Что такое вершина в информатике

Теория Графов. Часть 1 Введение и классификация графов

«Графы являются одним из объединяющих понятий информатики – абстрактное представление, которое описывает организацию транспортных систем, взаимодействие между людьми и телекоммуникационные сети. То, что с помощью одного формального представления можно смоделировать так много различных структур, является источником огромной силы для образованного программиста». Стивен С. Скиена

Введение

Сначала под землей города Москвы ничего не было. Потом была построена первая станция метро, а затем и вторая и третья. Образовалось множество станций метро. На карту было занесено множество точек. Позже между станциями стали прокладывать пути линии. И соединилась станция метро А со станцией метро Б. Все остальные станции также стали соединятся друг с другом и на карте появилось множество линий. В итоге мы имеем Московский метрополитен очень красивый, я там был проверял.

Схема Московского метро

Посмотрите какая красота. У нас имеется множество точек (которые называются вершинами или узлами), а также множество линий (называемые рёбрами или дугами). Обозначим множество вершин буквой V от английского vertex−вершина и множество рёбер обозначим E от английского edge−ребро. Граф в формулах именуют буквой G. Все вершины обязательно должны быть идентифицированы.

Отмечу, что число вершин обозначается буквой n:

Число рёбер обозначается буквой m:

Таким образом граф задается и обозначается парой V,E:

Также определение графа рассказывается в этой статье на Хабре (https://habr.com/ru/post/65367/)

Неформально граф является совокупностью точек и линий. Линии в котором задаются парой вершин, расположенных не важно в каком порядке.

Разберем определение графа подробней. Может ли в G быть пустым множество E? Да без проблем! Такой граф будет называться нулевым, а вершины в нем будут называться изолированными.

Нулевой граф

Только вот множество V вершины пустым быть не может. Ведь множество E рёбра задается парой неупорядоченных вершин множества V. Две вершины образующие ребро, называются концами этого ребра.

Множество E задается парой неупорядоченных вершин множества V.

Пример: Пусть множество V = <1,2,3,4,5>. Тогда множество E =

Граф будет выглядеть следующим образом:

Висячей вершиной называется вершина которая соединена только с одной соседней вершиной. В нашем случаи висячей вершиной будет вершина 5, так как она соединена только с вершиной 1.

Степень записывают, как:

Максимальная степень, то есть какое количество степеней вообще присутствуют в графе обозначаются, как:

Формула суммы степеней для G = V,E выглядит так:

То есть сумма степеней всех вершин v графа равна удвоенному количеству его рёбер E. Считаем количество степеней в нашем примере. От этого никуда не денешься. Я насчитал 12. А теперь считаем, сколько у нас рёбер. Их 6! Умножаем на 2 и получаем 12. Совпадение? Не думаю!

А давайте представим наш граф в другом виде, но с сохранением данных пар. G теперь имеет следующий вид:

Заметьте я не изменил пары между собой. Вершина 4 также соединяется с вершиной 3, а у вершины 1 степень также осталась 4. Так почему граф имеет совершенно другой вид и законно ли это?

Классификации графов

Первым признаком классификации является отсутствие или наличие ориентации у ребер.

Ребро является неориентированным если у него нет понятия начала или конца. То есть оба его конца равноправны. Такой граф называется неориентированным, обыкновенным или неографом.

Неориентированный граф

Ориентированное ребро обозначается стрелкой. И указывает ориентацию от вершины к вершине. То есть данный граф имеет начало и конец. И называется он ориентированным или орграфом.

Ориентированный граф

Также существует граф со смешанными ребрами. Это когда в графе присутствуют, как ориентированные рёбра, так и неориентированные.

Смешанный граф

Вторым признаком является отсутствие или наличие кратных ребер.

Мультиграф

Граф в котором кратных ребер нет, является простым графом. В простом графе мы просто называем пару вершин для идентификации ребра, но в мультиграфе такое уже не сработает, так как одна и та же пара вершин будет указывать на два ребра и не понятно что к чему будет относится. Поэтому если вы повстречаете мультиграф, то вы должны обозначить каждое ребро отдельно.

Заключение

В данной стать я не рассмотрел, понятия смежности и инцидентности, однако я решил их рассмотреть в следующий раз. Также хочу отметить, что более подробно виды графов, я буду рассматривать в следующих статьях. Если у вас есть вопросы, предложения или я где-то допустил ошибки, то прошу написать их в комментариях.

Источник

Что такое вершина в информатике?

Что такое графа в информатике?

Графом называется конечное множество вершин и множество ребер. Каждому ребру сопоставлены две вершины – концы ребра. Бывают различные варианты определения графа.

Какие виды графов бывают информатика?

Что такое дуга в информатике?

Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w ведет от вершины v к вершине w, при этом вершина w смежная с вершиной v. Остовом (неориентированного) связного графа G=(V,E) называется его частичный граф S=(V,T), являющийся деревом.

Что такое взвешенный граф информатика?

Взвешенный граф — граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некое значение (вес ребра). Граф называется неориентированным, если его вершины соединены рёбрами. Цепь — путь по вершинам и рёбрам, включающий любое ребро графа не более одного раза. Цикл — цепь, начальная и конечная вершины которой совпадают.

Для чего нужны графы в информатике?

Графы используют в связи с развитием теории вероятности, математической логики и информационных технологий. Граф — это конечная совокупность вершин, некоторые из которых соединены ребрами, т. е.

Какие виды графов бывают?

Что такое путь в графе?

Путь в графе — последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена со следующим ребром.

Как называется направленная линия со стрелкой?

Линия направленная (со стрелкой) называется дугой.

Как определить взвешенный граф или нет?

Под взвешенным графом понимается граф, у которого рёбрам соответствуют некоторые весовые параметры. То есть каждому ребру (дуге) поставлено в соответствие некое числовое значение, которое называется длина дуги (или вес, стоимость).

Что такой дуга?

Что такое графы и для чего они нужны?

Граф — математическая абстракция реальной системы любой природы, объекты которой обладают парными связями. Граф как математический объект есть совокупность двух множеств — множества самих объектов, называемого множеством вершин и множеством их парных связей, называемой множеством рёбер.

Что такой граф?

Граф, графи́ня (нем. Graf) — королевское должностное лицо в Раннем Средневековье в Западной Европе. Титул возник в IV веке в Римской империи и первоначально присваивался высшим сановникам (например, comes sacrarum largitionum «главный казначей»).

Какой граф является взвешенным?

Взвешенный граф — граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некое значение (вес ребра). См. Размеченный граф. Вполне несвязный граф (пустой граф, нуль-граф) — регулярный граф степени 0, то есть граф без рёбер.

Что такое взвешенный график?

Взвешенный граф — это граф, дугам которого поставлены в соответствие веса, так что дуге (xif xj) сопоставлено некоторое число с (xjy Xj) = называемое длиной (или весом, или стоимостью) дуги (табл. 3.9). Обычный (не взвешенный) граф можно интерпретировать как взвешенный, все ребра которого имеют одинаковый вес 1.

Что такое Графы в программировании?

Граф – совокупность точек, соединенных линиями. Точки называются вершинами, или узлами, а линии – ребрами, или дугами. Степень входа вершины – количество входящих в нее ребер, степень выхода – количество исходящих ребер. Граф, содержащий ребра между всеми парами вершин, является полным.

Источник

Графы: основы теории, алгоритмы поиска

Возможно, вы уже знакомы с понятием спортивного программирования и знаете, что оно помогает развить навыки решения проблем и прокачать технические знания о структурах данных и алгоритмах.

Одной из важнейших составляющих спортивного программирования является изучение алгоритмов. В этой статье мы охватим большое количество алгоритмов, в том числе все алгоритмы на графах, знание которых понадобится вам для успешного решения задач из теории графов на соревнованиях по программированию. Конечно, одних теоретических знаний алгоритмов недостаточно, и вам придётся набить руку в решении практических задач на таких сайтах, как Codeforces. Настоящая же статья представит вам инструменты, необходимые для освоения важных графовых алгоритмов. Итак, приступим.

Что такое граф?

Графы, в понимании программистов, — это не те графики, которые мы изучали в школе. Это не столбиковые диаграммы или гистограммы.

С точки зрения компьютерных наук и дискретной математики, графы — это абстрактный способ представления типов отношений, например дорог, соединяющих города, и других видов сетей. Графы состоят из рёбер и вершин. Вершина — это точка на графе, а ребро — это то, что соединяет две точки на графе.

Пример графа

В условиях задач из теории графов на соревнованиях по программированию обычно говорится о таких вещах, как сети и решётки.

Вот список всех терминов, относящихся к теории графов, которые вам нужно знать:

Представление графов в коде

Для того, чтобы использовать алгоритмы на графах в коде, сначала нам нужно разобраться, как осуществляется представление графов в коде. Весь следующий код будет на C++, так как для спортивного программирования я предпочитаю именно этот язык за его скорость и встроенные функции, позволяющие упростить написание решений задач.

Будут показаны два способа представления графов: матрицы смежности и списки смежности. Больше вам пригодится представление графов в виде списка смежности.

Матрицы смежности

Матрица смежности представляет собой граф в виде двумерной матрицы с размерами V x V, где V — количество вершин графа. Матрицы смежности лучше всего применять, когда V² примерно равно E (числу рёбер), то есть когда граф плотный. Запись a_ij обозначает, сколько рёбер соединяют вершину i и вершину j.

Списки смежности

Другой распространенный способ представления графов в коде — списки смежности. Суть в том, что вы создаёте списки соседей для каждой вершины, а затем помещаете все эти списки в другой список. Их лучше всего применять, когда в графе небольшое количество рёбер, то есть когда граф разрежённый. Если у вас взвешенный граф, т.е. каждое ребро графа имеет какой-то вес, то в списке будут содержаться пары для рёбер (сосед, вес).

Поиск в глубину

Теперь, когда мы научились представлять графы в коде, можем приступить к изучению некоторых алгоритмов на графах! Начнём с поиска в глубину (DFS) и завершим поиском в ширину (BFS). Чтобы не загромождать статью, алгоритмы поиска пути не будут здесь рассматриваться (интересующиеся могут ознакомиться с алгоритмом поиска кратчайшего пути Беллмана-Форда).

Поиск в глубину — это один из базовых алгоритмов на графах. Он применяется для поиска расстояния от одной вершины до других вершин в графе. Это алгоритм обхода.

Поиск в глубину помечает каждую вершину в графе одной из двух меток: посещённая или не посещённая. Алгоритм помечает каждую вершину как посещённую, если удаётся избежать циклов. Он работает следующим образом:

Поиск в ширину

Поиск в ширину — ещё один алгоритм обхода графов. Вместе с алгоритмом поиска вглубь он составит большую часть увлекательных соревнований по программированию, по крайней мере, тех из них, что относятся к графам.

Поиск в ширину тоже помещает каждую вершину в графе в одну из двух категорий: посещённых или непосещённых. И цель у обоих алгоритмов одна и та же: помечать каждую вершину в графе как посещённую, если удаётся избежать циклов. Вот как работает алгоритм поиска в ширину:

Как видите, алгоритм поиска в ширину очень похож на алгоритм поиска в глубину. Однако вместо того, чтобы спускаться вниз по ветви графа или дерева, как это делает алгоритм поиска в глубину, алгоритм поиска в ширину проходит каждый уровень.

Заключение

Освоив теоретическую часть, касающуюся двух самых важных алгоритмов обхода на графах, вам остаётся только практиковаться, чтобы использовать эти алгоритмы в соревнованиях по программированию. Я бы порекомендовал для начала Codeforces: решайте задачи, помеченные тегами bfs и dfs с рейтингом до 1400. Когда почувствуете, что справляетесь с ними, увеличьте сложность.

Отработка навыков решения алгоритмических задач, особенно алгоритмов на графах, поможет вам побеждать на соревнованиях по программированию и успешно проходить технические собеседования. Вперёд — к успехам!

Источник