Что такое вектор в технической механике

Теоретическая механика

15. Введение. Необходимые сведения из математики

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучаются законы распределения скоростей и ускорений точек движущихся тел. При этом не рассматриваются причины вызывающие это движение.

Необходимые сведения из математики

В теоретической механике встречаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Вектор считается постоянным, если с течением времени он не меняет свое направления и модуль.

Вектор считается переменным, если с течением времени он изменяет свой модуль или направление или одновременно и то и другое.

Вектор, изменяющий с течением времени только свое направление, называется переменным вектором постоянного модуля.

Скалярное произведение двух векторов.

В результате скалярного произведения двух векторов и получается число или скаляр

Если вектора и представить в виде разложения по осям координат

то их скалярное произведение запишется в виде

Векторное произведение двух векторов.

Первый замечательный предел.

Понятие производной от непрерывной функции.

Если функция является непрерывной функцией, то

Производная вектора по скалярному аргументу.

Рассмотрим положение вектора в моменты времени и и положение вектора (рис.К.4).

Таким образом, и имеет направление касательной к годографу.

Некоторые свойства производной от вектора по скалярному аргументу.

1) если вектор является постоянным вектором, то ;

Производная от переменного вектора постоянного модуля по скалярному аргументу

Напомним, что вектор, изменяющий с течением времени свое направление и не изменяющий свой модуль называется переменным вектором постоянного модуля.

Из центра проведем часть окружности радиуса и отложим вектора и (рис.К.5).

Отметим, что вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости годографа (рис. К.6)

Орты являются переменными векторами постоянного единичного модуля, то есть определяют направления произвольно движущейся декартовой системы координат.

Тогда можно записать, что

Рассмотрим теперь понятия кривизны линии и радиуса кривизны линии в данной точке.

Кривизна линии и радиус кривизны линии в данной точке

Кривизной линии в точке называется предел (К.8)

Величина, обратная кривизне

называется радиусом кривизны.

С учетом первого замечательного предела получим

Теперь перейдем к изучению кинематики точки.

Источник

Статика – раздел теоретической механики

Определение и роль статики в теоретической механике

Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.

Понятие силы

Единицей измерения силы является один Ньютон:
.
В технике широко используется килоньютон:
.

Как следует из определения, сила – это векторная величина, которая, в трехмерном пространстве, имеет три проекции на оси координат. Также задать силу можно с помощью абсолютной величины (модуля) и направления. Для материальной точки, сила приложена к самой точке. Но если мы рассматриваем твердое тело, то кроме вектора силы нам нужно еще указать и точку ее приложения. Таким образом, действие силы на твердое тело характеризуется вектором силы и точкой ее приложения. Если выбрать систему отсчета, то действие силы на твердое тело определяется двумя векторами. Это вектор силы, и вектор, проведенный из начала системы отсчета в точку приложения силы.

Система сил, действующих на тело – это совокупность векторов сил, приложенных к телу, и точек их приложения.
Эквивалентные системы сил Две системы сил являются эквивалентными, если законы движения любых точек твердого тела совпадают при действии любой из этих систем.
Эквивалентное преобразование системы сил – это переход от одной системы сил к эквивалентной ей системе.
Система взаимно уравновешивающихся сил – это система сил, не меняющая уравнений движения или уравнений равновесия твердого тела. То есть это система, эквивалентная отсутствию сил.
Равнодействующая – это одна сила, действие которой эквивалентно действию данной системы сил.

Закрепленные, скользящие и свободные векторы

Поскольку действие силы на твердое тело определяется двумя векторами, то часто под силой подразумевают множество, состоящее из двух векторов – вектора силы, и вектора точки ее приложения относительно выбранной системы координат. Такие множества подразделяются на три класса, для которых вводят специальные термины.

Закрепленный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два закрепленных вектора считаются равными только в том случае, если равны их образующие векторы и совпадают точки приложения. Закрепленный вектор также называют связанным или фиксированным вектором.
Скользящий вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения, обладающее тем свойством, что точку приложения можно перемещать вдоль прямой, параллельно образующему вектору. То есть два скользящих вектора считаются равными, если равны образующие векторы и точки их приложения расположены на одной прямой, параллельной образующему вектору.
Свободный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два свободных вектора считаются равными, если равны образующие векторы, не зависимо от точек приложения.
Линия действия силы – это прямая, проведенная через точку приложения силы параллельно ее направлению.

Если мы рассматриваем упругое тело, то сила – это закрепленный вектор. Деформации зависят не только от величин и направлений сил, но и от точек их приложения. Если мы рассматриваем движение или равновесие абсолютно твердого тела, то действующая сила является скользящим вектором. Перемещение ее точки приложения вдоль линии ее действия не меняет уравнений движения или уравнений равновесия. Угловая скорость вращения абсолютно твердого тела является свободным вектором. Она характеризует движение в целом, и ее значение одинаково во всех точках тела.

С математической точки зрения, статика – это алгебра скользящих векторов.

Проекции силы на оси координат

Сила в трехмерном пространстве

Сила на плоскости

Аксиомы статики

Часть аксиом являются основными законами механики. Другая часть относится к законам преобразования сил, действующих на абсолютно твердое тело, и применяется только к задачам теоретической механики. По своей сути, они выражают собой тот факт, что действие силы на тело является скользящим вектором.

1. Аксиома инерции (закон инерции Галилея)
Существуют такие системы отсчета, в которых любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами и точками, движется прямолинейно и равномерно. В частности, если тело покоилось в определенный момент времени, то оно будет покоиться и в последующие моменты.

Такие системы отсчета называются инерциальными. В механике, если это особо не оговорено, под системой отсчета подразумевается именно инерциальная система отсчета. Аксиому инерции иногда формулируют так.

1′. Аксиома инерции
В инерциальной системе отсчета, под действием взаимно уравновешивающихся сил, материальная точка находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно, а первоначально покоившееся тело продолжает покоиться и в последующие моменты времени.

2. Аксиома равновесия двух сил
Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, являются уравновешенными тогда и только тогда, когда они равны по модулю, направлены в противоположные стороны и их линии действия совпадают.

3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил
Кинематическое состояние твердого тела не изменится, если к действующей на него системе сил прибавить или отнять уравновешенную систему сил.

То есть, прибавляя или исключая уравновешенную систему сил, мы получаем эквивалентную систему сил.

Следствие аксиом 2 и 3
Действие силы на твердое тело не изменится, если точку приложения силы перенести вдоль ее линии действия. То есть сила, приложенная к твердому телу, является скользящим вектором. Доказательство

4. Аксиома параллелограмма сил
Две силы, приложенные к телу в одной точке, можно заменить их равнодействующей силой, равной векторной сумме этих сил и приложенной к той же точке.
Верно и обратное. Любую силу можно разложить на две (и более) силы по правилу векторной суммы (по правилу параллелограмма), приложенных в той же точке, что и исходная сила.

Сложение сил по правилу параллелограмма

5. Аксиома равенства действия и противодействия (3-й закон Ньютона)
Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

То есть если мы возьмем все силы, действующие на тело 2 со стороны тела 1, и объединим их с силами, действующими на тело 1 со стороны тела 2, то получим уравновешенную систему сил.

6. Принцип отвердевания
Если деформируемое тело находится в равновесии, то его равновесие не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Система сходящихся сил

Таким образом, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на оси координат:
;
.

Условия равновесия системы сходящихся сил
Если тело или система тел, на которые действует сходящаяся система сил, находится в покое, то равнодействующая этих сил равна нулю:
.
Это дает три уравнения равновесия:
.

Теорема о трех непараллельных силах
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, линии действия двух из которых пересекаются в одной точке, то все силы лежат в одной плоскости и являются сходящимися.

Следствие
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то эти силы являются сходящимися.

Параллельные силы

Ранее мы отмечали, что система сходящихся сил имеет равнодействующую. То есть такую систему можно заменить одной силой. Приведем еще важные примеры систем сил, имеющих равнодействующую.

Две силы одного направления

Две противоположно направленные силы

Момент силы относительно точки

Определение

Геометрическая интерпретация

Компоненты момента силы в декартовой системе координат

Свойства момента силы относительно центра

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.
Доказательство

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.
Доказательство

То же самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.
Доказательство

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен векторной сумме моментов сил системы относительно той же точки.

Пара сил

Теорема о независимости выбора центра при вычислении момента пары
Векторная сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от выбора точки, относительно которой вычисляются моменты.
Теорема об эквивалентности пар
Две пары, имеющие равные векторы моментов, эквивалентны. То есть у пары можно менять модуль силы и длину плеча, оставляя неизменным ее момент.
Теорема о возможности перемещения пары
Пару сил можно переносить в любом направлении. Другими словами, если пару сил переместить параллельным переносом в любое положение, то она будет эквивалентна исходной паре.
Теорема о сложении нескольких пар
Система нескольких пар сил эквивалентна одной паре, вектор момента которой равен векторной сумме моментов исходных пар.
Условие равновесия пар
Система, состоящая только из нескольких пар, является уравновешенной, если векторная сумма моментов пар равна нулю:
.

Момент силы относительно оси

Часто встречаются случаи, когда нам нужно знать не все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а только проекцию момента на выбранное направление.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю.
Доказательство

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.
Доказательство

Вычисление момента силы относительно оси

Условия равновесия

Главный вектор и главный момент

Подчеркнем, что величина главного момента зависит от выбора центра, относительно которого вычисляются моменты.

Пространственная система сил

Основная форма условий равновесия

Это основная форма условий равновесия. Точка C может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр C выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми. Спроектировав каждое из этих векторных уравнений на три направления, получим шесть уравнений, из которых можно определить шесть неизвестных величин.

Вторая форма условий равновесия

Третья форма условий равновесия

Плоская система сил

Условия равновесия плоского тела

Основная форма условий равновесия
;
;
.

Вторая форма условий равновесия
;
;
.

Третья форма условий равновесия
;
;
;
.

Связи и их реакции

Определения и свойства

Принцип освобождаемости
Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к телу.

Основные типы связей и их реакции

Плоские и пространственные задачи

Две гладкие не острые поверхности. Через точку соприкосновения проводим касательную плоскость к этим поверхностям. Реакция является силой, направленной перпендикулярно этой плоскости, то есть, направлена по нормали к обеим поверхностям в точке их соприкосновения.

Одна из гладких поверхностей является острием. Реакция является силой, направленной вдоль нормали не острой поверхности в точке соприкосновения.

Две шероховатые поверхности. То же самое, что и для гладких поверхностей, только в точке соприкосновения добавляем силу трения, лежащую в плоскости касания.

Невесомая нить и стержень. Реакция направлена вдоль нити или стержня. При этом на нить всегда действует сила растяжения. На стержень может действовать как растягивающая, так и сжимающая сила.

Плоские задачи

Следующие связи применяют только в плоских задачах.

Неподвижный шарнир. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Подвижный шарнир, или опора на катках. Реакция является силой, которая проходит через ось шарнира перпендикулярно опорной поверхности.

Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно оси, проходящей через точку соединения перпендикулярно плоскости фигуры. Силу обычно раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Пространственные задачи

Цилиндрический шарнир или петля. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира, перпендикулярно направлению оси. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Сферический подшипник или подпятник. Реакция является силой, проходящей через центр подшипника. Обычно ее раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.

Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно этой точки. Силу и момент обычно раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.

Силы трения

Трение скольжения

Сила трения скольжения – это сила трения, приложенная к точкам соприкосновения движущихся тел и параллельная плоскости их соприкосновения. То есть это сила, препятствующая скольжению одного тела по поверхности другого. При расчетах, под силой трения скольжения понимают равнодействующую всех сил трения, возникающих в точках соприкосновения тел.

Закон Амонта – Кулона
Сила трения скольжения направлена параллельно плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную их движению, которое возникло бы при отсутствии трения. Она не зависит от площади соприкосновения поверхностей, а зависит от силы давления N одной поверхности на другую, перпендикулярную плоскости соприкосновения тел:
.

Трение сцепления

Сила трения сцепления – это сила трения скольжения, когда относительное перемещение соприкасающихся тел отсутствует.
Предельная сила трения – это максимальное значение силы трения сцепления.
Предельное равновесие – это состояние равновесия, при котором значение силы трения сцепления равно ее максимальному значению.

Заклинивание механизма – это явление в механике, при котором система остается в состоянии покоя при любом, сколь угодно большом увеличении модуля внешней силы.

Условие возникновения движения при наличии трения
Для того чтобы тело начало движение, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая внешних сил находилась вне конуса трения.

Трение качения

Расчетная схема трения качения.

Центр тяжести тела

Центр тяжести в пространстве

Если бы мы находили равнодействующую сил тяжести, выполняя эквивалентные преобразования сил, то мы бы нашли только линию действия равнодействующей. Далее, если повернуть тело на некоторый угол, то можно найти другую линию действия равнодействующей. При этом все, подобным образом построенные линии, пересекаются в одной точке, которая и является центром тяжести тела.

Центр тяжести твердого тела – это точка, связанная с телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела, при любом положении тела в пространстве.
Вес тела – это абсолютное значение равнодействующей сил тяжести частиц, составляющих тело.

В случае, когда силы имеют другое происхождение, но также имеют одинаковое направление, то мы имеем дело с системой параллельных сил. В этом случае, точка C называется центром параллельных сил.

Центр тяжести плоской фигуры

Однородная фигура

В рассматриваемом нами случае, статические моменты относительно осей x, y определяются по формулам:
.
Статические моменты широко используются при расчете конструкций. Для стандартных профилей, их значения указываются в соответствующих справочниках.

Центры тяжести простейших фигур

Теоремы, применяемые при расчете центра тяжести

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Распределенная нагрузка

Силу тяжести протяженных тел, на схемах, изображают в виде эпюр. Также встречаются подобные силе тяжести параллельные силы, приложенные не в определенных точках тела, а непрерывно распределенные по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или распределенными нагрузками.

Приведение системы сил к центру

Теорема о параллельном переносе силы (лемма Пуансо)
Сила, действующая на данное тело, эквивалентна силе, полученной параллельным переносом исходной силы в любую точку тела и паре сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно новой точки ее приложения.

Статические инварианты

Итак, статическими инвариантами являются следующие величины:
– квадрат модуля главного вектора;
– скалярное произведение главного вектора на главный момент. Инвариантами также являются функции от инвариантов. Например, проекция главного момента на направление главного вектора является инвариантом:
.

Динама

Динама – одна из простейших систем сил.

Из (П1) мы находим, что минимальное значение модуля момента равно модулю его проекции на направление главного вектора:
.

Центральная ось системы сил

Центральная ось системы сил – это прямая, обладающая тем свойством, что при приведении системы сил к любой из ее точек, система сил является динамой. При этом главный вектор и главный момент динамы параллельны этой прямой, а главный момент имеет наименьшее по модулю значение.

Приведение системы сил к простейшему виду

Пара сил

Равнодействующая сила

Динама

Использованная литература:
А. А. Яблонский, В.М. Никифорова. Курс теоретической механики, часть 1, статика, кинематика. Москва, «Высшая школа», 1966.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Источник