Что такое свойства сложения при вычислении суммы 5 класс

Свойства сложения и вычитания

Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.

В 5 классе законы арифметики записываются с помощью буквенных выражений. Поэтому теперь мы рассмотрим эти и другие свойства в виде буквенных выражений.

Свойства сложения

Переместительное свойство сложения

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В буквенном виде свойство записывается так:

Сочетательное свойство сложения

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто « a + b + с ».

Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.

При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.

Свойство нуля при сложении

Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.

Если к числу прибавить нуль, получится само число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.

Скобки в выражении « (a − b) − c » не имеют значения и их можно опустить.

Свойство вычитания числа из суммы

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

Свойство нуля при вычитании

Если из числа вычесть нуль, получится само число.

Если из числа вычесть само число, то получится нуль.

Источник

Сложение натуральных чисел

Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!

Сумма чисел – это такое число, которое получается после объединения всех единиц других данных натуральных чисел.

Слагаемые – это числа, над которыми мы выполняем действие сложения. Иными словами, это те числа, количество единиц которых мы объединяем в новом числе.

Арифметическое действие – это нахождение нового числа при помощи двух или нескольких других данных чисел.

В курсе математики 5 класса изучаются основные арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение – это арифметическое действие, которое выполняется для получения суммы нескольких чисел.

Или другими словами:

Сложение – это действие увеличения числа на количество единиц, содержащихся в другом числе.

Сумма – это результат действия сложения.

Компоненты действия сложения для двух слагаемых:

Компоненты сложения для трех слагаемых:

Рисунок 1. Сумма двух чисел на координатном луче.

Основные свойства суммы натуральных чисел

Переместительный закон сложения

Сумма двух или нескольких чисел от изменения порядка сложения слагаемых не меняется.
Это значит, что значение суммы не зависит от порядка выполнения действия сложение.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких чисел не поменяется, если некоторые слагаемые заменить их суммой.
Это значит, что мы можем группировать слагаемые как угодно, а также выполнять действия сложения в любом порядке.

Например, если в нашем примере мы заменим слагаемые 2 и 3 их суммой, то результат останется такой же, как и при обычном сложении слагаемых:

или

или

Для прибавления суммы некоторых чисел к числу или некоторого числа к сумме чисел, нужно сложить это число с одним из слагаемых суммы, а получившийся результат сложить последовательно с остальными слагаемыми.

Пример 1. Прибавление числа к сумме чисел:

Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее с первым слагаемым:

325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406

Также можно использовать правило прибавления слагаемого и суммы. Результат при этом не поменяется

Пример 2. Прибавление суммы чисел к другому числу:

Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее со вторым слагаемым

( 54 + 240 + 189 )+ 37 = 483+ 37 = 520

Или можно использовать правило прибавления суммы чисел к числу. Результат останется тот же.

Изменение суммы чисел с изменением слагаемых

При увеличении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже увеличится на это же число (на это же количество единиц).

При уменьшении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже уменьшится на это же число (на это же количество единиц).

Эти два свойства справедливы и в обратную сторону. То есть, если увеличить или уменьшить сумму на какое-то число, тогда для сохранения равенства нужно соответственно увеличить или уменьшить одно из слагаемых.

Простой пример увеличения суммы при увеличении слагаемого: у вас есть 700 рублей; 200 рублей лежит в левом кармане, а 500 – в правом. Вы нашли на улице 300 рублей и положили их в левый карман, после чего там стало 200+300=500 рублей. Таким образом, всего у вас оказалось 500+500=1000 рублей, то есть, сумма всех ваших денег увеличилась на 300 рублей.

Попробуйте самостоятельно придумать примеры для всех трех правил.

Сложение однозначных чисел

Сложение двух однозначных чисел выполняется так: одно число увеличивается на количество единиц другого числа. То есть, единицы одного числа присоединяются к единицам другого числа.

Сложение многозначного числа с однозначным

Чтобы найти сумму многозначного числа и однозначного, можно действовать двумя способами. Оба они основаны на свойствах суммы чисел. Рассмотрим их на примерах.

То есть, мы проделываем такие действия:

88+5 = 80+8+5 = 80+13 = 80+10+3 = 90+3=93.

То есть, ход вычисления был такой:

88+5 = 88+2+3 = 90+3 = 93.

Сложение в столбик многозначных чисел

Сложение в столбик – это способ нахождения суммы чисел путем их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим).

Итак, допустим, что нам нужно найти сумму : 5728+803

После нахождения суммы чисел методом сложения столбиком, записываем результат решения в исходном строчном примере:

5728+803 = 6531

Сложение в столбик нескольких многозначных чисел

Рассмотрим пример: 12044+28609+1358

Сложив простые единицы, мы получим 21, то есть, 2 десятка и 1 единицу. Записываем под чертой в разряде единиц цифру 1, а 2 отмечаем «в уме».

Нам остается только записать результат в начальном примере:

12044+28609+1358

Источник

Свойства сложения

Содержание

Мы уже умеем складывать числа с помощью рисунка и координатного луча. Умеем складывать однозначные числа, такие как 7 и 5, и многозначные, такие как 123 и 456.

Для того чтобы складывать числа было легче, существует несколько простых правил. Их еще называют законами сложения или свойствами.

Закон – это что-то, что никогда не меняется, и что можно применять для всех чисел.

Заучивать законы сложения не нужно, их нужно только один раз понять и научиться использовать в примерах и задачах. Сделать это очень просто. Сейчас мы сможем в этом убедиться.

Переместительное свойство

Первый закон сложения называется переместительным законом сложения. Звучит он так:

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Чтобы понять этот закон, мы решим один и тот же пример двумя способами.

А теперь поменяем наши числа местами и посчитаем ответ:

Результаты сложения получились одинаковыми. Но заметим, что во втором случае посчитать было гораздо проще, не так ли? Значит, проще было поменять числа местами и потом посчитать.

Сложение с нулем

В корзине было 100 яблок, туда положили 0 яблок, сколько яблок стало в корзине?

Очевидно, что если в корзину не положили яблок, то количество яблок в ней не изменилось, то есть по-прежнему равно 100.

От прибавления нуля число не изменяется

$10+0 = 10$
$0 + 8 = 8$
$0 + 0 = 0$

Сочетательное свойство

В некоторых примерах бывает нужно сложить не два числа, а несколько.

Складываем все числа слева направо привычным для нас способом. Получаем:

Если мы внимательно посмотрим на числа, то сможем увидеть, что легче сначала сложить 4 и 6, а затем к полученной сумме прибавить и число 29.

$29 + 4 + 6 = 24 + 10 = 39$

Ответ получился таким же.

Значит, при сложении нескольких чисел можно складывать сначала те числа, которые нам удобнее сложить. А затем уже к полученной сумме прибавляем оставшиеся числа. Мы, так сказать, сочетаем те числа, которые легче посчитать при сложении.

Этот закон называется сочетательный закон сложения. Кратко он звучит так:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Законы сложения можно применять при сложении не только двух или трех, но и большего количество чисел.

Чтобы решить этот пример, посмотрим внимательно на числа. Заметим, что легче всего было бы сложить 128 и 12, а к числу 383 легче прибавить 17. Поэтому мы сейчас поменяем местами числа 17 и 12. То есть применим в нашем примере переместительный закон. Получим:

Теперь группируем попарно числа, которые будем складывать. То есть применим сочетательный закон. Для этого мы используем скобки:

Считаем, сколько получится в скобках и складываем результаты:

Вот так легко и быстро мы получили ответ, применяя законы сложения.

Источник

Свойства сложения и вычитания

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.

Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Примеры использования свойств сложения и вычитания

Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:

Пример 1

Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

Пример 2

Применить разные свойства при вычислении разности:

Пример 3

Найти значение выражения удобным способом:

а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

Источник

Мерзляк 5 класс — § 7. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Вопросы к параграфу

1. Как в равенстве а + b = с называют число а? Число b? Число с? Выражение а + b?

2. Сформулируйте переместительное свойство сложения.

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

3. Как записывают в буквенном виде переместительное свойство сложения?

4. Сформулируйте сочетательное свойство сложения.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

5. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство сложения?

6. Каким свойством обладает число 0 при сложении?

Если одно из двух слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому.

Решаем устно

1. Вычислите:

2. Назовите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 91.

Любые два последовательных натуральных числа различаются между собой на 1.

1) 90 — 1 = 90 — сумма искомых натуральных чисел без различающих их 1.

2) 90 : 2 = 45 — наименьшее из искомых натуральных чисел.

3) 45 + 1 = 46 — наибольшее из искомых натуральных чисел.

3. Назовите двузначное число, сумма цифр которого равна наибольшему однозначному числу. Сколько существует таких чисел?

Наибольшее двузначное число — 9.

Значит условию удовлетворяют следующие двузначные числа: 18, 81, 27, 72, 36, 63, 45, 54, 90. Значит существует 9 таких чисел.

Упражнения

167. Найдите сумму:

168. Выполните сложение:

169. Аня и Коля решали задачи. Коля решил 26 задач, а Аня — на 16 задач больше. Сколько задач решили Коля и Аня вместе?

1) 26 + 16 = 42 (задачи) — решила Аня.

2) 42 + 26 = 68 (задач) — решили Коля и Аня вместе.

170. Миша купил книгу за 170 р., что на 12 р. меньше, чем заплатил Петя за свою новую книгу. Сколько рублей заплатили за книги Миша и Петя вместе?

1) 170 + 12 = 182 (рубля) — заплатил за книгу Петя.

2) 170 + 182 = 352 (рубля) — заплатили за свои книги Петя и Миша вместе.

171. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

172. Используйте свойства сложения при вычислении суммы:

173. Стена Московского Кремля состоит из трёх участков: южного, восточного и западного. Длина южного участка составляет 685 м, что на 45 м меньше длины восточного. Длина западного участка на 135 м больше длины южного. Сколько метров составляет общая длина стен Московского Кремля?

1) 685 + 45 = 730 (метров) — длина восточной стены Кремля.

2) 685 + 135 = 820 (метров) — длина Западной стены Кремля.

3) 685 + 730 + 820 = 2 235 (метров) — общая длина стен Кремля.

Ответ: 2 235 метров.

174. У Иры в коллекции есть 26 марок, посвящённых историческим событиям, а также марки, посвящённые архитектуре и спорту. Марок по архитектуре у неё на 15 больше, чем по истории, и на 14 меньше, чем на спортивную тему. Сколько марок в коллекции у Иры?

1) 26 + 15 = 41 (марки) — по архитектуре.

2) 41 + 14 = 55 (марок) — посвящённых спорту.

3) 26 + 41 + 55 = 122 (марки) — всего в коллекции Иры.

175. На одной полке было 17 книг, на второй — на 18 книг больше, чем на первой, а на третьей — на 6 книг больше, чем на первой и второй вместе. Сколько всего книг было на трёх полках?

1) 17 + 18 = 35 (книг) — на второй полке.

2) 35 + 17 = 52 (книги) — на первой и второй полке вместе.

3) 52 + 6 = 58 (книг) — на третьей полке.

4) 52 + 58 = 110 (книг) всего на трёх полках.

176. Отправившись в велосипедный поход, группа туристов в первый день проехала 42 км, что на 12 км меньше, чем во второй, а в третий — на 4 км больше, чем в первый и второй вместе. Сколько километров проехали туристы за три дня?

1) 42 + 12 = 54 (км) — туристы проехали во второй день.

2) 42 + 54 = 96 (км) — туристы проехали всего за первый и второй день.

3) 96 + 4 = 100 (км) — туристы проехали в третий день.

4) 96 + 100 = 196 (км) — туристы проехали за три дня всего.

177. Упростите выражение:

178. Упростите выражение:

179. Дядя Фёдор выехал из города в Простоквашино в 15 ч 40 мин и потратил на дорогу 3 ч 50 мин. В котором часу дядя Фёдор приехал в Простоквашино?

1) 15 ч 40 мин + 3 ч 50 мин = (15 ч + 3 ч) + (40 мин + 50 мин) = 18 ч + 90 мин = 18 ч + (60 мин + 30 мин) = (18 ч + 1 ч) + 30 мин = 19 ч 30 мин

Ответ: дядя Фёдор приехал в Простоквашино в 19 часов 30 минут.

180. Поезд отправляется от станции А в 9 ч 57 мин и прибывает на станцию В через 2 ч 36 мин. В котором часу поезд прибывает на станцию В?

1) 9 ч 57 мин + 2 ч 36 мин = (9 ч + 2 ч) + ( 57 мин + 36 мин) = 11 ч + 93 мин = 11 ч + (60 мин + 33 мин) = (11 ч + 1 ч) + 33 мин = 12 ч 33 мин

Ответ: поезд прибывает на станцию В в 12 часов 33 минуты.

181. Найди:

182. Найдите сумму:

183. Найдите сумму:

184. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено верно:

185. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено верно:

186. Не выполняя вычислений, расположите данные суммы в порядке возрастания:

187. Найдите сумму наиболее удобным способом:

1) 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 + 10 = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 10 = 10 • 4 + 5 + 10 = 40 + 5 + 10 = 55

Комментарий: В данном примере надо сложить 11 чисел. из них:

В результате получаем 5 десятков плюс 5, то есть число 55.

2) 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + … + (49 + 51) + 50 + 100 = 100 • 49 + 50 + 100 = 4900 + 50 + 100 = 5 500.

188. Найди:

1) На сколько сумма 1 + 3 + 5 + … + 99 меньше, чем сумма 2 + 4 + 6 + … + 100?

1) 1 + 3 + 5 + … + 99 = (1 + 99) + (3 + 97) + (5 + 95) + … + (49 + 51) = 100 • 25 = 2 500 — слагаемыми являются только нечётные числа, а от 1 до 49 их 25 штук.

2) 2 + 4 + 6 + … + 100 = (2 + 98) + (4 + 96) + (6 + 94) + … + (48 + 52) + 50 + 100 = 100 • 24 + 50 + 100 = 2 400 + 50 + 100 = 2 550 — слагаемыми являются только нечётные числа, а их 24 пары по 100 плюс число 50 плюс число 100.

3) 2 550 — 2 500 = 50

2) Какая из сумм 1 + 3 + 5 + … + 2 001 и 2 + 4 + 6 + … + 2 000 больше и на сколько?

1) 1 + 3 + 5 + … + 2 001 = (1 + 1 999) + (3 + 1997) + (5 + 1995) + … + (999 + 1 001) + 2 001 = 2 000 • 500 + 2 001 = 1 000 000 + 2 001 = 1 002 001

2) 2 + 4+ 6 + … + 2 000 = (2 + 1998) + (4 + 1996) + (6 + 1994) + … + (998 + 1 002) + 1 000 + 2 000 = 2 000 • 490 + 1 000 + 2 000 = 2 000 + 500 + 1 000 = 1 000 000 + 1 000 = 1 001 000

3) 1 002 001 — 1 001 000 = 1 001

Ответ: сумма 1 + 3 + 5 + … + 2 001 больше суммы 2 + 4 + 6 + … + 2 000 на 1 001.

189. В записи 4 4 4 4 4 4 4 4 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 500.

444 + 44 + 4 + 4 + 4 = (444 + 44) + (4 + 4 + 4) = 488 + 12 = 500

Ответ: 444 + 44 + 4 + 4 + 4

190. Замените звёздочки числами так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была равна 20: 7, *, *, *, *, *, *, 9.

7 + 9 + 5 = 20; 9 + 4 + 7 = 20; 4 + 7 + 9 = 20 и т.д.

191. Слава разрезал проволоку на кусочки и составил фигуру, изображённую на рисунке 65. Мог ли Слава разрезать эту же проволоку так, чтобы составить фигуру, изображённую на рисунке 66?

Посчитаем, сколько проволоки Слава потратил на составление первой фигуры:

1) 15 • 1 + 12 • 2 = 15 + 24 = 39 (см) — проволоки использовано на первую фигуру.

Посчитаем, сколько проволоки Славе потребуется для составления второй фигуры:

2) 12 • 3 + 12 • 1 = 36 + 12 = 48 (см) — проволоки потребуется для второй фигуры.

Ответ: нет, длины проволоки, использованной для первой фигуры, не хватит для изготовления второй фигуры.

Упражнения для повторения

192. Отметьте на координатном луче натуральные числа, которые больше 6, но меньше 12.

193. Запишите все шестизначные числа, которые больше 999 888 и оканчиваются цифрой 5.

194. Скороход прошёл 24 км за 4 ч. На обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч. Сколько времени он потратил на обратный путь?

1) 24 : 4 = 6 (км/ч) — скорость движения скорохода по пути туда.

2) 6 + 2 = 8 (км/ч) — скорость движения скорохода по пути обратно.

3) 24 : 8 = 3 (часа) — скороход потратил на обратный путь.

195. Вася старше своей сестры Светы на 5 лет. На сколько лет он будет старше Светы через 7 лет?

И через 7 лет, и через 10, и через любое количество лет разница в возрасте между Васей и Светой останется одинаковой — 5 лет. Это происходит потому, что с количество лет прибавляется с каждым годом для всех с одинаковой скоростью.

Ответ: Вася будет старше своей сестры Светы на 5 лет.

Задача от мудрой совы

196. Можно ли таблицу из пяти строк и шести столбцов заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел каждой строки была равна 30, а сумма чисел каждого столбца — 20?

Мы знаем, что строк в таблице должно быть 5 и сумма натуральных чисел в каждой строке должна равняться 30. Значит сумма натуральных числе во всех пяти строках таблицы должна равняться:

Мы знаем, что столбцов с таблице должно быть 6 и сумма всех натуральных чисел в каждом столбце таблицы должна равняться 20. Значит сумма натуральных числе во всех шести столбцах таблицы должна равняться:

Получается, что сумма натуральных чисел в таблице, если считать по строкам и если считать по столбцам, не совпадает:

Значит таблицу с указанными условиями невозможно заполнить натуральными числами.

Ответ: нет, такую таблицу заполнить невозможно.

Источник

• ← Что такое общие жалобы и местные признаки при вакцинации
• Что такое гусиные лапки в коленном суставе →