Что такое вершина геометрической фигуры

Многоугольники

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :

В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E — это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA — стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Периметр многоугольника ABCDE равен:

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

где t — это количество треугольников, а n — количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Источник

Что такое многоугольник в математике — виды, свойства и примеры фигур с названиями

Геометрическую фигуру, ограниченную со всех сторон ломанной линией, называют многоугольником. В математике такое понятие применимо для множества объектов, образованных из трёх и более отрезков. Фигуры, относящиеся к этому классу, могут иметь как произвольную форму, так и строгую. Например, семиугольник, квадрат. Но при этом их всех объединяют одинаковые свойства и ряд правил.

Общие сведения

Основной линией, с помощью которой образовывается многоугольная фигура, называется ломанная. Это несколько последовательно соединённых между собой отрезков. Если при этом они друг друга не пересекают, кривую считают простой. В ином случае говорят про ломанную с самопересечением. Каждый отрезок, входящий в кривую, называют звеном. Точки, ограничивающие его — вершинами.

Нарисовать ломанную можно по-разному. Главное, соблюдать правило последовательного соединения точек отрезков. Если при этом получится рисунок, на котором первая вершина начального отрезка совпадёт с последней вершиной (ломанная замкнётся), такая кривая называется замкнутой. Но чаще используется другое название — многоугольник. Другими словами, это фигура, образованная соединёнными между собой прямыми, состоящая из отрезков без самопересечения.

Любого вида многоугольник состоит из следующих частей:

Две прямые линии, соединяющиеся у вершины, образуют угол. Он получается при пересечении лучей, проходящих по сторонам фигуры. Именно от количества углов, получаемых при построении, тот или иной геометрический объект может иметь своё уникальное название. Например, тело с тремя углами — треугольник, четырьмя — четырёхугольник, пятью — пятиугольник.

Понятия применимы не только к плоскости, но и к пространству. Так, во втором случае с помощью ломанной образовывается пространственный многоугольник. Его особенность в том, что вершины тела не лежат в одной плоскости и как минимум фигура должна иметь их по меньшей мере 4. Многоугольник с n вершинами называется n—угольником.

Каждая фигура со множеством углов имеет особые линии. Это такие отрезки, построение которых помогает охарактеризовать тело. Одной из них является диагональ. Это элемент, который получается при соединении отрезком двух несоседних вершин. Таких замкнутых прямых в многоугольнике может быть много. При этом из одной вершины можно строить несколько диагоналей.

А также все многоугольники разделяют на 2 типа — выпуклые и невыпуклые. Тело хотя бы с одним углом, смотрящим внутрь, относится ко второму типу, а тот, чьи углы направлены наружу — к первому. В школьном курсе геометрии изучают только второй вид, расположенный на плоскости. Более сложными видами многоугольников занимается стереометрия и планиметрия.

Простейшие четырёхугольники

Любой многоугольник, который состоит из четырёх углов, называют четырёхугольным. Он относится к простейшим геометрическим телам. Если о нём ничего не известно, его считают произвольным, то есть фигурой, у которой нет особенных углов или сторон. В другом случае четырёхугольники имеют собственные названия.

Наиболее часто приходится сталкиваться со следующими видами:

Для всех этих видов характерно, что каждая из фигур имеет 2 пересекающиеся диагонали. Причём точка их соприкосновения делит отрезок на 2 равные части. Кроме этого, для прямоугольника и квадрата длина одной диагонали равна другой. Если у четырёхугольного прямоугольника обозначить стороны a и b, противоположные им грани также будут a и b.

Каждый отрезок, образующий многоугольник, имеет свою длину. При их сложении получается периметр фигуры. Для его обозначения используют заглавную латинскую букву P. Например, если есть многоугольник, образованный сторонами AB, BC, CA, его периметр будет равняться: Pabc = AB + BC + CA. Можно обратить внимание, что количество углов соответствует числу сторон, складываемых для нахождения P. Это важный параметр, позволяющий оценить размер фигуры.

Прямая четырёхугольная фигура является частным случаем ромба. А значит, что все формулы, указанные для квадрата, справедливы и при применении к нему. Следует отметить, что площадь ромба может быть найдена и как половина произведения его диагоналей.

Треугольный многоугольник

Такую фигуру называют треугольником. Она состоит из трёх углов и такого же числа сторон. Их, принято обозначать маленькими буквами a, b, c или подписывать двумя заглавными по названиям вершин, которые являются началом и концом отрезка. Например, треугольник ABC содержит стороны: AB = a, BC = b, AC = c.

В зависимости от особенностей, фигура может называться:

Но несмотря на классификацию, все перечисленные виды обладают общими свойствами. Считается, что угол любого плоского треугольника образуется при пересечении двух лучей, содержащих его стороны, то есть если говорят об ∠A, то подразумевают, что был лучи AB и АС, при построении которых он и образовался. Таким образом, он заключается не между сторонами, а лучами.

Как и для любого другого многоугольника, у треугольника есть периметр и площадь. Следуя из определения первого, для фигуры с вершинами ABC он будет равен сумме длин всех сторон: P = a + b + c. У треугольников существуют так называемые замечательные линии: медиана, биссектриса, высота.

Эти 3 параметра определяют свойства треугольной фигуры. С их помощью можно находить, площадь, стороны, значения углов. Определение медианы звучит так: это прямая, проведённая из угла к противолежащей стороне таким образом, что разделяет её пополам. Под биссектрисой же понимают отрезок, разделяющий угол на 2 равные части. Высотой называют перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону из вершины.

Треугольник, который выглядит, как прямой угол, называют прямоугольным. То есть построив в любом многоугольнике с тремя углами высоту, можно получить две фигуры, обе из которых точно будут прямоугольными. Боковые грани, перпендикулярные друг другу, называют катетами, а оставшуюся сторону — гипотенузой. По сути, тело представляет собой разделённый диагональю квадрат. Отсюда площадь многоугольника будет равняться произведению катетов, делённых на 2: S = a*b/2. А также следует отметить, что у равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектриса совпадают.

Теорема об углах

Многоугольники бывают выпуклые и вогнутые. Чтобы узнать, какой из них приходится рассматривать в том или ином случае, можно сделать следующее. Через каждую сторону провести прямую. Если по отношению к любой из них фигура будет лежать в одной полуплоскости относительно неё, многоугольник считается выпуклым, в ином случае — вогнутым.

Для первого типа существуют важные соотношения. Пусть имеется произвольный многоугольник. Интерес представляет сумма всех его углов. Посчитать её можно следующим образом. Нужно взять любую вершину и соединить её со всеми оставшимися прямой линией. В результате получится несколько треугольников. Затем нужно посчитать их количество. Например, в шестиугольнике их будет 4, восьмиугольнике — 6. Это число легко находится, так как существует правило, согласно которому в любой n-угольной фигуре можно построить n-2 треугольника.

Источник

Вершина треугольника – определение

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Источник

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Источник

Как выглядит замкнутая ломаная линия

Ломаной линией в геометрии принято называть геометрическую фигуру, которая состоит из двух или нескольких отрезков. Конец одного отрезка является началом другого. Обязательное условие, которому подчиняется любая ломаная, — соседние отрезки не должны располагаться на одной прямой.

Эти геометрические фигуры находят самое широкое применение в разных областях науки и практики:

Типы ломаных линий

Рассматриваемые геометрические фигуры могут быть выстроены самыми разнообразными способами — они могут быть незамкнутыми и замкнутыми, пересекающимися и непересекающимися.

Замкнутая ломаная соответствует определенной геометрической фигуре — многоугольнику.

Если отрезки одной такой фигуры имеют точки пересечения друг с другом — эта линия называется самопересекающейся.

Всего существует 4 типа подобных линий по своей структуре:

Разновидностью такой геометрической фигуры может считаться зигзаг, у которого последовательные отрезки образуют прямой угол и параллельны друг другу через один. Зигзагами широко пользуются в обиходе — в портновском мастерстве, декоративном искусстве, оформлении предметов обихода.

Особенности замкнутых линий

Рассмотрим подробнее составляющие части этой геометрической фигуры.

Как уже было сказано выше, эта разновидность линий может иметь самопересечения. Наиболее популярным примером замкнутой линии, имеющей самопересечения, является пятиконечная звезда.

Многоугольник как разновидность замкнутой ломаной

Разновидностью описываемой геометрической фигуры является многоугольник. Точками в многоугольнике являются его вершины, а отрезки называются сторонами.

Примерами многоугольников являются четырехугольники, треугольники, пятиугольники. Рассмотрим подробнее отличительные черты этих фигур.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, расположенных не на одной прямой. Эти точки попарно соединяются между собой отрезками.

Четырехугольником в геометрии называется фигура, которая имеет четыре угла и четыре стороны. Четырехугольники встречаются самые разнообразные — это могут быть трапеции, квадраты, параллелограммы, ромбы.

У трапеции параллельны две стороны, которые называются основаниями. Остальные две стороны не параллельны. У параллелограмма между собой параллельны две противоположные стороны.

Отличительной чертой прямоугольника является то, что все его углы прямые. У квадрата являются равными все четыре стороны. Кроме того, все углы у квадрата являются прямыми.

Если у многоугольника все стороны и углы равны, он называется правильным. Такой многоугольник всегда будет выпуклым.

Источник