Что такое вписанный угол определение

Что такое вписанный угол определение

Центральный угол в окружности — плоский угол с вершиной в его центре.
Градусная мера дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.
Вписанный угол в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности^ стороны пересекают эту окружность.

Доказательство теоремы о вписанном угле приводится в «Началах» Эвклида. То, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, знали вавилоняне еще 4000 лет назад.

Свойства вписанного угла. Радианная мера углов

Свойства вписанного угла:
1. Вписанный угoл равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угoл, опирающийся на диаметр, является прямым.
3. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма равна 180°.

Радианная мера углов
1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. 1 радиан = примерно 57°.
• Угол с вершиной за окружностью (стороны которого пересекают окружность) равен половине разности дуг, лежащих внутри угла.
• Угол,образованный касательной и хордой, с проведенной в точку касания, равен половине дуги, лежащей внутри угла.
• Угол между двумя касательными к окружности, проведенными через одну точку, равен половине разности дуг, ограниченных его сторонами.

Это конспект по теме «Центральный угол. Вписанный угол». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура	Рисунок	Теорема
Вписанный угол

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура	Рисунок	Теорема	Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
Угол, образованный касательной и секущей
Угол, образованный двумя касательными к окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

что и требовалось доказать.

что и требовалось доказать.

что и требовалось доказать

что и требовалось доказать.

Источник

Центральные и вписанные углы

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Источник

Вписанные и центральные углы, их свойства

теория по математике 📈 планиметрия

Вписанный угол

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Свойство вписанного угла №2

Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.

Свойство вписанного угла №2

Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.

Центральный угол

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Свойства центральных углов

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Свойства вписанного и центрального угла

Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

Источник

Что такое вписанный угол

Что такое вписанный угол? Что означает, что вписанный угол опирается на дугу или на хорду?

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Стороны вписанного угла делят окружность на две дуги. Одна дуга лежит внутри вписанного угла, другая — вне его.

Когда говорят, что вписанный угол опирается на дугу, имеется в виду та дуга, которая лежит между сторонами вписанного угла.

Например, ∠ABC — вписанный.

Его вершина — точка B — лежит на окружности.

Стороны — лучи BA и BC — пересекают окружность.

Вписанный угол ABC опирается на дугу AC.

Говорят также, что вписанный угол опирается на хорду. Имеется в виду хорда, которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности.

Например,

вписанный угол ABC опирается на хорду AC.

Если треугольник вписан в окружность, каждый из углов треугольника является вписанным углом.

Например, ∠ABC, ∠BAC, ∠ACB — углы, вписанные в окружность, описанную около треугольника ABC.

Поэтому свойства вписанного угла могут быть использованы в решении задач с вписанными треугольниками и вписанными многоугольниками.

Свойства вписанного угла мы рассмотрим позже.

Источник

• ← Что такое суефа в камень ножницы бумага
• Что такое покер с креветками →

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами

Формула: