Базовые свойства
Главными элементами сложения являются аргументы (слагаемые). Сумма — результат увеличения значений первого и второго аргументов. На письме эта математическая операция обозначается символом +. Основными свойствами сложения в математике являются:
Базовые свойства сложения изучаются в начальной школе со 2 класса. Процесс обучения начинается с простых заданий с двумя компонентами, представленными натуральными числами. По мере обучения увеличивается сложность задач и количество слагаемых. В школе большинство вычислений производится в десятичной системе счисления, поэтому в качестве памятки рекомендуется предоставить ученикам таблицу сложения, где представлены суммы пар чисел от 1 до 10.
Нахождение суммы многозначных чисел
Многозначными называются числа, состоящие из двух и более цифр. Для нахождения их суммы необходимо знание численных разрядов. Цифра, стоящая последней, показывает количество единиц. Далее идут десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Многозначные числа складываются столбиком. Сложить можно только одинаковые разряды.
Пример: найти сумму многозначных чисел 125 и 234. Отдельно складываются единицы, десятки и сотни: 5 + 4 = 9, 2 + 3 = 5, 1 + 2 = 3. Суммой является число 359.
Для проверки правильности вычислений нужно вычесть из суммы одно из слагаемых. Если разность равна второму слагаемому, то пример решен правильно. Проверку можно осуществить также при помощи калькулятора или иных вычислительных устройств.
Прибавление дробей и смешанных значений
Дробь — часть от целого числа, записываемая в виде x / y. Значение x называется числителем, y — знаменателем. Дробное число представляет собой операцию деления, где делимым является числитель, а делителем — знаменатель. Дробь считается правильной, если числитель не больше знаменателя.
При складывании дробей с одинаковыми знаменателями необходимо прибавлять только их числители (например, 1/5 + 3/5 = 4/5). Если значения, стоящие под знаком дроби, разные, то необходимо привести выражение к единому знаменателю:
Для упрощения этой процедуры рекомендуется приобрести таблицу умножения. С ее помощью можно легко найти общий знаменатель и дополнительные множители.
Десятичной называется дробь, знаменатель которой равен 10. Она состоит из целой и дробной частей, отделенных запятой. При нахождении суммы десятичные дроби записываются столбиком. Важно, чтобы запятые находились на одном уровне. При неравном количестве разрядов с правой стороны дописываются нули. Если в результате после запятой стоит 0, то он опускается.
Смешанное число — сумма обыкновенной дроби (дробная часть) и целого числа (целая часть).
Для определения суммы чисел в смешанной записи необходимо отделить целую часть от дроби и сложить их по отдельности, применяя базовые свойства сложения. Если в результате вычислений получилась неправильная дробь, то нужно следовать следующему алгоритму действий:
В математике процесс преобразования неправильной дроби в смешанное число называется выделением целой части. Если числитель полностью делится на знаменатель, то неправильную дробь можно записать в виде целого числа.
Складывание векторов, пределов и матриц
Вектор — отрезок, имеющий длину и направление. Он является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. В буквенном виде он записывается двумя заглавными символами латинского алфавита или одной маленькой латинской буквой. Существует два основных способа сложения векторов:
Для нахождения суммы трех и более векторов необходимо отметить на плоскости произвольную точку и последовательно отложить от нее исходные векторы. Отрезок, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, является суммой. При сложении важно учитывать, что результат сложения противоположно направленных векторов равен 0. Наглядно способы нахождения суммы векторов проиллюстрированы ниже.
Пределом функции является число, к которой стремится значение функции f (x) при стремлении ее аргумента к заданной точке на графике. Является одним из разделов математического анализа. Предел функции вычисляется по следующей формуле: limx →∞ f (x)= C, где C — число, к которому стремится аргумент функции. Для нахождения предела суммы необходимо сложить функции, стремящиеся к идентичным точкам на заданном графике.
Матрица — элемент высшей математики, представленный в виде таблицы прямоугольной формы. Она состоит из неограниченного количества строк и столбцов, где записываются целые, действительные, иррациональные и комплексные числа. В квадратных матрицах количество столбцов и строк совпадает. Нулевой называется таблица, где все компоненты равны 0. Матрицы нашли применение в записи алгебраических и дифференциальных уравнений.
Складывать можно только одноразмерные матрицы (число строк и столбцов совпадает). В противном случае может измениться их исходный размер. При нахождении суммы матриц каждые элементы складываются по отдельности. Нельзя сложить компоненты, находящиеся в разных строках или столбцах. В результате получится матрица с исходным размером. При сложении применяются свойства коммутативности и ассоциативности. Для складывания нулевых матриц важно знать правило нейтрального элемента.
Сложение в двоичной системе счисления
В двоичной системе счисления математические операции выполняются на электронно-вычислительных машинах. В ней применяются только две цифры: 0 и 1. Сложение в этой системе счисления выполняется в столбик. Для вычислений требуется следующая таблица:
| Условие математической операции |
| 0 + 0 = 0 |
| 0 + 1 = 1 |
| 1 + 0 = 1 |
| 1 + 1 = 10 |
Числа, записываемые в столбик, выравниваются по разделителю целой и дробной частей. Если количество разрядов не совпадает, то с правой стороны необходимо добавить нули. При складывании нескольких чисел возможен перенос через 2 и более разряда.
Для упрощения математической операции можно перевести числа из двоичной системы счисления в десятичную. Для этого над каждой цифрой исходного числа слева направо ставится степень, начиная от 0. Каждый элемент умножается на цифру 2, возведенную в соответствующую степень. Результаты вычислений суммируются. С помощью этого способа можно также переводить в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Сложение натуральных чисел
Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Сумма чисел – это такое число, которое получается после объединения всех единиц других данных натуральных чисел.
Слагаемые – это числа, над которыми мы выполняем действие сложения. Иными словами, это те числа, количество единиц которых мы объединяем в новом числе.
Арифметическое действие – это нахождение нового числа при помощи двух или нескольких других данных чисел.
В курсе математики 5 класса изучаются основные арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление.
Сложение – это арифметическое действие, которое выполняется для получения суммы нескольких чисел.
Или другими словами:
Сложение – это действие увеличения числа на количество единиц, содержащихся в другом числе.
Сумма – это результат действия сложения.
Компоненты действия сложения для двух слагаемых:
Компоненты сложения для трех слагаемых:
Рисунок 1. Сумма двух чисел на координатном луче.
Основные свойства суммы натуральных чисел
Переместительный закон сложения
Сумма двух или нескольких чисел от изменения порядка сложения слагаемых не меняется.
Это значит, что значение суммы не зависит от порядка выполнения действия сложение.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких чисел не поменяется, если некоторые слагаемые заменить их суммой.
Это значит, что мы можем группировать слагаемые как угодно, а также выполнять действия сложения в любом порядке.
Например, если в нашем примере мы заменим слагаемые 2 и 3 их суммой, то результат останется такой же, как и при обычном сложении слагаемых:
или
или
Для прибавления суммы некоторых чисел к числу или некоторого числа к сумме чисел, нужно сложить это число с одним из слагаемых суммы, а получившийся результат сложить последовательно с остальными слагаемыми.
Пример 1. Прибавление числа к сумме чисел:
Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее с первым слагаемым:
325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406
Также можно использовать правило прибавления слагаемого и суммы. Результат при этом не поменяется
Пример 2. Прибавление суммы чисел к другому числу:
Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее со вторым слагаемым
( 54 + 240 + 189 )+ 37 = 483+ 37 = 520
Или можно использовать правило прибавления суммы чисел к числу. Результат останется тот же.
Изменение суммы чисел с изменением слагаемых
При увеличении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже увеличится на это же число (на это же количество единиц).
При уменьшении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже уменьшится на это же число (на это же количество единиц).
Эти два свойства справедливы и в обратную сторону. То есть, если увеличить или уменьшить сумму на какое-то число, тогда для сохранения равенства нужно соответственно увеличить или уменьшить одно из слагаемых.
Простой пример увеличения суммы при увеличении слагаемого: у вас есть 700 рублей; 200 рублей лежит в левом кармане, а 500 – в правом. Вы нашли на улице 300 рублей и положили их в левый карман, после чего там стало 200+300=500 рублей. Таким образом, всего у вас оказалось 500+500=1000 рублей, то есть, сумма всех ваших денег увеличилась на 300 рублей.
Попробуйте самостоятельно придумать примеры для всех трех правил.
Сложение однозначных чисел
Сложение двух однозначных чисел выполняется так: одно число увеличивается на количество единиц другого числа. То есть, единицы одного числа присоединяются к единицам другого числа.
Сложение многозначного числа с однозначным
Чтобы найти сумму многозначного числа и однозначного, можно действовать двумя способами. Оба они основаны на свойствах суммы чисел. Рассмотрим их на примерах.
То есть, мы проделываем такие действия:
88+5 = 80+8+5 = 80+13 = 80+10+3 = 90+3=93.
То есть, ход вычисления был такой:
88+5 = 88+2+3 = 90+3 = 93.
Сложение в столбик многозначных чисел
Сложение в столбик – это способ нахождения суммы чисел путем их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим).
Итак, допустим, что нам нужно найти сумму : 5728+803
После нахождения суммы чисел методом сложения столбиком, записываем результат решения в исходном строчном примере:
5728+803 = 6531
Сложение в столбик нескольких многозначных чисел
Рассмотрим пример: 12044+28609+1358
Сложив простые единицы, мы получим 21, то есть, 2 десятка и 1 единицу. Записываем под чертой в разряде единиц цифру 1, а 2 отмечаем «в уме».
Нам остается только записать результат в начальном примере:
12044+28609+1358
Урок 10 Бесплатно Сложение натуральных чисел и его свойства
Натуральные числа для вас являются привычными и давно знакомыми.
С детства считая предметы или указывая их порядковые номера, вы использовали натуральные числа.
С натуральными числами можно производить основные математические операции: складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.
На этом занятии мы поговорим об операции сложения натуральных чисел, рассмотрим, как можно проиллюстрировать сложение чисел на координатном луче.
Определим основные свойства сложения и научимся применять их при решении задач.
Продемонстрируем свойства сложения с помощью координатного луча.
Научимся группировать и округлять натуральные числа при сложении.
Сложение натуральных чисел
Первым делом вспомним, что называют числовым рядом натуральных чисел и как он выглядит.
Натуральный ряд- это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания (каждое число стоит на своем месте).
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
1. Единица- это натуральное число, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом
2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число
3. Каждое натуральное число, отличное от единицы, следует за одним и только одним натуральным числом
Таким образом, в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.
Если не известно какое-либо число из натурального ряда, его можно определить прибавлением к предыдущему числу единицы.
Найдем в натуральном ряду, изображенном на картинке, пропущенное число, которое следует за числом три.
Прибавим к тройке единицу и получим следующее за тройкой число, равное четырем.
Получим натуральный ряд:
Попробуем сложить числа 2 и 3, действуя по аналогии с предыдущим примером.
К числу 2 прибавим три раза по единице.
В результате сложения чисел 2 и 3 получили число 5.
Данный способ сложения натуральных чисел легко представить на маленьких числах.
Рассмотрим пример, в котором необходимо сложить два больших числа:
Маша прочитала за первый день 25 страниц рассказа, за второй день она прочитала 35 страниц.
Чтобы определить общее число страниц, которые прочитала маша, можно было бы пересчитать все страницы по одной, отсчитывая сначала 25 страниц, затем еще 35.
Времени на решение поставленной задачи было бы затрачено много, да и запись решения такого примера получилась бы очень громоздкой.
Чтобы освободится от пересчета объектов, используют операцию сложения.
Сложение- это арифметическое действие, в результате которого происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.
В общем виде операция сложения выглядит так:
Для записи сложения используют математический знак плюс «+», который находится между складываемыми числами.
Складываемые числа называют слагаемыми.
Операция сложения и результат сложения соединяются знаком равно «=».
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Знак равенства «=» в математике- это символ, который пишется между идентичными по своему значению выражениями.
Знак равенства обозначался в разные времена по-разному.
В античной математике знак равенства обозначали в виде слова (например, est и egale).
В качестве обозначения знака равенства пытались использовать первые буквы слова «равный» на различных языках.
Долгое время использовали аббревиатуру «ае» от латинского слова aegualis- «равный».
Знак равенства в том виде, в котором мы его знаем сейчас, предложил математик Роберт Рекорд в 1557 году.
Этот знак он изобразил в виде двух горизонтальных отрезков, стоящих на одинаковом расстоянии друг от друга «=».
Продолжительное время знак равенства не приживался, свое распространение он получил только столетие спустя, так как многие именитые ученые использовали в своих трудах в качестве знака равенства аббревиатуру «ае», продолжительное время знаком равно «=» обозначали совсем иное математическое понятие- параллельные прямые
Решение нашей задачи будет выглядеть так:
Найдем сумму страниц, прочитанных Машей за два дня.
25 + 35 = 60 (страниц)
Эта запись читается так: «Сумма 25 (двадцати пяти) и 35 (тридцати пяти) равняется 60 (шестидесяти) или «25 (двадцать пять) плюс 35 (тридцать пять) равно 60 (шестьдесят)»
Сложение небольших натуральных чисел легко представить на координатном луче.
Найдем сумму чисел 2 и 4.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком 1 деление = 1 единица.
Известно, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка.
Выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче:
Отметим на координатном луче число 2
К числу 2 прибавим 4, т.е. переместим точку А(2) на 4 единичных отрезка вправо, окажемся в точке В (6)
Следовательно, сумма чисел 2 и 4 равна 6
2 + 4 = 6
Ответ: 6
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства сложения натуральных чисел
Рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.
1. Переместительное свойство сложения.
Чтобы лучше понять переместительное свойство сложения натуральных чисел, рассмотрим задачу:
В вазу для фруктов положили 4 яблока и 3 груши, в результате в вазе оказалось 7 фруктов.
Представим другую ситуацию: в вазу для фруктов положили сначала 3 груши, затем 4 яблока, общее количество фруктов в вазе стало равным 7.
В первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в вазу, одинаковое.
Таким образом, если сложить 4 яблока и 3 груши, то получится такой же результат, как при сложении 3 груш и 4 яблок.
4 + 3 = 7
3 + 4 = 7
4 + 3 = 3 + 4
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Первый вариант задачи: 4 + 3
Отметим точку C (4) на координатном луче, отложив 4 единичных отрезка вправо от точки О (0).
К числу 4 прибавим число 3, т.е. переместим точку С(4) на 3 единичных отрезка вправо, получим точку D(7), следовательно, сумма 4 + 3 = 7
Второй вариант задачи: 3 + 4
Отметим точку Е (3) на координатном луче, отложив 3 единичных отрезка вправо от точки О (0).
К числу 3 прибавим число 4, т.е. переместим точку E (3) на 4 единичных отрезка вправо, получим точку F (7), следовательно, сумма 3 + 4 = 7
Cформулируем переместительное свойство сложения.
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В общем виде данное свойство выглядит так:
2. Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Рассмотрим данное свойство на примере.
В овощной салат нарезали 2 огурца, затем добавили 1 луковицу и 3 томата.
Рассмотрим другую ситуацию: в салат положили сначала 2 огурца и луковицу, а затем добавили 3 томата.
В первом и во втором случае для приготовления салата было использовано 6 овощей (2 огурца, 1 луковица, 3 томата).
Таким образом, результат сложения числа 2 с суммой чисел 1 и 3 равен результату сложения суммы чисел 2 и 1 с числом 3
2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3
Сочетательное свойство сложения звучит так:
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе.
Последовательность действий при суммировании не важна.
В общем виде сочетательное свойство сложения выглядит так:
Изобразим рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Первый вариант задачи: 2 + (1 + 3) = 2 + 4 = 6 (к числу 2 прибавили сумму двух чисел 1 и 3).
Второй вариант задачи: (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 6 (к числу 2 прибавили сначала единицу, затем к тому что получилось прибавили второе число равное 3).
Отметим точку С (2) на координатном луче (два огурца).
Решение первого варианта задачи: к двум прибавить сумму 1 + 3 = 4 (одна луковица и три томата), т.е. отложить в правую сторону от точки С (2) 4 единичных отрезка, остановимся в точке D c координатой, равной 6 (общее количество овощей в салате).
Решение второго варианта задачи: к числу 2 (число обозначающее количество огурцов в салате) прибавить сначала 1 (количество луковиц), т.е. от точки С (2) отложить на координатном луче вправо один единичный отрезок.
В первом и во втором варианте в результате всех производимых действий мы оказывались в точке D (6), следовательно, общее количество овощей в салате в первом и во втором варианте задачи одинаковое и равно шести.
3. Свойство сложения нуля с натуральным числом и натурального числа с нулем.
Представим, что в пустую корзину положили 6 яблок.
Это значит в корзине находилось ноль яблок и в нее помещают 6 яблок.
Понятно, что в результате в вазе оказалось 6 яблок.
0 + 6 = 6
При сложении нуля с каким-либо числом всегда получается это самое число.
Аналогичная ситуация будет складываться, если в корзине находилось 6 яблок и в нее больше ничего не положили, то в корзине останется прежнее число яблок.
Если к числу прибавлять ноль (т.е. ничего не прибавлять), то получится исходное число.
6 + 0 = 6
Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому.
Рассмотрим, как выглядит данное свойство на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
6 + 0 = 6
К 6 прибавить 0, значит, точку с координатой 6 переместить на 0 единичных отрезков, т.е. оставить точку на том же месте.
0 + 6 = 6
К 0 прибавить 6, значит, от точки О (0) отложить вправо 6 единичных отрезков, полученная точка с координатой 6 является суммой чисел 0 и 6
Переместительное и сочетательное свойство сложения используют для упрощения вычисления математических выражений.
В выражениях со скобками первым действием выполняют то, которое стоит в скобках.
Когда в записи суммы нет скобок, то сложение выполняют по порядку слева направо.
При вычислении суммы, состоящей из трех и более слагаемых, удобно использовать сразу переместительное и сочетательное свойство сложения, группируя слагаемые, объединяя их по определенному признаку с помощью скобок.
Группировать числа лучше так, чтобы в сумме эти числа давали круглое число (число, оканчивающееся на ноль), с такими числами легче выполнять математические операции.
Пример:
Дано выражение 15 + 23 + 35 + 17
Найдем сумму чисел удобным способом.
Проще решить данное выражение, объединив с помощью скобок слагаемые так, чтобы в сумме они давали круглые числа.
Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, переставим местами слагаемые и сгруппируем их.
Ответ: 90
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Круглые числа легче сложить друг с другом.
Пример:
Существует правило: сумма чисел не изменяется, если к одному из слагаемых прибавить несколько единиц, а из другого слагаемого вычесть такое же количество единиц.
Найдем сумму чисел 49 и 13
Увеличим слагаемое 49 на одну единицу; таким образом, округлим его до 50
Но, увеличивая одно слагаемое на одну единицу, необходимо второе слагаемое уменьшить на одну единицу для сохранения равенства.
Уменьшим число 13 на одну единицу.
49 + 1 = 50
Получаем следующее выражение:
50 + 12 =62
Ответ: 62.
Данный прием округления особенно удобно использовать при устных вычислениях.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
