Что такое ветвь уравнения

Что такое электрическая схема, ветвь, узел, контур.

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает, как осуществляется соединение элементов в рассматриваемой электрической цепи.

Простым языком электрическая схема это упрощенное изображение электрической цепи.

Для отображение электрических компонентов (конденсаторов, резисторов, микросхем и т. д.) в электрических схемах используются их условно графические обозначения.

Для отображения электрических соединений (дорожек, проводов, соединения между радиоэлементами) применяют простую линию соединяющие два условно графических обозначения. Причём все ненужные изгибы дорожек удаляют.

В состав электрической схемы входят: ветвь и условно графические обозначение электрических элементов так же могут входить контур и узел.

Ветвь – участок цепи состоящий из одного или нескольких элементов вдоль которого ток один и тот же.

Ветви присоединённые к одной паре узлов называются параллельными.

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям называется контуром. На верхнем рисунке, контурами можно считать ABD; BCD; ABC.

Узел – место соединения трёх и более ветвей.

Точки К и Е не являются узлами.

Источник

Что такое ветвь уравнения

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.
Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы А Н путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S 2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

.

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

I=

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Отсюда для первого узла получаем

,

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

— и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

,

откуда, например, для первого контура получаем

,

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

=

причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

Контрольные вопросы и задачи

.

Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера.

Источник

Структурные уравнения электрических цепей.

Структура электрической цепи накладывает ограничения на распределение токов и напряжений на отдельных ее элементах. При расчете цепи информация о структуре отражается в структурных уравнениях, выражающих первый и второй законы Кирхгофа, которые определяют:

1) баланс токов в сечениях цепи — ;

2) баланс напряжений в контурах — .

Входящие в эти уравнения величины суммируются алгебраически — токи ветвей сечения, направления отсчета которых совпадают с ориентацией сечения, положительны, а не совпадающие с ней — отрицательны. Также и напряжения, направление отсчета которых совпадают с направлением обхода контура, берутся со знаком “плюс”, а противоположные ему — “минус”.

Первый закон Кирхгофа часто применяют к сечениям, охватывающим один узел. Он формулируется как равенство нулю всех токов, сходящихся в узле цепи. Второй закон Кирхгофа записывают с заменой напряжений на источниках значениями ЭДС этих источников:

Такая формулировка определяет равенство алгебраической суммы падений напряжения на остальных элементах контура сумме ЭДС источников, действующих в этом контуре. При этом со знаком “плюс” в обеих частях равенства учитывают величины, совпадающие с направлением обхода контура.

Использование уравнений Кирхгофа для расчета цепи требует формирования независимой системы уравнений. Наиболее простой путь заключается в записи уравнений первого закона Кирхгофа для всех узлов цепи, кроме одного (любого). В связной цепи с q узлами он приводит к q – 1 независимому уравнению. Другая возможность состоит в использовании главных сечений, каждое из которых включает лишь одну из ветвей дерева цепи. Так как дерево содержит q – 1 ветвь, система независимых уравнений первого закона Кирхгофа, записанная для главных сечений, включает также q – 1 уравнение. Независимость этих уравнений определяется тем, что в каждом из них содержится один ток, не входящий в другие уравнения — ток ветви дерева.

При записи уравнений второго закона Кирхгофа при выборе независимых контуров в планарной цепи (все ветви которой можно изобразить на плоскости без перекрещиваний) проще всего использовать элементарные ячейки, образованные ветвями цепи. Так, для мостовой цепи, граф которой изображен на рис. 1.8, б, такой путь приводит к контурам и ƒ. В общем случае в качестве независимой системы используются главные контуры, каждый из которых содержит только одну из ветвей связи.

2. Формирование системы уравнений электрической цепи. Законы Кирхгофа.

Система уравнений, позволяющая решать задачу анализа цепи, включает компонентные и структурные уравнения.

Компонентные уравнения выражают соотношения меду токами и напряжениями на отдельных ветвях цепи. Сюда относятся закон Ома и соответствующие соотношения для индуктивностей и емкостей, связи токов и ЭДС управляемых источников с управляемыми величинами.

При описании цепи в качестве ветвей можно рассматривать не только перечисленные идеализированные элементы. Для получения более компактной системы уравнений отдельные двухполюсные фрагменты цепи, включающие несколько элементов, представим как составные ветви. Это целесообразно в том случае, когда распределение токов и напряжений внутри такого фрагмента не представляет интереса.

Компонентные уравнения составных ветвей можно получить суммированием напряжений и токов на участках рассматриваемого фрагмента. Для первых двух составных ветвей (рис. 1, а,б) они имеют одинаковую форму u = Ri – RJ – e или тождественную ей: i = G(u + e) + J (G = 1/R). Составная ветвь (рис. 2.1, в) описывается компонентным уравнением i = (G1 + G2 + G3)u + G1e1 + G2e2 + G3e3.

При изображении графа цепи вся составная ветвь заменяется одной дугой, т. е. информация о ее внутренней структуре в граф не входит.

Из приведенных компонентных уравнений линейных резистивных цепей без управляемых источников, изображенных на рис. 1, следует, что для невырожденных составных ветвей эти уравнения могут быть записаны в общей форме u(i) или i(u):

или

Однако компонентные уравнения ветвей, состоящих из идеальных источников ЭДС и тока, содержат информацию лишь об одной из величин — u или i. Такие ветви называются вырожденными.

Как было указано, независимой является система, составленная по первому закону Кирхгофа для всех узлов цепи, кроме одного, и система контуров — элементарных ячеек планарной цепи для записи уравнений второго закона. В общем случае для получения независимой системы следует выбрать дерево цепи и составить уравнения первого закона для главных сечений выбранного дерева и уравнения второго закона для его главных контуров.

Для цепи с n ветвями и q узлами при отсутствии вырожденных ветвей, состоящих из идеальных источников, система уравнений электрической цепи содержит n компонентных уравнений, q – 1 уравнение первого закона Кирхгофа и n – q + 1 уравнение второго закона. Полученная система таким образом 2n уравнений определяет n неизвестных токов и n напряжений.

3. Узловые уравнения

Недостатком метода расчета, основанного на непосредственном решении уравнений электрической цепи, является необходимость оперировать с большим числом уравнений. Число неизвестных в такой системе легко сократить, исключая с помощью компонентных уравнений либо токи, либо напряжения ветвей, т. е. выбирая в качестве базиса одну из переменных для каждой ветви. Однако и это приводит к необходимости решать систему уравнений, число которых равно числу ветвей.

Часто в виде подобного базиса используют узловые напряжения — напряжения узлов цепи относительно одного узла, принятого в качестве опорного. Для связной цепи с q узлами число таких напряжений равно q – 1. Основой для формирования узловых уравнений являются уравнения первого закона Кирхгофа.

Для вывода узлового уравнения рассмотрим k-й узел цепи (рис. 2), соединенный с узлами 0, 1 – 3 ветвями, содержащими проводимости G = 1/R, источники ЭДС и тока.

При выборе направлений токов, указанных на рис. 2, уравнение первого закона Кирхгофа для k-го узла имеет вид

Выразим токи в ветвях, присоединенных к узлу, через узловые напряжения u₁₀, u₂₀, u₃₀ и проводимости ветвей G:

Подстановка и группировка членов приводят уравнение первого закона к виду

В общем виде узловое уравнение для k-го узла можно записать, используя двойную индексацию проводимостей, принятую для линейных алгебраических систем:

Как следует из рассмотренного примера, коэффициент G_kk — собственная проводимость k-го узла — равен сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к данному узлу. Коэффициент G_km — общая проводимость узлов k и m — представляет взятую со знаком “минус” сумму проводимостей ветвей, соединяющих непосредственно узлы k и m. Правая часть узлового уравнения — узловой ток J_kу — равен алгебраической сумме источников тока, присоединенных к данному узлу. Источники ЭДС e в составных ветвях, включенные последовательно с проводимостями G, учитываются в узловых токах в виде произведения eG рассматриваемой составной ветви (пока предполагается отсутствие ветвей с идеальными источниками ЭДС, для которых G = ¥). Слагаемые узлового тока берутся со знаком “плюс” для источников, направленных к данному узлу, и со знаком “минус” — при противоположном направлении.

Таким образом, для цепи с q узлами имеем q – 1 узловое уравнение с q – 1 неизвестными — линейную алгебраическую систему, общая матричная запись которой имеет вид

где G_у — квадратная матрица узловых проводимостей; u₀ — вектор узловых напряжений; J_у — вектор узловых токов:

Матрица узловых проводимостей пассивной цепи является симметричной — общие проводимости равны друг другу G_mk = G_km по смыслу их определения.

3.1 Формирование узловых уравнений пассивных цепей

При формировании узловых уравнений следует пронумеровать узлы анализируемой цепи. В качестве опорного узла с индексом «0», относительно которого отсчитываются все остальные напряжения, целесообразно принять узел, к которому присоединяется наибольшее число ветвей или заземленный узел цепи.

Принятая на рис. 3 нумерация узлов приводит к следующим выражениям собственных и общих проводимостей узлов:

Полученные выражения подставляем в систему уравнений:

3.2 Формирование узловых уравнений для цепей с идеальными источниками ЭДС

Если к узлу присоединены вырожденные ветви с идеальными источниками ЭДС, обладающими нулевым внутренним сопротивлением, узловое уравнение для такого узла теряет смысл, так как при нулевом сопротивлении проводимость ветви равна бесконечности.

Однако, если один из узлов, к которым подключен независимый идеальный источник ЭДС e (рис. 4, а) выбрать в качестве опорного (0), то значение узлового напряжения второго узла 1 будет известным, так как оно непосредственно определяется величиной источника: u10 = e.

Таким образом, потеря одного из узловых уравнений, составленных по обычным правилам, не препятствует решению, так как соответственно сокращается и число неизвестных узловых напряжений.

Аналогично поступаем и при действии в цепи нескольких идеальных источников, имеющих общие узлы (рис. 4, б). При выборе в качестве общего узла (0) напряжения узлов 1 – 3 определяют величинами ЭДС, подключенных к этим узлам: u10 = – e1; u20 = e2; u30 = e3. Очевидно, что в рассматриваемом случае в качестве опорного узла может быть выбран любой из узлов (1, 2 или 3). При этом напряжения остальных узлов определяют алгебраическим суммированием ЭДС идеальных источников. В результате для расчета цепи методом узловых напряжений получаем систему меньшей размерности.

Другой способ, применяемый при отсутствии общего узла у действующих в цепи идеальных источников ЭДС (рис. 5, а), состоит в переносе одного из идеальных источников (например, e2) через узел 3 и включение его в резистивные ветви G3 и G4 (рис. 5, б).

Действительно, обе цепи, изображенные на рис. рис. 3.5, а,б, эквивалентны друг другу, так как при переносе ЭДС через узел для преобразованной цепи сохраняются все соотношения, вытекающие из второго закона Кирхгофа. После выполненного преобразования для объединенного узла 2 и 3 составляют общее уравнение по обычному правилу формирования узловых уравнений.

Таким образом, наличие идеальных источников ЭДС не только не усложняет применение метода, но и приводит к сокращению числа искомых узловых уравнений.

4 Контурные уравнения

Метод контурных токов использует в качестве базисной системы переменных, через которые выражаются токи и напряжения цепи, контурные токи, замыкающиеся в независимых контурах цепи. При этом соотношения, базирующиеся на уравнениях первого закона Кирхгофа, и компонентные уравнения используют для исключения напряжений из уравнений второго закона Кирхгофа. Это приводит к системе контурных уравнений, неизвестными в которых являются токи, циркулирующие в независимых контурах. Поэтому число неизвестных в системе равно числу независимых контуров цепи. Как и в методе узловых напряжений, описанная процедура исключения при решении задач не выполняется, а контурные уравнения составляются непосредственно. Рассмотрим один из независимых контуров цепи (рис. 6).

Принимая в качестве положительных направлений токов в ветвях указанные на рис. 6, запишем уравнение второго закона Кирхгофа

Считая, что в рассматриваемом и смежных с ним контурах циркулируют контурные токи iк, выразим через них токи в ветвях

Подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, получим контурное уравнение

Коэффициент R₁₁ при контурном токе i_1к называется собственным сопротивлением контура; он образуется суммированием сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Коэффициент уравнения R_km, имеющий различные индексы, — это общее сопротивление контуров k и m, равное сумме сопротивлений общих ветвей обоих контуров. Знак этой суммы определяется относительным направлением контурных токов в общих ветвях. Если оба контурных тока протекают по этим ветвям в одном направлении, то сопротивление R_km имеет знак “плюс”, при противоположном направлении обоих контурных токов — знак “минус”. При отсутствии общих ветвей контуров R_km = 0. Правая часть уравнения — контурная ЭДС e_к — равна алгебраической сумме ЭДС источников в данном контуре. Знаки этих ЭДС определяются правилом их учета в уравнении второго закона Кирхгофа: совпадающие с направлением контурного тока ЭДС берутся со знаком “плюс”, противоположные ему — со знаком “минус”. В матричной форме система контурных уравнений цепи имеет вид:

где R_к — матрица контурных сопротивлений; iк — вектор-столбец контурных токов; e_к — вектор-столбец контурных ЭДС;

Матрица контурных сопротивлений симметричная (R_km = R_mk) и имеет размер p*p (p — число независимых контуров цепи).

Полученная система сходна с системой узловых уравнений: диагональные элементы обеих матриц R_к и G_у формируются по принципу принадлежности к данному узлу или контуру, сходны и правила формирования недиагональных элементов матриц — общих для двух узлов или контуров. Здесь, однако, аналогия не является полной, так как общие проводимости G_km узловой матрицы пассивной цепи всегда имеют знак “минус”, а общие сопротивления контурной матрицы могут иметь различные знаки.

1. Методы эквивалентных преобразований

Метод преобразований основан на последовательном упрощении структуры цепи путем сокращения числа ее узлов и контуров.

Простейшие преобразования включают замену последовательно соединенных ветвей с сопротивлениями R_k одной ветвью с эквивалентным сопротивлением R_э = SR_k и параллельных ветвей с проводимостями G_k эквивалентной ветвью с проводимостью G_э = SG_k.

Преобразования звезды (рис. 7, а) в эквивалентный треугольник (рис. 7, б) и наоборот определяются формулами для сопротивлений

или тождественными формулами для проводимостей

Соотношения для остальных параметров аналогичны приведенным и получаются посредством круговой перестановки индексов 1 – 3.

Последовательное применение преобразований упрощает структуру, и цепь приводится к простейшему виду, содержащему лишь последовательное или параллельное соединение элементов.

При преобразовании ветвей с источниками ЭДС и тока используют взаимные преобразования этих источников), а также перенос идеальных источников ЭДС через узел. Последовательно включенные источники ЭДС e_k алгебраически суммируются: e_э = Se_k, параллельно включенные источники тока могут быть заменены эквивалентным источником J_э = SJ_k. Все перечисленные виды преобразований источников справедливы и для управляемых источников.

При преобразовании цепей с управляемыми источниками иногда целесообразно применять преобразование управляющих величин. Так, если управляющее напряжение и представляет падение напряжения на резисторе с сопротивлением R, то в качестве управляющей величины можно использовать ток резистора i, выражая управляющее напряжение как u = R_i и подставляя эту связь в соотношение для ЭДС или тока управляемого источника. Аналогично можно осуществить обратную замену управляющего тока i, протекающего через резистор с проводимостью G, на управляющее напряжение, используя связь i = G_u, которую подставляют в выражение ЭДС или тока источника.

Однако изменение характера управляющей величины требует более сложных преобразований, если управляющее напряжение определяется как сумма напряжений на различных участках цепи или управляющий ток является током вырожденной ветви с нулевым сопротивлением.

Дата добавления: 2016-04-02 ; просмотров: 1765 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник