанием q, в десятичную систему счисления основан на использовании развёрнутой формы записи чисел (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Перевод числа из g-ичной системы счисления в десятичную

Для перевода числа A_q в десятичную систему счисления достаточно:

1) записать развёрнутую форму числа A_q;
2) представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в десятичной системе счисления;
3) вычислить значение полученного выражения по правилам десятичной арифметики.

Переведём числа 212₃, 123₅ и 12А₁₆ в десятичную систему счисления:

212₃ = 2 • 3 2 + 1 • 3 1 + 2 • 3 0 = 2 • 9 + 1 • 3 + 2 • 1 = 23₁₀;

123₅ = 1 • 5 2 + 2 • 5 1 + 3 • 5 0 = 2 • 25 + 2 • 5 + 3 • 1 = 63₁₀;

12А₁₆ = 1 • 16 2 + 2 • 16 1 + А • 16 0 = 1 • 256 + 2 • 16 + 10 • 1 = 298₁₀.

Перевод в десятичную систему счисления целых двоичных чисел будет значительно проще, если вспомнить и использовать уже знакомую вам таблицу степеней двойки:

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера:

1) 1 • 2 = 2 — возьмем 1, соответствующую самому старшему разряду числа, и умножим её на 2;

2) 2 + 0 = 2 — прибавим следующую цифру;

3) 2 • 2 = 4 — умножим результат на 2;

4) 4 + 0 — 4 — прибавим следующую цифру;

5) 4 • 2 = 8 — умножим результат на 2;

6) 8 + 1 = 9 — прибавим следующую цифру;

7) 9 • 2 = 18 — умножим результат на 2;

8) 18 + 1 = 19 — прибавим следующую цифру;

9) 19 • 2 = 38 — умножим результат на 2;

10) 38 + 1 = 39 — прибавим следующую цифру;

11) 39 • 2 = 78 — умножим результат на 2;

12) 78 + 0 = 78 — прибавим следующую цифру;

13) 78 • 2 = 156 — умножим результат на 2;

14) 156 + 0 = 156 — прибавим следующую цифру;

15) 156 • 2 = 312 — умножим результат на 2;

16) 312 + 1 = 313 — прибавим следующую цифру;

17) 313 • 2 = 626 — умножим результат на 2;

18) 626 + 1 = 627 — прибавим последнюю цифру.

Рассмотрим несколько примеров решения задач.

Пример 1. Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определим основание этой системы счисления.

Запишем условие задачи иначе: 212_g = 57₁₀, q > 2. Представим в виде суммы разрядных слагаемых:

212_q = 2 • q 2 + 1 • q 1 + 2 • q 0 =2q 2 + q + 2 = 57₁₀.

Решим уравнение: 2g 2 + q + 2 = 57.

Так как основание системы счисления должно быть натуральным числом, то q — 5.

Пример 2. Все пятибуквенные слова, составленные из пяти букв А, И, Р, С, Т, записаны в алфавитном порядке.

Необходимо найти ответы на два вопроса.

1. На каком месте от начала списка стоит слово ИСТРА?

2. Сколько всего слов в этом списке?

Введём следующие обозначения: А — О, И — 1, Р — 2, С — 3, Т — 4. Перепишем в новых обозначениях исходный список:

Теперь перед нами последовательность чисел от 0 до 44444, записанных в пятеричной системе счисления. При этом на 1-м месте в этой последовательности находится 0, на 2-м месте — 1, на 3-м месте — 2 и т. д. Это значит, что само число на единицу меньше того места (номера), которое оно занимает в последовательности.

Представив слово ИСТРА в новых обозначениях, получим 13420₅. Переведём это пятеричное число в десятичную систему счисления:

13420₅ = 1 • 5 4 + 3 • 5 3 + 4 • 5 2 + 2 • 5 1 + 0 • 5 0 = 625 + 375 + 100 + 10 = 1110₁₀.

Это число находится в списке на 1111-м месте.

Чтобы выяснить, сколько всего слов в списке, запишем его самое последнее слово: ТТТТТ. Ему соответствует число 44444₅.

44444₅ = 4 • 5 4 + 4 • 5 3 + 4 • 5 2 + 4 • 5 1 + 4 • 5 0 = 3124₁₀.

В списке это число стоит на 3125-м месте.

Вспомните о комбинаторике и предложите другой способ подсчёта количества слов в нашем списке.

Пример 3. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 60, запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31.

В четверичной системе счисления используются цифры 0, 1, 2 и 3; число представляется в виде суммы разрядных слагаемых:

Из этой таблицы видно, что интересующие нас числа (? 60) не будут более чем трёхзначными. С учётом того что их запись заканчивается на 31, определим первую цифру (k):

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Система счисления — это способ записи (обозначения) чисел. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q > 1, называемым основанием системы счисления. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр: 0, 1, 2, q — 1.

Для перевода числа Aq в десятичную систему счисления достаточно:

1) записать развёрнутую форму числа Аg;
2) представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в десятичной системе счисления;
3) вычислить значение полученного выражения по правилам десятичной арифметики.

Вопросы и задания

1. Что такое система счисления? Какие классы систем счисления принято выделять?

2. Дайте определение позиционной системы счисления. Что называется алфавитом системы счисления? Что называется базисом позиционной системы счисления? Что называется основанием позиционной системы счисления?

3. Сколько цифр используется в системе счисления с основанием 2, 3, 5, 8, 16, 100, q?

4. Какая форма записи числа называется развёрнутой?

5. Запишите в развёрнутой форме числа:

6. Воспользуйтесь схемой Горнера для представления чисел:

7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:

8. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 122₃ и 11011₂?

9. Укажите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

10. Найдите основание х системы счисления, если известно:

11. Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.

12. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству 9D₁₆

Источник