Что такое выпуклые пятиугольники
Пятиугольник
Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.
Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.
Если провести в пентагоне диагонали, то он разобьётся на [1] :
При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями, то получится два «золотых» ромба (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°). Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета (был назван плитками Пенроуза).
См. также
Примечания
Планигон
Полезное
Смотреть что такое «Пятиугольник» в других словарях:
ПЯТИУГОЛЬНИК — ПЯТИУГОЛЬНИК, пятисторонняя фигура на плоскости. Сумма его внутренних УГЛОВ равна 540°. Пятиугольник, у которого все стороны и все внутренние углы равны (каждый угол равен 108°) называется правильным … Научно-технический энциклопедический словарь
ПЯТИУГОЛЬНИК — ПЯТИУГОЛЬНИК, а, муж. Геометрическая фигура, ограниченная пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также всякий предмет такой формы. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
пятиугольник — пентагон Словарь русских синонимов. пятиугольник сущ., кол во синонимов: 2 • многоугольник (12) • … Словарь синонимов
ПЯТИУГОЛЬНИК — ПЯТИУГОЛЬНИК, пятиугольника, муж. (мат.). Многоугольник с пятью углами. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
пятиугольник — (5 угольник) … Орфографический словарь-справочник
пятиугольник — ПЯТИУГОЛЬНИК1, а, м Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов. Корпус здания был выстроен пятиугольником. Профессор играючи начертил мелом на доске правильный… … Толковый словарь русских существительных
Пятиугольник — м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, образующей пять углов. 2. Пространство или предмет такой формы. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
пятиугольник — пятиугольник, пятиугольники, пятиугольника, пятиугольников, пятиугольнику, пятиугольникам, пятиугольник, пятиугольники, пятиугольником, пятиугольниками, пятиугольнике, пятиугольниках (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А.… … Формы слов
пятиугольник — пятиуг ольник, а … Русский орфографический словарь
Правильный выпуклый пятиугольник
| Правильный выпуклый пятиугольник | |
 Правильный выпуклый пятиугольник (черный), его описанный круг (серый), сегменты, соединяющие его центр с его вершинами (серым), и его замечательные углы: внутренний угол (черный), внешний угол (серый). | |
| Тип | Правильный выпуклый многоугольник |
|---|---|
| Символ Шлефли | |
| Диаграмма Кокстера-Дынкина |    |
| Группа симметрии | Двугранный (D 10 ) |
| Внутренний угол | 108 ° |
| Характеристики | Сборный |
| редактировать | |
Резюме
Общий
Характеристики
Они не зависят от размера пятиугольника.
Размеры в зависимости от стороны
034> 
φ знак равно 2 потому что π 5 <\ displaystyle \ varphi = 2 \ cos <\ pi \ over 5>>
Некоторые характеристики правильного выпуклого пятиугольника со стороной a :
a = \ приблизительно 0,851
a \ приблизительно 1,618
a \ приблизительно 0,951
a \ приблизительно 0,951
а>
Размеры как функция радиуса описанной окружности
R \ приблизительно 1,176
R \ приблизительно 1,902
R \ приблизительно 1,118
R \ приблизительно 0,691
R>
Использует
Мощение
Два правильных пятиугольника и выпуклый десятиугольник, пересекающиеся в одной вершине; такая конфигурация не позволяет проложить план.
В гиперболической геометрии можно равномерно вымостить плоскость правильными пятиугольниками, заставив по крайней мере 4 пятиугольника пересекаться вокруг каждой вершины.
Равномерное мощение гиперболической плоскости пятиугольниками, по 4 пересечения в каждой вершине.
Гиперболическая плитка с 5 пятиугольниками вокруг каждой вершины.
Гиперболическая мостовая с 6-ю пятиугольниками вокруг каждой вершины.
Многогранники
Среди многогранников, состоящих из правильных выпуклых пятиугольников, и не исчерпывающе:
Пятиугольник, виды, свойства и формулы
Пятиугольник, виды, свойства и формулы.
Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.
Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:
Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.
Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).
Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый пятиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.
Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник
Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.
Правильный многоугольник:
Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.
Рис. 3. Правильный пятиугольник
Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.
Свойства правильного пятиугольника:
1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.
2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.
Рис. 4. Правильный пятиугольник
3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.
Рис. 5. Правильный пятиугольник
5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.
Рис. 6. Правильный пятиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр пятиугольника O.
Рис. 7. Правильный пятиугольник
7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
Рис. 8. Правильный пятиугольник
8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
Рис. 9. Правильный пятиугольник
Построение правильного пятиугольника:
Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:
1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
Формулы правильного пятиугольника:
Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.
Формулы площади правильного пятиугольника:
Формулы высоты правильного пятиугольника:
Формулы стороны правильного пятиугольника:
Формулы диагонали правильного пятиугольника:
Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:
Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:
Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:
Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.
Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.
Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.
Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.
Геометрия многоугольника: пятиугольники, шестиугольники и додекагоны
Двумерные правильные многоугольники везде
Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают в себя знакомый треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало.
В геометрии многоугольник – это любая двумерная форма, которая удовлетворяет следующим условиям:
Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются полигонами, потому что они трехмерны. Круги не являются полигонами, потому что они не содержат прямых линий.
Специальный вид многоугольника может иметь углы, которые не все равны. В этом случае он называется неправильным многоугольником.
О полигонах
Название многоугольник происходит от двух греческих слов:
Формы, которые являются полигонами
Как называются полигоны
Названия отдельных многоугольников получаются из числа сторон или углов, которыми обладает форма. Полигоны имеют одинаковое количество сторон и углов.
Общим названием для большинства полигонов является греческий префикс «сторон», прикрепленный к греческому слову «угол» (gon).
Примеры этого для пяти- и шестигранных правильных многоугольников:
Есть исключения из этой схемы именования. В частности, со словами, которые чаще всего используются для некоторых полигонов:
N-угольники
Однако в математике пятиугольники иногда удобнее называть n-гонами :
В математике н-гоны и их греческие аналоги взаимозаменяемы.
Предел полигона
Теоретически, нет ограничения на количество сторон, которые может иметь многоугольник.
По мере того, как размер внутренних углов многоугольника увеличивается, а длина его сторон становится короче, многоугольник приближается к кругу, но никогда не достигает его.
Классификация полигонов
Регулярные и неправильные полигоны
Полигоны классифицируются на основании того, равны ли все углы или стороны.
Выпуклые против вогнутых полигонов
Второй способ классификации полигонов – по размеру их внутренних углов.
Простые и сложные полигоны
Еще один способ классификации полигонов – это то, как линии, образующие многоугольник, пересекаются.
Названия сложных многоугольников иногда отличаются от названий простых многоугольников с одинаковым числом сторон.
Правило суммы внутренних углов
Как правило, каждый раз, когда сторона добавляется в многоугольник, например:
еще 180 ° добавляется к сумме внутренних углов.
Это правило можно записать в виде формулы:
(n – 2) × 180 °
где n равно числу сторон многоугольника.
Таким образом, сумма внутренних углов для шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:
(6 – 2) × 180 ° = 720 °
Сколько треугольников в этом многоугольнике?
Приведенная выше формула внутреннего угла получается путем деления многоугольника на треугольники, и это число можно найти с помощью вычисления:
n – 2
В этой формуле n равно числу сторон многоугольника.
Шестиугольник (шесть сторон) можно разделить на четыре треугольника (6 – 2) и додекагон на 10 треугольников (12 – 2).
Размер угла для правильных многоугольников
Для правильных многоугольников, у которых все углы одинакового размера, а стороны одинаковой длины, размер каждого угла в многоугольнике можно рассчитать путем деления общего размера углов (в градусах) на общее количество сторон.
Для правильного шестигранного шестигранника каждый угол равен:
720 ° ÷ 6 = 120 °
Некоторые известные полигоны
Фермы
Фермы часто имеют треугольную форму. В зависимости от ширины и уклона крыши ферма может включать равносторонние или равнобедренные треугольники. Из-за их большой прочности, треугольники используются в строительстве мостов и велосипедных рам, и видны в Эйфелевой башне.
Пентагон
Пентагон – штаб-квартира Министерства обороны США – берет свое название от его формы. Здание представляет собой пятисторонний, правильный пятиугольник.
Главная пластина
Другой известный пятисторонний правильный пятиугольник – домашняя тарелка на бейсбольном алмазе.
Поддельный Пентагон
Гигантский торговый центр недалеко от Шанхая, Китай, построен в форме правильного пятиугольника и его иногда называют поддельным пятиугольником.
Снежинки
Каждая снежинка начинается с шестиугольника, но температура и уровень влажности добавляют ветви и усики, так что каждая из них выглядит по-разному.
Пчелы и осы
Естественные шестиугольники также включают ульи, где каждая клетка в соте, которую пчелы строят для содержания меда, является шестиугольной. Гнезда бумажных ос также содержат гексагональные клетки, в которых они растут.
Тротуар гиганта
Шестиугольники также найдены на мощёной дорожке Гиганта, расположенной на северо-востоке Ирландии. Это естественная горная порода, состоящая из около 40000 взаимосвязанных базальтовых колонн, которые были созданы в виде лавы из-за медленно остывающего древнего вулканического извержения.
Восьмиугольник
Восьмиугольник – имя, данное кольцу или клетке, используемому в боях Ultimate Fighting Championship (UFC) – берет свое название от своей формы. Это восьмигранный правильный восьмиугольник.
Стоп Знаки
Стоп знак – один из самых знакомых дорожных знаков – еще один восьмигранный правильный восьмиугольник. Хотя цвет, формулировка или символы на знаке могут различаться, восьмиугольная форма знака остановки используется во многих странах мира.
Выпуклый многоугольник
Что такое выпуклый многоугольник? В чём отличие выпуклого многоугольника от многоугольника, который не является выпуклым?
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, лежащий в одной полуплоскости от каждой прямой, содержащей его сторону.
То есть ни одна из прямых, проходящих через две соседние вершины выпуклого многоугольника, не разрезает этот многоугольник на две части.
1) ABCDEF — выпуклый шестиугольник, так как он лежит в одной полуплоскости относительно каждой из прямых AB, BC, CD, DE и EF.
2) MNKFEL — не выпуклый шестиугольник,
Он не лежит в одной полуплоскости относительно прямых KF и FE.
Не выпуклый многоугольник можно разбить на конечное число выпуклых многоугольников. Поэтому в курсе геометрии средней школы изучают только выпуклые многоугольники.
Важнейшие виды выпуклых многоугольников