Что такое свернутая форма записи числа в информатике
Позиционные системы счисления
Позиционной называют систему счисления, в которой положение (позиция) цифры определяет вес числа. Основные виды позиционных систем:
Немного истории
Первыми в истории человечества позиционную систему счисления применяли индейцы майя примерно 500 лет до нашей эры. Она использовалась для составления календарей и имела в основании число 20.
Современная позиционная система счисления уходит корнями в Индию, в V век нашей эры. И несмотря на то, что в ней используются арабские цифры, именно индусы стали ее основоположниками. А за счет удобных форм записи и выполнения арифметических действий, создание позиционной системы дало мощный толчок развитию математики.
Основание и алфавит
Например, с помощью трех цифр 0, 1 и 2 можно составить троичную систему счисления. Все правила построения чисел будут при этом соответствовать другим позиционным системам: двоичной, десятичной и так далее. А ее основание будет равно трем:
Разряд числа
Разряд — это место, позиция цифры в записи числа. Например, в 125: цифра 5 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 5 — к разряду сотен. Данное число можно также представить в виде суммы 100 + 20 + 5 и выделить основание системы в каждом слагаемом в той или иной степени:
12510 = 1 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 1 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 + 5 ∙ 10 0
Если обратить внимание на показатели степени, то наблюдается закономерность — соответствие порядковому номеру цифры слева направо, начиная с нуля:
| Цифра | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| Порядковый номер слева направо | 2 | 1 | 0 |
| Показатель степени основания | 2 | 1 | 0 |
Развернутая форма записи числа
Данный способ записи числа действует и для любой другой позиционной системы счисления и называется развернутой формой:
где A — число, q — основание системы счисления, а n — количество разрядов числа. При этом свернутой формой будет запись вида:
Например, развернутая форма числа 753 в восьмеричной системе счисления будет иметь следующий вид:
7538 = 7 ∙ 8 2 + 5 ∙ 8 1 + 3 ∙ 8 0
Представление дробей
Если же необходимо представить в развернутой форме дробь, то формула будет следующей:
где A — число, q — основание системы счисления, n — количество целых разрядов, а m — количество дробных разрядов числа. Свернутой формой, соответственно, является запись вида:
Например, для 1001,101 в двоичной системе счисления развернутая форма будет выглядеть так:
Плюсы и минусы позиционных систем
Главным удобством позиционной системы счисления является то, что запись больших чисел имеет краткую и удобную форму. Это также стало причиной их использования в программировании: большие числа занимают в данной форме меньшее количество памяти ЭВМ.
Презентация по информатике на тему «Развёрнутая и свёрнутая формы записи числа» (8 класс)
Выбранный для просмотра документ Развёрнутая и свернутая формы записи чисел_8 класс.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Развёрнутая и свёрнутая формы записи чисел Кривостаненко Татьяна Викторовна, учитель информатики
Задание 2. Кроссворд «Системы счисления. Основные понятия» По горизонтали: Система счисления, в которой вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения в последовательности цифр, изображающей число. Система счисления, которая используется для организации машинных операций по преобразованию информации. Символы, при помощи которых записывается число. По вертикали: Количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.
Задание 3. Заполнение таблицы. Система счисления Основание Алфавит Десятичная 10 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Восьмиричная 8 0; 1 16
Результат выполнения задания 1 Графический диктант _ /\ /\ _ _ /\_
Ответы на задание 2: кроссворд. По горизонтали: 1. Позиционная. 2. Двоичная. 3. Цифры. По вертикали: 1. Основание. 2. Алфавит.
Ответ на задание 3. Правильно заполненная таблица имеет вид. Системы счисления Основа-ние Алфавит Десятичная 10 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Восьмеричная 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Двоичная 2 0; 1 Шестнадцатирич- ная 16 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9; A;B;C;D;E;F
Рассмотрим десятичное число 555: 5 5 5 10 единицы десятки сотни Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в десять раз больше правой.
Двоичная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в два раза больше правой.
Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8.
Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16. (Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)
Ответ: а) 341 (р=5) в) 222 (р=3) б) 123 (р=4) г) 111 (р=2) Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: а) 341 б) 123 в) 222 г) 111 Задание 1
Ответ: 11112 = 1510. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами? Переведите полученное число в десятичную систему счисления. Задание 3
Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1. а) 1012 = 510 б) 1102 = 610 в) 10012 = 910 г) 1002 = 410 Определите четное число или нечетное: а) 1012 б) 1102 в) 10012 г) 1002 Сформулируйте критерий четности в двоичной системе счисления. Задание 4
Ответ: да, если считать числа в задаче, представленными в двоичной системе счисления: 112= 121 + 120 = 310; 1102 = 122 + 121 + 020 = 4 + 2 = 610 Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок. Возможно ли это? Обоснуйте ответ. Задание 5
Ответ: алфавит пятеричной системы счисления – цифры (0,1,2,3,4). 325 = 351 + 250 = 15 + 2 = 1710 Выпишите алфавит традиционной позиционной пятеричной системы счисления. Переведите число 325 в десятичную систему счисления. Задание 6
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Современные педтехнологии в деятельности учителя
Курс профессиональной переподготовки
Информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДВ-411086
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате
Время чтения: 1 минута
Костромская область разработала программу привлечения педагогических кадров
Время чтения: 2 минуты
НИУ ВШЭ откроет первую в России магистратуру по управлению низкоуглеродным развитием
Время чтения: 2 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Презентация по «Информатике и ИКТ» Развернутая и свернутая формы записи чисел. Перевод из произвольной в десятичную систему счисления
Описание презентации по отдельным слайдам:
Урок по информатике и ИКТ 8 класс. Тема урока: Презентацию подготовил учитель «Информатики и ИКТ» ГБОУ Школы № 1905 Панин Геннадий Геннадьевич
Содержание 1. Основные понятия. Виды систем счисления 2. Непозиционные системы счисления 3. Позиционные системы счисления 4. Десятичная система счисления 5. Двоичная система счисления 6. Восьмеричная система счисления 7. Шестнадцатеричная система счисления 8. Перевод чисел в десятичную сс 9. Задания для самостоятельного выполнения
зависит не зависит
Непозиционные системы счисления
CDLVII =457 X I I = 12 Найдите значения чисел:
– основание (p) Совокупность всех цифр – алфавит Позиционные системы могут иметь различный алфавит (2,3,4 знака). Позиционные системы счисления Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание. системы счисления
Алфавиты систем счисления Для записи чисел в позиционной системе с основанием р нужно иметь алфавит из р цифр. При р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы. Позиция цифры в числе называется разрядом. Основание Название Алфавит р = 2 Двоичная 0 1 р = 3 Троичная 0 1 2 р = 8 Восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 р = 16 Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
ПРИМЕРЫ: (перепиши, вставляя пропущенные числа) p = 10 (десятичная с/c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 и т.д. p = 4 (четверичная с/c) 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 __ __ __ __ 3. p = 2 (двоичная с/c) 1 10 11 100 101 110 111 1000 ___ 1010 1011 ____ ___ ___ ___ 10000 _____ _____ 4. p = 16 (шестнадцатеричная с/c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B ___ ___ ___ ___ 31 32 33 100 1001 1C 1D 1E 1F
Рассмотрим десятичное число 555: 5 5 5 10 единицы десятки сотни Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в десять раз больше правой.
Двоичная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в два раза больше правой.
Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в восемь раз больше правой.
Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в шестнадцать раз больше правой. (Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)
Задания для самостоятельного выполнения Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6
Ответ: а) 341 (р=5) в) 222 (р=3) б) 123 (р=4) г) 111 (р=2) Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: а) 341 б) 123 в) 222 г) 111
Ответ: 11112 = 1510. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами? Переведите полученное число в десятичную систему счисления.
Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1. а) 1012 = 510 б) 1102 = 610 в) 10012 = 910 г) 1002 = 410 Определите четное число или нечетное: а) 1012 б) 1102 в) 10012 г) 1002 Сформулируйте критерий четности в двоичной системе счисления.
Ответ: да, если считать числа в задаче, представленными в двоичной системе счисления: 112= 121 + 120 = 310; 1102 = 122 + 121 + 020 = 4 + 2 = 610 Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок. Возможно ли это? Обоснуйте ответ.
Ответ: алфавит пятеричной системы счисления – цифры (0,1,2,3,4). 325 = 351 + 250 = 15 + 2 = 1710 Выпишите алфавит традиционной позиционной пятеричной системы счисления. Переведите число 325 в десятичную систему счисления.
Домашнее задание: 1) § 4.1.1 стр.104 2) выполнить «задания для самостоятельного выполнения» № 4.1, 4.4 на стр.108 Урок окончен
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Современные педтехнологии в деятельности учителя
Курс профессиональной переподготовки
Информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-403149
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Время чтения: 2 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
В Петербурге школьникам разрешили уйти на каникулы с 25 декабря
Время чтения: 2 минуты
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Информатика. 10 класс
Конспект урока
Информатика, 10 класс. Урок № 8.
Тема — Представление чисел в позиционных системах счисления
Урок посвящен теме «Представление чисел в позиционных системах счисления и переводу чисел из одной позиционной системы счисления в другую». В ходе урока школьники научатся различать позиционные и непозиционные системы счисления, узнают о развернутой форме числа. А также научатся переводить числа из одной системы счисления в другую.
Ключевые слова: Системы счисления, позиционная система счисления, непозиционная система счисления, базис системы счисления, схема Горнера, триада, тетрада, «компьютерные» системы счисления, «быстрый» перевод.
Учебник: Босова Л. Л, Босова А. Ю. Информатика 10 класс базовый уровень — БИНОМ Лаборатория знаний 2016 г.
Федерального центра информационных образовательных ресурсов:
Мы постоянно оперируем числами, ежедневно, не слишком задумываясь о том, что они из себя изначально представляют.
Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально число предметов отображали равным количеством каких-либо значков:
точки, черточки. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), т.к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека
Унарная система — не самый удобный способ записи чисел: при написании больших чисел получается очень длинная запись. С течением времени возникли иные, более удобные и экономичные системы: Вавилонская, Египетская, Славянская, Римская и другие. Рассмотренные записи чисел называются системами счисления.
Система счисления — это способ записи чисел.
Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемые цифрами.
Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Различают непозиционные и позиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения этой цифры в числе.
Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система Древнего Рима.
Римская система счисления. В качестве цифр использовались большие латинские буквы. А остальные числа записываются комбинациями этих знаков. Число формировалось из цифр, а также с помощью групп: Группа 1-го вида — несколько одинаковых подряд идущих цифр: XX = 20 (не более трёх одинаковых цифр); Группа 2-го вида — разность значений двух цифр, если слева стоит меньшая: СМ = 1000 – 100 = 900 (может стоять только одна цифра). Величина числа суммируется из значений цифр и групп 1-го или 2-го вида.
Позиционные системы счисления.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа. Основное достоинство любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов. Пример этой системы — привычная нам десятичная система счисления. Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q>1, называемым основанием системы счисления. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр. В q-ичной системе счисления q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых называется развёрнутой формой записи числа в системе счисления с основанием q. Свёрнутой формой представления числа называется его запись в виде:
Свернутой формой записи числа мы пользуемся в повседневной жизни. Развёрнутая форма записи чисел также всем хорошо известна. Ещё в начальной школе дети учат записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых. Если представить разряды в виде степеней основания, то получим:
Иногда бывает полезно преобразовывать развернутую форму записи числа так, чтобы избежать возведения основания в степень. Такую формулу представления числа называют схемой Горнера.
В наши дни большой практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Двоичная система счисления — самая важная для компьютеров. В двоичной системе счисления основание — 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.
Перевод числа, записанного в системе счисления с основанием q, в десятичную систему счисления основан на использовании развёрнутой формы записи чисел.
Алгоритм перевода в 10-ю систему счисления:
Перевод в десятичную систему счисления целых двоичных чисел будет значительно проще, если вспомнить и использовать уже знакомую вам таблицу степеней двойки.
Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера.
Рассмотрим несколько примеров решения задач.
Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определим основание этой системы счисления. Решение: поскольку в записи числа 212q есть цифра 2, то можно сказать, что q>2. Представим число 212q в развёрнутой форме и приравняем к 57.
Решим уравнение: это квадратное уравнение, его корни Х1 = –5,5; Х2 = 5. Так как основание системы счисления должно быть натуральным числом, то q = 5
Перевод целого десятичного числа в систему счисления с оcнованием q
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:
Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления можно воспользоваться таблицей степеней двойки. Рассмотрим пример: переведем число 529 в двоичную систему счисления.
Представим число в виде суммы степеней двойки, для этого:
— возьмем максимально возможное значение, не превышающее исходное число (512 9 + 2 4 + 2 0 = 10000100012
Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием q
Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q следует:
При необходимости перевод целого числа А из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q можно свести к хорошо знакомым действиям в десятичной системе счисления: перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное десятичное число представить в требуемой системе счисления.
Быстрый перевод чисел в компьютерных системах счисления
Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2 n ) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод. Для этого:
Рассмотрим перевод целых чисел между двоичной и 16-ной системами счисления
Рассмотрим перевод дробной части между двоичной и восьмеричной системами
двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой; если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой.
Итак, сегодня вы узнали, что существуют разные системы счисления: непозиционные и позиционные. Позиционные системы счисления имеют алфавит и основание и его можно представить в развернутом виде. Научились переводить из 10 с.с в любую другую систему счисления. Научились переводить из 2, 8, 16 сс в 10 с.с. Узнали, как быстро можно переводить числа между системами.