Что такое вращающий момент в физике

Момент силы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Сила: что это за величина

В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или тормозит, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.

Она измеряется в Ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.

Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат.

Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.

Плечо силы

Для начала давайте разберемся, что такое плечо силы — оно нам сегодня очень пригодится.

Представьте человека. Совершенно обычного. Если он совершенно обычный, у него точно будут плечи — без них получится уже какой-то инопланетянин. Если мы прочертим прямую вдоль линии плеча, а потом еще одну — вдоль линии руки — мы получим две пересекающиеся прямые. Угол между такими прямыми будет равен 90 градусов, а значит эти линии перпендикулярны.

Как анатомическое плечо перпендикулярно руке, так и в физике плечо перпендикулярно, только уже линии действия силы.

То есть перпендикуляр, проведенный от точки опоры до линии действия силы —это плечо силы.

Попробуйте курсы подготовки к ЕГЭ по физике с опытным преподавателем в онлайн-школе Skysmart!

Рычаг

В каждом дворе есть качели, для которых нужны два качающихся (если в вашем дворе таких нет, посмотрите в соседнем). Большая доска ставится посередине на точку опоры. По сути своей, качели — это рычаг.

Рычаг — простейший механизм, представляющий собой балку, вращающуюся вокруг точки опоры.

Хорошо, теперь давайте найдем плечо этой конструкции. Возьмем правую часть качелей. На качели действует сила тяжести правого качающегося, проведем перпендикуляр от линии действия силы до точки опоры. Получилась, что плечо совпадает с рычагом, разве что рычаг — это вся конструкция, а плечо — половина.

Давайте попробуем опустить качели справа, тогда что получим: рычаг остался тем же самым по длине, но вот сместился на некоторый угол, а вот плечо осталось на том же месте. Если направление действия силы не меняется, как и точка опоры, то перпендикуляр между ними невозможно изменить.

Момент силы

При решении задач на различные силы нам обычно хватало просто сил. Сила действует всегда линейно (ну в худшем случае под углом), поэтому очень удобно пользоваться законами Ньютона, приравнивать разные силы. Это работало с материальными точками, но не будет так просто применяться к телам, у которых есть форма и размер.

Вот мы приложили силу к краю палки, но при этом не можем сказать, что на другом ее конце будут то же самое ускорение и та же самая сила. Для этого мы вводим такое понятие, как момент силы.

Момент силы — это векторное произведение силы на плечо. Для определения физического смысла можно сказать, что момент — это вращательное действие.

Момент силы

M = Fl

M — момент силы [Н*м]
F — сила [Н]
l — плечо [м]

Вернемся к примеру с дверями. Вот мы приложили силу к краю двери — туда, где самый длинный рычаг. Получаем некоторое значение момента силы.

Теперь ту же силу приложим ближе к креплению двери, там, где плечо намного короче. По формуле получим момент меньшей величины.

На себе мы это ощущаем таким образом: нам легче толкать дверь там, где момент больше. То есть, чем больше момент, тем легче идет вращение.

То же самое можно сказать про гаечный ключ. Чтобы закрутить гайку, нужно взяться за ручку дальше гайки.

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения плеча.

Расчет момента силы

Сейчас рассмотрим несколько вариантов того, как момент может рассчитываться. По идее просто нужно умножить силу на плечо, но поскольку мы имеем дело с векторами, все не так просто.

Если сила расположена перпендикулярно оси стержня, мы просто умножаем модуль силы на плечо.

Расстояние между точками A и B — 3 метра.

Момент силы относительно точки A:

Если сила расположена под углом к оси стержня, умножаем проекцию силы на плечо.

Обратите внимание, что такие задания могут встретиться только у учеников не раньше 9 класса!

Момент силы относительно точки B:

Если известно расстояние от точки до линии действия силы, момент рассчитывается как произведение силы на это расстояние (плечо).

Момент силы относительно точки B:

Правило моментов

Вернемся к нашим баранам качелям. Мы умудряемся на них качаться, потому что существует вращательное действие — момент. Силы, с которыми мы действуем на разные стороны этих качелей могут быть разными, но вот моменты должны быть одинаковыми.

Правило моментов говорит о том, что если рычаг не вращается, то сумма моментов сил, поворачивающих рычаг против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке.

Это условие выполняется относительно любой точки.

Правило моментов

M1 + M2 +. + Mn = M’1 + M’2 +. + M’n

M1 + M2 +. + Mn — сумма моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке [Н*м]

Давайте рассмотрим этот закон на примере задач.

Задача 1

К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг.

Стержень расположили на опоре, отстоящей от его левого конца на 0,2 длины стержня. Чему равна масса груза, который надо подвесить к правому концу стержня, чтобы он находился в равновесии?

Решение:

Одним из условий равновесия стержня является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры. Момент, создаваемый левым грузом равен mgL5 он вращает стержень против часовой стрелки. Момент, создаваемый правым грузом:Mg4L5 — он вращает по часовой.

Приравнивая моменты, получаем, что для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой
M = m : 4 = 3 : 4 = 0,75 кг

Ответ: для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой 0,75 кг

Задача 2

Путешественник несёт мешок с вещами на лёгкой палке. Чтобы удержать в равновесии груз весом 80 Н, он прикладывает к концу B палки вертикальную силу 30 Н. OB = 80 см. Чему равно OA?

Решение:

По правилу рычага: FB/FA=|OA|/|OB| где FA и FB — силы, приложенные соответственно к точкам A и B. Выразим длину OA:

Ответ: расстояние ОА равно 30 см

Задача 3

Тело массой 0,2 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). Груз какой массы надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия?

Решение:

По правилу рычага m1g*l1=m2g*l2

Отсюда m2=l1/l2*m1=3/2*0,2 = 0,3 кг

Ответ: Масса груза равна 0,3 кг

Задача 4

На железной дороге для натяжения проводов используется показанная на рисунке система, состоящая из легких блоков и тросов, натягиваемых тяжелым грузом. Чему равна сила натяжения провода?

Решение:

Система на рисунке состоит из трех блоков: двух подвижных и одного неподвижного. Назначение неподвижного блока заключается только в том, что он меняет направление действия силы, однако никакого выигрыша в силе при этом не возникает. Каждый подвижный блок, напротив, дает выигрыш в силе.

Определим силу, с которой натянута первая нить. Груз растягивает ее с силой:
T = mg = 10*10 = 100 Н

Рассмотрим теперь первый подвижный блок. Так как вся система статична, полная сила, действующая на этот блок, должна быть равна нулю. Первая нить тянет его направо с суммарной силой 2T, значит, натяжение второй нити тоже должно быть равно 2T (вот он — выигрыш в силе). Аналогичное рассмотрение для второго подвижного блока показывает, что натяжение провода должно быть равно

Ответ: натяжение провода равно 400 Н

Задача 5 — a.k.a самая сложная задачка

Под действием силы тяжести mg груза и силы F рычаг, представленный на рисунке, находится в равновесии. Вектор силы F перпендикулярен рычагу, груз на плоскость не давит. Расстояния между точками приложения сил и точкой опоры, а также проекции этих расстояний на вертикальную и горизонтальную оси указаны на рисунке.

Если модуль силы F равен 120 Н, то каков модуль силы тяжести, действующей на груз?

Решение:

Одним из условий равновесия рычага является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно опоры рычага. Момент, создаваемый силой F, равен F*5 м и он вращает рычаг по часовой стрелке. Момент, создаваемый грузом относительно этой точки — mg*0,8 м, он вращает против часовой. Приравнивая моменты, получаем выражение для модуля силы тяжести

Ответ: модуль силы тяжести, действующей на груз равен 750 Н

Источник

Учебники

Журнал «Квант»

Общие

§4. Основные законы динамики

4.6 Вращательное движение твердого тела. Момент силы.

Начнем с простейшего случая: пусть материальная точка массы m прикреплена с помощью невесомого жесткого стержня длиной r к неподвижной оси OO’ (рис. 46). Материальная точка может двигаться вокруг оси, оставаясь от нее на постоянном расстоянии, следовательно, ее траектория будет являться окружностью с центром на оси вращения.

Безусловно, движение точки подчиняется уравнению второго закона Ньютона \(

m \vec a = \vec F_0\). Однако, непосредственное применение этого уравнения не оправдано: во-первых, точка обладает одной степенью свободы, поэтому в качестве единственной координаты удобно использовать угол поворота, а не две декартовые координаты; во-вторых, на рассматриваемую систему действуют силы реакции в оси вращения, а непосредственно на материальную точку – сила натяжения стержня. Нахождение этих сил представляет собой отдельную проблему, решение которой излишне для описания вращения. Поэтому имеет смысл получить на основании законов Ньютона специальное уравнение, непосредственно описывающее вращательное движение.

Пусть в некоторый момент времени на материальную точку действует некоторая сила \(

\vec F\), лежащая в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 47). При кинематическом описании криволинейного движения вектор полного ускорения \(

\vec a\) удобно разложить на две составляющих: нормальную \(

\vec a_n\), направленную к оси вращения, и тангенциальную \(

Запишем уравнение второго закона в проекции на тангенциальное направление:

заметим, что сила реакции стержня не входит в это уравнение, так как она направлена вдоль стержня и перпендикулярна выбранной проекции. Изменение угла поворота φ непосредственно определяется угловой скоростью \(

и рассмотрим выражение в его правой части F_τr, имеющего смысл произведения тангенциальной составляющей силы, на расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Это же произведение можно представить несколько иной форме (см. рис. 48)

Запишем еще одно полезное выражения для момента силы. Пусть сила \(

\vec F\) приложена к точке А, декартовые координаты которой равны x,y (рис. 49). Разложим силу \(

\vec F\) на две составляющие \(

\vec F\) относительно оси, проходящей через начало координат, очевидно равен сумме моментов составляющих \(

Аналогично, тому, как нами было введено понятие вектора угловой скорости, можно определить также и понятие вектора момента силы. Модуль этого вектора соответствует данному выше определению, направлен же он перпендикулярно плоскости, содержащей вектор силы и отрезок, соединяющий точку приложения силы с осью вращения. Вектор момента силы также может быть определен как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы

Заметим, что при смещении точки приложения силы вдоль линии ее действия момент силы не изменяется.

Обозначим произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения mr 2 = I (эта величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси). С использованием этих обозначений уравнение (2) приобретает вид, формально совпадающий с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения

Покажем, каким образом вычисляется момент инерции тела. Важно подчеркнуть, момент инерции тела зависит не только от массы, формы и размеров тела, но и от положения и ориентации оси вращения. Формально процедура расчета сводится к разбиению тела на малые части, которые можно считать материальными точками (рис. 51), и суммированию моментов инерций этих материальных точек, которые равны произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения

Для тел простой формы такие суммы давно подсчитаны, поэтому часто достаточно вспомнить (или найти в справочнике) соответствующую формулу для нужного момента инерции. В качестве примера: момент инерции кругового однородного цилиндра массы m и радиуса R для оси вращения совпадающей с осью цилиндра равен \(

Источник

Глава 10. Вращаем объекты: момент силы

Эта и следующая главы посвящены вращательному движению объектов самой разной природы: от космических станций до пращи. Именно такое движение стало причиной того, что наша планета имеет круглую форму. Если вам известны основные свойства прямолинейного движения и законы Ньютона (они подробно описываются в двух первых частях этой книги), то вы сможете быстро овладеть основами вращательного движения. Даже если вы позабыли некоторые сведения из прежних глав, не беда, ведь к ним всегда можно вернуться в случае необходимости. В этой главе представлены основные понятия вращательного движения: угловая скорость угловое ускорение, тангенциальное ускорение, момент силы и т.п. Однако довольно слов, приступим к делу!

Переходим от прямолинейного движения к вращательному

Для такого перехода нужно изменить уравнения, которые использовались ранее для описания прямолинейного движения. В главе 7 уже упоминались некоторые эквиваленты (или аналоги) из мира прямолинейного и вращательного движения.

Вот как выглядят основные формулы прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3:

По аналогии можно легко вывести основные формулы вращательного движения:

Разбираемся с параметрами вращательного движения

В физике движение принято разделять на поступательное и вращательное. При поступательном движении любая прямая, связанная с движущимся объектом, остается параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям. Тангенциальным движением называется часть вращательного движения, происходящего по касательной к окружности вращения, а радиальным (или нормальным) движением — часть вращательного движения, происходящего перпендикулярно (по нормали) к касательной, т.е. вдоль радиуса окружности.

Параметры прямолинейного поступательного и вращательного движений можно связать следующими формулами:

Допустим, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ​ \( \omega \) ​, равной 21,5 \( 21,5\pi \) ​ радиан в секунду. С какой скоростью едет мотоцикл? Чтобы дать ответ на этот вопрос, достаточно воспользоваться простой формулой связи линейной и угловой скорости.

Вычисляем линейную скорость вращательного движения

Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением ​ \( v=r\omega \) ​, которое легко интуитивно понять. При одинаковой угловой скорости, чем дальше материальная точка от центра окружности вращения, тем больше ее линейная скорость.

Из формулы прямолинейного движения

путем подстановки выражения для ​ \( \Delta s \) ​ получим:

Подставляя в нее значения, получим:

Итак, скорость мотоцикла равна 27 м/с или 97 км/ч.

Вычисляем тангенциальное ускорение

Тангенциальным ускорением называется скорость изменения величины линейной скорости вращательного движения. Эта характеристика вращательного движения очень похожа на линейное ускорение прямолинейного движения (см. главу 3). Например, точки на колесе мотоцикла в момент старта имеют нулевую линейную скорость, а спустя некоторое время после разгона ускоряются до некоторой ненулевой линейной скорости. Как определить это тангенциальное ускорение точки колеса? Переформулируем вопрос: как связать линейное ускорение

где ​ \( a \) ​ — это ускорение, ​ \( \Delta v \) ​ — изменение скорости, a ​ \( \Delta t \) ​ — время изменения скорости, с угловым ускорением

где \( \Delta\omega \) — изменение угловой скорости, \( \Delta t \) — время изменения угловой скорости?

Как мы уже знаем, линейная и угловая скорости связаны равенством

Подставим это выражение в предыдущую формулу линейного ускорения:

Поскольку радиус остается постоянным, то его можно вынести за скобки:

Поскольку угловое ускорение ​ \( \alpha=\Delta\omega/\Delta t \) ​, то:

Итак, получаем следующую формулу связи между линейным и угловым ускорением:

Иначе говоря, тангенциальное ускорение равно произведению радиуса на угловое ускорение.

Вычисляем центростремительное ускорение

Центростремительнным ускорением называется ускорение, необходимое для удержания объекта на круговой орбите вращательного движения. Как связаны угловая скорость и центростремительное ускорение? Формула для центростремительного ускорения уже приводилась ранее (см. главу 7):

Теперь, используя известную формулу связи линейной и угловой скорости ​ \( v=r\omega \) ​, получим:

По этой формуле можно определить величину центростремительного ускорения по известной угловой скорости и радиусу. Например, для вычисления центростремительного ускорения Луны, вращающейся вокруг Земли, удобно использовать именно эту формулу.

Луна делает полный оборот вокруг Земли за 28 дней, т.е. за 28 дней Луна проходит ​ \( 2\pi \) ​ радиан. Отсюда получаем угловую скорость Луны:

Чтобы получить значение угловой скорости в привычных единицах, следует преобразовать дни в секунды:

После подстановки этого значения в предыдущую формулу получим:

Средний радиус орбиты Луны равен 3,85·10 8 м. Подставляя эти значения угловой скорости и радиуса в формулу центростремительного ускорения, получим:

Зная это ускорение и массу Луны, которая равна 7,35·10 22 кг, можно определить центростремительную силу, необходимую для удержания Луны на ее орбите:

Используем векторы для изучения вращательного движения

В предыдущих разделах этой главы угловая скорость и угловое ускорение рассматривались как скаляры, т.е. как параметры, характеризующиеся только величиной. Однако эти параметры вращательного движения, на самом деле, являются векторами, т.е. они обладают величиной и направлением (см. главу 4). В этом разделе рассматривается величина и направление некоторых параметров вращательного движения.

Определяем направление угловой скорости

Как нам уже известно, вращающееся колесо мотоцикла имеет не только угловую скорость, но и угловое ускорение. Что можно сказать о направлении вектора угловой скорости? Оно не совпадает с направлением линейной тангенциальной скорости, а… перпендикулярно плоскости колеса!

Эта новость всегда приводит к некоторому замешательству среди новичков: угловая скорость ​ \( \omega \) ​, оказывается, направлена вдоль оси вращающегося колеса (рис. 10.2). Во вращающемся колесе единственной неподвижной точкой является его центр. Поэтому начало вектора угловой скорости принято располагать в центре окружности вращения.

Теперь угловую скорость можно использовать так же, как и остальные векторные характеристики движения. Направление вектора угловой скорости можно найти по правилу правой руки, а величину — по приведенной ранее формуле. То, что вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, часто вызывает некоторые трудности у начинающих, но к этому можно быстро привыкнуть.

Определяем направление углового ускорения

Если вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, то куда направлен вектор углового ускорения в случае замедления или ускорения вращения объекта? Как известно (см. предыдущие разделы), угловое ускорение определяется формулой:

где ​ \( \alpha \) ​ — угловое ускорение, ​ \( \Delta\omega \) ​ — изменение угловой скорости, ​ \( \Delta t \) ​— время изменения угловой скорости.

В векторной форме оно имеет следующий вид:

где ​ \( \mathbf <\alpha>\) ​ — вектор углового ускорения, а ​ \( \Delta\mathbf <\omega>\) ​ — изменение вектора угловой скорости. Отсюда ясно, что направление вектора углового ускорения совпадает с направлением изменения вектора угловой скорости.

Если вектор угловой скорости меняется только по величине, то направление вектора углового ускорения параллельно направлению вектора угловой скорости. Если величина угловой скорости растет, то направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.3.

А если величина угловой скорости падает, то направление вектора углового ускорения противоположно направлению вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.4.

Поднимаем грузы: момент силы

В физике большое значение имеет не только время, но и место приложения силы. Всем когда-либо приходилось пользоваться рычагом для перемещения тяжелых грузов. Чем длиннее рычаг, тем легче сдвинуть груз. На языке физики применение силы с помощью рычага характеризуется понятием момент силы.

Приложение момента силы неразрывно связано с вращательным движением объектов. Если приложить силу к краю карусели, то карусель начнет вращательное движение. Чем дальше точка приложения силы, тем легче раскрутить карусель до заданной угловой скорости (параметры вращательного движения описываются в главе 1 1 ).

В верхней части рис. 10.5 показаны весы-качели с грузом массы ​ \( m_1 \) ​ на одном конце и грузом большей массы ​ \( m_2=2m_1 \) ​ посередине. Чтобы уравновесить весы-качели, нужно сместить груз с большей массой ​ \( m_2 \) ​ к другому концу весов, как показано в нижней части рис. 10.5. Как известно из опыта, размещение груза в точке вращения весов не приводит к уравновешиванию весов. Чтобы уравновесить весы, нужно сдвинуть груз с большей массой \( m_2=2m_1 \) к другому концу весов на расстояние вдвое меньшее, чем расстояние от точки вращения до второго груза с массой ​ \( m_1 \) ​.

Знакомимся с формулой момента силы

Для уравновешивания весов важно не только, какая сила используется, но и где она прикладывается. Расстояние от точки приложения силы до точки вращения называется плечом силы.

Предположим, что нам нужно открыть дверь, схематически показанную на рис. 10.6. Как известно из опыта, дверь практически невозможно открыть, если прилагать силу вблизи петель (см. схему А на рис. 10.6). Однако, если приложить силу посередине двери, то открыть ее будет гораздо проще (см. схему Б на рис. 10.6). Наконец, прилагая силу у противоположного края двери по отношению к расположению петель, ее можно открыть с еще меньшим усилием (см. схему В на рис. 10.6).

На рис. 10.6 расстояние от мест расположения петель до точки приложения силы и есть плечо силы. Моментом силы называется произведение прилагаемой силы ​ \( F \) ​ на плечо силы ​ \( l \) ​:

Момент силы в системе СИ измеряется в Н·м, а в системе СГС — в дин·см (подробнее эти системы единиц измерения описываются в главе 2).

Вернемся к примеру на рис. 10.6, где требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н. В случае А (см. рис. 10.6) плечо силы равно нулю и произведение этого плеча на силу любой величины (включая и силу 200 Н) даст нулевой момент силы. В случае Б (см. рис. 10.6) плечо силы равно половине ширины двери, т.е. плечо силы ​ \( l \) ​ равно 0,5 м и момент силы будет равен:

В случае В (см. рис. 10.6) плечо силы равно ширине двери, т.е. плечо силы \( l \) равно 1 м и момент силы будет равен:

Итак, увеличение вдвое длины плеча при той же силе дает нам такое же увеличение момента силы. До сих пор сила прилагалась перпендикулярно к линии, соединяющей точку приложения силы и точку вращения. А что будет с моментом силы, если дверь будет немного приоткрыта и направление силы уже будет не перпендикулярным?

Разбираемся с направлением приложенной силы и плечом силы

Допустим, что сила приложена не перпендикулярно к поверхности двери, а параллельно, как показано на схеме А на рис. 10.7. Как известно из опыта, таким образом дверь открыть невозможно. Дело в том, что у такой силы нет проекции, которая бы могла вызвать вращательное движение. Точнее говоря, у такой силы нет ненулевого плеча для создания вращательного момента силы.

Размышляем над тем, как создается момент силы

Момент силы из предыдущего примера требуется создавать всегда для открытия двери независимо от того, какую дверь приходится открывать: легкую калитку изгороди или массивную дверь банковского сейфа. Как вычислить необходимый момент силы? Сначала нужно определить плечо сил, а потом умножить его на величину силы.

Однако не всегда все так просто. Посмотрите на схему Б на рис. 10.7. Как видите, сила прилагается под некоторым углом ​ \( \theta \) ​. Как в таком случае определить плечо силы? Если бы угол \( \theta \) был прямым, то мы могли бы воспользоваться уже известно нам формулой:

Однако в данном случае угол \( \theta \) не является прямым.

В таком случае нужно просто помнить следующее правило: плечом силы называется длина перпендикуляра, опущенного из предполагаемой точки вращения на прямую, относительно которой действует сила.

Попробуем применить это правило определения плеча силы для схемы Б на рис. 10.7. Нужно продлить линию, вдоль которой действует сила, а потом опустить на нее перпендикуляр из точки вращения двери. Из полученного прямоугольного треугольника легко определить искомое плечо силы:

Если угол \( \theta \) равен нулю, то никакого момента силы не возникает (см. схему А на рис. 10.7).

Итак, получаем для момента силы для схемы Б на рис. 10.7:

Например, если требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н, приложенной под углом \( \theta \) = 45°, то создаваемый момент этой силы будет равен:

Как видите, этот момент силы 140 Н·м меньше, чем момент силы 200 Н·м, созданный под прямым углом на схеме В на рис. 10.6.

Определяем направление момента силы

Учитывая все приведенные выше сведения о моменте силы, у читателя вполне может возникнуть подозрение, что момент силы обладает направлением. И это действительно так. Момент силы является векторной величиной, направление которой определяется по правилу правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление силы, то вытянутый большой палец укажет направление вектора момента силы.

Уравновешиваем моменты сил

В жизни нам часто приходится сталкиваться с равновесными состояниями. Как равновесное механическое состояние определяется с точки зрения физики? Обычно физики подразумевают под равновесным состоянием объекта то, что он не испытывает никакого ускорения (но может двигаться с постоянной скоростью).

Для поступательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех сил, действующих на объект равна нулю:

Иначе говоря, результирующая действующая сила равна нулю.

Вращательное движение также может быть равновесным, если такое движение происходит без углового ускорения, т.е. с постоянной угловой скоростью.

Для вращательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех моментов сил, действующих на объект, равна нулю:

Как видите, это условие равновесного вращательного движения аналогично условию равновесного поступательного движения. Условия равновесного вращательного движения удобно использовать для определения момента силы, необходимого для уравновешивания неравномерно вращающегося объекта.

Простой пример: вешаем рекламный плакат

Попробуем определить силу, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, показанную на рис. 10.9. Пусть плакат имеет массу 50 кг и висит на шесте 3 м от точки опоры шеста, а массу шеста в данном примере будем считать пренебрежимо малой. Болт находится в 10 см от точки опоры шеста.

Согласно условиям равновесия, сумма всех моментов сил должна быть равна нулю:

где ​ \( \mathbf \) ​ — это момент силы со стороны плаката, а \( \mathbf \) — это момент силы со стороны болта.

Чему равны упомянутые моменты? Момент силы со стороны плаката можно легко определить по формуле:

где ​ \( m \) ​ = 50 кг — это масса плаката, ​ \( \mathbf \) ​ — ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения (силы тяжести), ​ \( m\mathbf \) ​ — сила тяжести плаката, а ​ \( l_п \) ​ = 3 м — это плечо силы тяжести плаката.

Подставляя значения, получим:

Обратите внимание, что здесь перед ускорением свободного падения под действием силы гравитационного притяжения стоит знак “минус”. Это значит, что вектор ускорения свободного падения направлен вниз, т.е. в сторону, противоположную выбранному направлению оси координат.

Момент силы со стороны болта определяется формулой:

где \( \mathbf \) — это искомая сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, а \( l_б \) = 0,1 м — это ее плечо.

Подставляя полученные выражения для моментов сил в формулу:

Отсюда с помощью простых алгебраических преобразований получим искомую силу:

Как видите сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, направлена противоположно вектору ускорения свободного падения, т.е. вверх.

Подставляя значения, получим искомый ответ:

Более сложный пример: учитываем силу трения при расчете равновесия

Рассмотрим теперь другую более сложную задачу, в которой для расчета равновесия системы объектов нужно учесть силу трения. Предположим, что работник магазина решил использовать переносную лестницу для монтажа рекламного плаката, как схематически показано на рис. 10.10.

Пусть лестница длиной ​ \( l_л \) ​ = 4 м стоит под углом ​ \( \theta \) ​ = 45° к поверхности тротуара, работник имеет массу ​ \( m_р \) ​ = 45 кг и находится на ней на расстоянии \( l_р \) = 3 м от нижнего конца лестницы, лестница имеет массу \(m_л \) = 20 кг, а коэффициент трения покоя между поверхностью тротуара и концами лестницы равен ​ \( \mu_п \) ​ = 0,7. Вопрос: будет ли такая система объектов находиться в состоянии равновесия? Попросту говоря, достаточной ли будет сила трения, чтобы лестница вместе с рабочим не соскользнула и упала?

Итак, для ответа на этот вопрос нам нужно учесть следующие силы, действующие на лестницу:

Согласно условиям равновесного поступательного движения, сумма всех сил, действующих на лестницу, должна быть равна нулю:

Перефразируя поставленный выше вопрос о достаточности силы трения, получим: выполняется ли условие

Согласно условиям равновесного вращательного движения, также необходимо равенство нулю всех моментов сил, действующих на лестницу:

Пусть предполагаемой точкой вращения является нижний конец лестницы, тогда должна быть равна нулю сумма моментов сил, создаваемых весом рабочего ​ \( \mathbf \) ​, весом лестницы \( \mathbf \) и нормальной силой со стороны стены \( \mathbf \) :

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными сил \( \mathbf \) и \( \mathbf \) :

Зададимся вопросом: соблюдается ли условие

Из системы двух уравнений получим:

Итак, остается выяснить, соблюдается ли условие:

После подстановки значений получим:

Поскольку ​ \( \mu_т \) ​ = 0,7, то упомянутое условие соблюдается, и лестница с рабочим не упадет.

Источник