Что такое свойство математика 5 класс

28.10.202326.04.2022 admin 0 Comments

Основные правила и свойства вычитания для 5 класса

Учащиеся средних образовательных школ изучают в 5 классе свойства вычитания и сложения. Они применяются для решения примеров, ускорения вычислений в устной форме и т. д. В высших учебных заведениях правила используются для упрощения выражений, нахождения корней дифференциальных уравнений и пределов, а также для выполнения других операций.

Общая информация

Вычитание — операция уменьшения числа на определенное значение. Для примера следует записать следующее выражение: p — t = v. Первая величина называется уменьшаемым, вторая — вычитаемым, а результат вычитания — разность. Очень часто в литературе с физико-математическим уклоном можно встретить связку «разность двух чисел», которая является синонимом вычитания.

Сложение — математическая операция, применяемая для увеличения числа на некоторое значение. Коэффициенты имеют такие названия (p + t = v):

Формулировка сочетательного закона сложения следующая: чтобы прибавить к сумме двух чисел, сгруппированных в скобках, третью величину, необходимо осуществить операцию сложения первого и третьего, а затем к результату прибавить второе слагаемое. В буквенном виде он записывается в таком виде: (t + v) + s = (t + s) + v. Справедлива будет и такая запись: (t + v) + s = (v + s) + t. Переместительный и сочетательный законы позволяют группировать слагаемые в любой последовательности.

Методы вычитания

Для выполнения операции разности чисел нужно придерживаться определенных свойств вычитания. В 5 классе изучаются все необходимые формулы и утверждения, к которым можно отнести следующие:

В шестом законе вычитания для 5 класса требуется просто раскрыть скобки без изменения знаков величин. Специалисты рекомендуют записать все правила в специальные таблицы-тренажеры, которые должны всегда быть под рукой.

Таким образом, для выполнения арифметических операций сложения и вычитания нужно знать все основные свойства и формулы, позволяющие оптимизировать вычисления.

Источник

Понятие действия

Вычитание — бинарная операция, результатом выполнения которой является число, называемое разностью. В действии участвуют два аргумента: один из них — уменьшаемое, а другой — вычитаемое. Ответ получается путем уменьшения значения одного аргумента на второй. Уменьшаемое располагается слева, а вычитаемое — справа. Обозначают операцию знаком минус, который ставят между двумя числами. По сути, уменьшение — это действие, обратное сложению.

При операции вычитания используют три термина:

Стоит отметить, что результат вычитания может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотреть процесс уменьшения удобно на примере:

Пусть в вазе лежит восемь яблок. Если три штуки забрать, то в вазе останется пять.

Математическая запись такого действия будет выглядеть как 8 — 3 = 5. В ней число восемь является уменьшаемым, три — вычитаемым, а пять — разностью (результатом). Произносится эта запись так: разность восьми и трёх равняется пяти.

Применение вычитание также позволяет сравнивать два числа. Пытаясь вычислить, какое число больше, а какое меньше, фактически определяют ту часть выражения, где находится больше единиц. Найти же, какое число больше или меньше другого, можно как раз вычитанием. Например для того чтобы узнать, насколько 50 меньше 80, нужно из последнего вычесть первое: 80 — 50 = 30. То есть второе число больше первого на тридцать единиц.

Так как уменьшение — это операция, обратная суммированию (прибавлению), то проверкой вычитания будет сумма. Пусть дано равенство: 66 — 13 = 43. Чтобы проверить его верность, можно к тринадцати (вычитаемому) прибавить разность (ответ). В результате должно получиться число, равное уменьшаемому. Для рассматриваемого примера проверка выглядит следующим образом: 13 + 43 = 66. Осуществить проверку можно и другим способом. Для этого необходимо уменьшаемое уменьшить на разность. Если после действия ответ совпадет с вычитаемым, то задание решено верно: 66 — 43 = 13.

Уменьшение многозначных чисел обычно выполняют в столбик. Для этого друг под другом пишут уменьшаемое и вычитаемое таким образом, чтобы разряды чисел находились строго один под одним. Затем проводят черту и, начиная с наименьшего разряда, выполняют минусование. Результат записывают под чертой.

Свойства уменьшения

Основная формула вычитания имеет следующий вид: a — b = c. При этом справедливыми будут утверждения: с + b = a и a — c = b. Числа, подставляемые в формулу, могут быть любыми, например натуральными, дробными, рациональными. Но вычитать можно только те аргументы, которые принадлежат одному множеству, то есть относятся к одному типу. Действие характеризуется несколькими важными свойствами:

Кроме этого, действие характеризуется антикоммутативностью — правило позволяет поменять аргументы местами, но при этом перед действием необходимо поставить знак минус, и дистрибутивностью — сочетанием умножения и вычитания. Других правил не бывает.

Если рассмотреть процесс на графике, то можно говорить, что происходит перенос числа по числовой прямой в левую часть. Следует отметить, что если действие выполняется с отрицательным числом, то получится операция сложения, так как минус на минус будет давать плюс. В этом случае результат сместится в правую часть. Важным является и то, что при вычитании переместительный закон, как для сложения или умножения, выполняться не будет. Действительно, очевидно, что 4 — 2 не будет равняться 2 — 4.

Этим базисным понятиям арифметики начинают обучать в 5 классе. Правила и свойства сложения и вычитания помогают довольно сильно облегчить ту или иную задачу. Так, чтобы вычесть сумму чисел из натурального аргумента, можно сначала найти сумму, а потом выполнить вычитание. Но, используя правило, может быть и удобнее сначала выполнить уменьшение, а потом разность прибавить к числу. Например, 38 — (28 + 7). Здесь проще сначала от тридцати восьми отнять двадцать восемь, а потом прибавить семь, чем сначала выполнять действие в скобках.

Простые примеры

Знание правил должно быть обязательно подкреплено практическим навыком. Поэтому как в школе, так и в видеоуроках после прослушивания лекции учащимся предлагается решить несколько примеров. Вначале школьники делают вычисления совместно с преподавателем, который должен рассказать, как лучше поступить в том или ином задании. Затем уже ученикам нужно попробовать самостоятельно порешать примеры. Для этого используют математические тренажеры.

Вот один из них, состоящий из 15 тестов и затрагивающий различные правила:

Только с опытом можно понять, в каких случаях желательно использовать переместительное правило, а в каких удобнее применить сочетательный закон без изменения записи.

Пример. Пусть у Ирины Петровны на кредитной карте находилось 3282 рубля. В конце месяца ей на эту карту начислили 6018 рублей пенсии. Ирина Петровна в магазине купила себе пирог и рассчиталась картой. Стоимость покупки составила 318 рублей. Спрашивается, сколько денег осталось у пенсионерки на счету. Эту задачу можно решить тремя разными способами. Какой из них удобнее, зависит от личного предпочтения:

Таким образом, какой бы способ ни был выбран, можно утверждать, что у Ирины Петровны на карте после покупки останется 8982 рубля. После окончания 5 класса законы вычитания нужно знать так же хорошо, как и таблицу умножения. Только в этом случае от арифметики можно будет переходить к изучению алгебры.

Вычитание на числовой прямой

Довольно наглядно свойства вычитания можно увидеть на иллюстрации, изобразив действие на числовой прямой. На ней нужно отложить точки через равный промежуток, например от ноля до десяти, и последовательно их пронумеровать.

Так, для решения примера 3 + 5 — 2 на прямой необходимо найти цифру три. Согласно условию и свойствам уменьшения, из неё можно вычесть двойку. Следовательно, нужно влево от тройки отсчитать два пункта. На иллюстрации этому будет соответствовать точка один. Затем по условию задания нужно прибавить пять единиц. На графике этому будет соответствовать перемещение на пять точек вправо. Итогом всех действий получится точка, подписанная как шесть.

Аналогичным образом можно подсчитать любое вычитание или сложение. Но этот метод хорош для обучения при значениях не больше десяти. Очень наглядно иллюстрация показывает и вычитание ноля. Так как при уменьшении на ноль передвигаться по прямой не нужно, то после вычитания значение уменьшаемого не изменяется.

Задача 2. Велосипедист за день преодолел путь от села Крюково до деревни Морозко. Вычислить, какое он преодолел расстояние за первый час, если за следующее время он проехал 13 км. Для иллюстрации условия задачи нужно на прямой изобразить точку отсчёта, обозначив её за ноль. Затем отметить конечную точку, соответствующую 18 км (в удобном масштабе).

На прямой от конечной точки отсчитать 13. Теперь от тринадцати подсчитать количество отрезков до начальной точки. Математические же вычисления будут выглядеть так: 18 — 13 = 4 км. И в первом, и во втором случае ответ будет аналогичным.

Источник

Свойства сложения и вычитания

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.

Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Примеры использования свойств сложения и вычитания

Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:

Пример 1

Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

Пример 2

Применить разные свойства при вычислении разности:

Пример 3

Найти значение выражения удобным способом:

а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

Источник

Свойства умножения и деления

Свойства умножения

Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.

Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.

Переместительное свойство умножения

От перестановки мест множителей произведение не меняется.

То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.

Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.

Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.

Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:

Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:

Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.

Свойство единицы при умножении

Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.

То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.

Свойства деления

Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.

Основные свойства деления целых чисел

И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.

Применим свойства деления на практике.

Пример 1

Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?

Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.

Пример 2

Вычислить: 500 * (100 : 5).

Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.

Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.

Пример 3

Упростить выражение: 27a – 16a.

Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.

Источник

Сложение натуральных чисел

Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!

Сумма чисел – это такое число, которое получается после объединения всех единиц других данных натуральных чисел.

Слагаемые – это числа, над которыми мы выполняем действие сложения. Иными словами, это те числа, количество единиц которых мы объединяем в новом числе.

Арифметическое действие – это нахождение нового числа при помощи двух или нескольких других данных чисел.

В курсе математики 5 класса изучаются основные арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение – это арифметическое действие, которое выполняется для получения суммы нескольких чисел.

Или другими словами:

Сложение – это действие увеличения числа на количество единиц, содержащихся в другом числе.

Сумма – это результат действия сложения.

Компоненты действия сложения для двух слагаемых:

Компоненты сложения для трех слагаемых:

Рисунок 1. Сумма двух чисел на координатном луче.

Основные свойства суммы натуральных чисел

Переместительный закон сложения

Сумма двух или нескольких чисел от изменения порядка сложения слагаемых не меняется.
Это значит, что значение суммы не зависит от порядка выполнения действия сложение.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких чисел не поменяется, если некоторые слагаемые заменить их суммой.
Это значит, что мы можем группировать слагаемые как угодно, а также выполнять действия сложения в любом порядке.

Например, если в нашем примере мы заменим слагаемые 2 и 3 их суммой, то результат останется такой же, как и при обычном сложении слагаемых:

или

или

Для прибавления суммы некоторых чисел к числу или некоторого числа к сумме чисел, нужно сложить это число с одним из слагаемых суммы, а получившийся результат сложить последовательно с остальными слагаемыми.

Пример 1. Прибавление числа к сумме чисел:

Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее с первым слагаемым:

325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406

Также можно использовать правило прибавления слагаемого и суммы. Результат при этом не поменяется

Пример 2. Прибавление суммы чисел к другому числу:

Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее со вторым слагаемым

( 54 + 240 + 189 )+ 37 = 483+ 37 = 520

Или можно использовать правило прибавления суммы чисел к числу. Результат останется тот же.

Изменение суммы чисел с изменением слагаемых

При увеличении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже увеличится на это же число (на это же количество единиц).

При уменьшении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже уменьшится на это же число (на это же количество единиц).

Эти два свойства справедливы и в обратную сторону. То есть, если увеличить или уменьшить сумму на какое-то число, тогда для сохранения равенства нужно соответственно увеличить или уменьшить одно из слагаемых.

Простой пример увеличения суммы при увеличении слагаемого: у вас есть 700 рублей; 200 рублей лежит в левом кармане, а 500 – в правом. Вы нашли на улице 300 рублей и положили их в левый карман, после чего там стало 200+300=500 рублей. Таким образом, всего у вас оказалось 500+500=1000 рублей, то есть, сумма всех ваших денег увеличилась на 300 рублей.

Попробуйте самостоятельно придумать примеры для всех трех правил.

Сложение однозначных чисел

Сложение двух однозначных чисел выполняется так: одно число увеличивается на количество единиц другого числа. То есть, единицы одного числа присоединяются к единицам другого числа.

Сложение многозначного числа с однозначным

Чтобы найти сумму многозначного числа и однозначного, можно действовать двумя способами. Оба они основаны на свойствах суммы чисел. Рассмотрим их на примерах.

То есть, мы проделываем такие действия:

88+5 = 80+8+5 = 80+13 = 80+10+3 = 90+3=93.

То есть, ход вычисления был такой:

88+5 = 88+2+3 = 90+3 = 93.

Сложение в столбик многозначных чисел

Сложение в столбик – это способ нахождения суммы чисел путем их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим).

Итак, допустим, что нам нужно найти сумму : 5728+803