Что такое выпуклый многоугольник 8 класс определение

Какой многоугольник называется выпуклым

Что такое выпуклый многогольник

Выпуклым называют многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящий через две его соседние вершины.

Или же другой вариант определения:

Выпуклым называют многоугольник, в котором соблюдается следующее условие: если выбрать две произвольных точки, лежащих внутри фигуры, и соединить их отрезком, то все точки этого отрезка так же будут лежать внутри многоугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Примеры

Многоугольник \(М_1\) — выпуклый, а \(М_2\) — не выпуклый.

Сумма углов выпуклого многоугольника

\(A_1A_2A_3. A_n\) — выпуклый многоугольник. Найдем сумму его углов:

\(\angle A_nA_1A_2,\;\angle A_1A_2A_3,\;\angle A_A_nA_1,\;. \)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

\(\angle OAD\) — внешний угол многоугольника ABCDE при вершине А. (смежный с \(\angle BAE\) )

\(180^\circ-A_1+180^\circ-A_2+. +180^\circ-A_n=n\cdot180^\circ-(A_1+A_2+. +A_n)=n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=n\cdot180^\circ-n\cdot180^\circ+2\cdot180^\circ=360^\circ\)

Источник

8 класс. Геометрия. Многоугольники.

8 класс. Геометрия. Многоугольники.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Мно­го­уголь­ни­ки

1. Понятие «многоугольник»

В курсе гео­мет­рии мы изу­ча­ем свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур и уже рас­смот­ре­ли про­стей­шие из них: тре­уголь­ни­ки и окруж­но­сти. При этом мы об­суж­да­ли и кон­крет­ные част­ные слу­чаи этих фигур, такие как пря­мо­уголь­ные, рав­но­бед­рен­ные и пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Те­перь при­шло время по­го­во­рить о более общих и слож­ных фи­гу­рах – мно­го­уголь­ни­ках.

С част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков мы уже зна­ко­мы – это тре­уголь­ник (см. Рис. 1).

В самом на­зва­нии уже под­чер­ки­ва­ет­ся, что это фи­гу­ра, у ко­то­рой три угла. Сле­до­ва­тель­но, в мно­го­уголь­ни­ке их может быть много, т.е. боль­ше, чем три. На­при­мер, изоб­ра­зим пя­ти­уголь­ник (см. Рис. 2), т.е. фи­гу­ру с пятью уг­ла­ми.

Рис. 2. Пя­ти­уголь­ник. Вы­пук­лый мно­го­уголь­ник

Опре­де­ле­ние.Мно­го­уголь­ник – фи­гу­ра, со­сто­я­щая из несколь­ких точек (боль­ше двух) и со­от­вет­ству­ю­ще­го ко­ли­че­ства от­рез­ков, ко­то­рые их по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ют. Эти точки на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка, а от­рез­ки – сто­ро­на­ми. При этом ни­ка­кие две смеж­ные сто­ро­ны не лежат на одной пря­мой и ни­ка­кие две несмеж­ные сто­ро­ны не пе­ре­се­ка­ют­ся.

Опре­де­ле­ние.Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник – это вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны и углы равны.

Любой мно­го­уголь­ник раз­де­ля­ет плос­кость на две об­ла­сти: внут­рен­нюю и внеш­нюю. Внут­рен­нюю об­ласть также от­но­сят кмно­го­уголь­ни­ку.

Иными сло­ва­ми, на­при­мер, когда го­во­рят о пя­ти­уголь­ни­ке , имеют в виду и всю его внут­рен­нюю об­ласть, и гра­ни­цу. А ко внут­рен­ней об­ла­сти от­но­сят­ся и все точки, ко­то­рые лежат внут­ри мно­го­уголь­ни­ка, т.е. точка тоже от­но­сит­ся к пя­ти­уголь­ни­ку (см. Рис. 2).

Мно­го­уголь­ни­ки еще ино­гда на­зы­ва­ют n-уголь­ни­ка­ми, чтобы под­черк­нуть, что рас­смат­ри­ва­ет­ся общий слу­чай на­ли­чия ка­ко­го-то неиз­вест­но­го ко­ли­че­ства углов (n штук).

Опре­де­ле­ние. Пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка – сумма длин сто­рон мно­го­уголь­ни­ка.

Те­перь надо по­зна­ко­мить­ся с ви­да­ми мно­го­уголь­ни­ков. Они де­лят­ся на вы­пук­лые и невы­пук­лые. На­при­мер, мно­го­уголь­ник, изоб­ра­жен­ный на Рис. 2, яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, а на Рис. 3 невы­пук­лым.

Рис. 3. Невы­пук­лый мно­го­уголь­ник

2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Опре­де­ле­ние 1. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при про­ве­де­нии пря­мой через любую из его сто­рон весь мно­го­уголь­ник лежит толь­ко по одну сто­ро­ну от этой пря­мой. Невы­пук­лы­ми яв­ля­ют­ся все осталь­ные мно­го­уголь­ни­ки.

Легко пред­ста­вить, что при про­дле­нии любой сто­ро­ны пя­ти­уголь­ни­ка на Рис. 2 он весь ока­жет­ся по одну сто­ро­ну от этой пря­мой, т.е. он вы­пук­лый. А вот при про­ве­де­нии пря­мой через в че­ты­рех­уголь­ни­ке на Рис. 3 мы уже видим, что она раз­де­ля­ет его на две части, т.е. он невы­пук­лый.

Но су­ще­ству­ет и дру­гое опре­де­ле­ние вы­пук­ло­сти мно­го­уголь­ни­ка.

Опре­де­ле­ние 2. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при вы­бо­ре любых двух его внут­рен­них точек и при со­еди­не­нии их от­рез­ком все точки от­рез­ка яв­ля­ют­ся также внут­рен­ни­ми точ­ка­ми мно­го­уголь­ни­ка.

Де­мон­стра­цию ис­поль­зо­ва­ния этого опре­де­ле­ния можно уви­деть на при­ме­ре по­стро­е­ния от­рез­ков на Рис. 2 и 3.

Опре­де­ле­ние. Диа­го­на­лью мно­го­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся любой от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий две не со­сед­ние его вер­ши­ны.

3. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника

Для опи­са­ния свойств мно­го­уголь­ни­ков су­ще­ству­ют две важ­ней­шие тео­ре­мы об их углах: тео­ре­ма о сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка и тео­ре­ма о сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка. Рас­смот­рим их.

Тео­ре­ма. О сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон).

До­ка­за­тель­ство 1. Изоб­ра­зим на Рис. 4 вы­пук­лый n-уголь­ник.

Рис. 4. Вы­пук­лый n-уголь­ник

Из вер­ши­ны про­ве­дем все воз­мож­ные диа­го­на­ли. Они делят n-уголь­ник на тре­уголь­ни­ка, т.к. каж­дая из сто­рон мно­го­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет тре­уголь­ник, кроме сто­рон, при­ле­жа­щих к вер­шине . Легко ви­деть по ри­сун­ку, что сумма углов всех этих тре­уголь­ни­ков как раз будет равна сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка. По­сколь­ку сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка – , то сумма внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­тель­ство 2. Воз­мож­но и дру­гое до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы. Изоб­ра­зим ана­ло­гич­ный n-уголь­ник на Рис. 5 и со­еди­ним любую его внут­рен­нюю точку со всеми вер­ши­на­ми.

Мы по­лу­чи­ли раз­би­е­ние n-уголь­ни­ка на n тре­уголь­ни­ков (сколь­ко сто­рон, столь­ко и тре­уголь­ни­ков). Сумма всех их углов равна сумме внут­рен­них углов мно­го­уголь­ни­ка и сумме углов при внут­рен­ней точке, а это угол . Имеем:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

По до­ка­зан­ной тео­ре­ме видно, что сумма углов n-уголь­ни­ка за­ви­сит от ко­ли­че­ства его сто­рон (от n). На­при­мер, в тре­уголь­ни­ке , а сумма углов . В че­ты­рех­уголь­ни­ке , а сумма углов – и т.д.

4. Теорема о сумме внешних углов выпуклого n-угольника

Тео­ре­ма. О сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон), а , …, – внеш­ние углы.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим вы­пук­лый n-уголь­ник на Рис. 6 и обо­зна­чим его внут­рен­ние и внеш­ние углы.

Рис. 6. Вы­пук­лый n-уголь­ник с обо­зна­чен­ны­ми внеш­ни­ми уг­ла­ми

Т.к. внеш­ний угол свя­зан со внут­рен­ним как смеж­ные, то и ана­ло­гич­но для осталь­ных внеш­них углов. Тогда:

.

В ходе пре­об­ра­зо­ва­ний мы вос­поль­зо­ва­лись уже до­ка­зан­ной тео­ре­мой о сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка .

Из до­ка­зан­ной тео­ре­мы сле­ду­ет ин­те­рес­ный факт, что сумма внеш­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равна от ко­ли­че­ства его углов (сто­рон). Кста­ти, в от­ли­чие от суммы внут­рен­них углов.

Далее мы более по­дроб­но будем ра­бо­тать с част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков – че­ты­рех­уголь­ни­ка­ми. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с такой фи­гу­рой, как па­рал­ле­ло­грамм, и об­су­дим его свой­ства.

Источник

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Многоугольник называется выпуклым если:

Определение I — для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём.

Определение II — каждый внутренний угол меньше 180°.

Определение III — все его диагонали полностью лежат внутри него.

Определение IV – он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)∙180°.

Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n-2)∙180°. (Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники).

Теорема: Число диагоналей всякого n-угольника равно .

Задача*: в каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше чем сторон?

р = 25+n
25+n =

Разложим на множители

(n+5)(n-10)=0
n=-5 не удовлетворяет,

так как не существует

n = 10 удовлетворяет
Ответ: Десяти угольник.

Фигуры с равными диагоналями.*

Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

Две несмежные стороны называются противоположными.

Две не соседние вершины называются противоположными.

1) Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=DC, AD=BC.

2) Противоположные углы параллелограмма равны. ÐA=ÐC, ÐB=ÐD.

3) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD.

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. ÐA+ÐD=180°, ÐA+ÐB=180°, ÐB+ÐC=180°, ÐD+ÐC=180°.

5) Сумма всех углов равна 360°. ÐA+ÐB+ÐC+ÐD=360°.

6)* Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: AC2+BD2=2∙(AB2+AD2).

Задача 1*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна AC=9 см, а стороны AD=7 см и AB=4 см.

Решение: Подставив значения в формулу получим:

BD2=49, следовательно вторая диагональ равна BD=7 см. Ответ: 7 см.

Задача 2*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна BD=10 см, а стороны AD=8 см и AB=2 см.

Решение: Условия задачи не верно, так как сумма двух сторон треугольника всегда больше третей стороны. Ответ: задача не имеет решений (смысла).

Задача 3*: а)Найти сторону параллелограмма, если известно, что длина диагоналей равна BD=6 см, AC=8, а одна сторона AB=5 см. б)Как называется этот параллелограмм.

Задача 4**: Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см, а произведение 32 найдите значение суммы квадратов всех его сторон.

Задача 5**:Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого 6 см и 8 см.

Решение: Докажем, что среди всех параллелограммов с данными длинами диагоналей наибольший периметр имеет ромб.

Действительно, пусть a и b – длины соседних сторон параллелограмма, а и – длины его диагоналей (см. рис. 2). Тогда периметр параллелограмма: P = 2(a + b).

Из равенства , выражающего теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, следует, что у всех параллелограммов с данными диагоналями сумма квадратов сторон есть величина постоянная.

По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным: Û , причем равенство достигается т. и т. т., когда a = b. Значит, параллелограмм с наибольшим периметром является ромбом. Находим сторону этого ромба: =5(см). Ответ: 20 см.

Определение 2: это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Определение 3: это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Свойства прямоугольника: те же свойства, что и у параллелограмма +

1) Диагонали прямоугольника равны.

2)* Квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон.

Задача 1: Меньшая сторона прямоугольника равна 5см, диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.

Задача 2: Меньшая сторона прямоугольника равна 24, диагонали пересекаются под углом 120°. Найдите диагонали и большую сторону прямоугольника.

Задача 3*: Сторона прямоугольника равна 3 см, диагональ 5 см. Найдите другую сторону прямоугольника.

Задача 4*: Сторона прямоугольника равна 6 см, диагональ 10 см. Найдите площадь прямоугольника.

Определение 2: это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Свойства ромба: те же свойства, что и у параллелограмма +

1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).

3)*Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).

Задача 1: Диагонали ромба 6 и 8 см. Найти сторону ромба.

Задача 2: Сторона ромба 10 см, один из углов 60°. Найти маленькую диагональ ромба.

Источник

Урок геометрии на тему «Многоугольники». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение.

Оборудование: компьютер, проектор, экран

Ход урока

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков A₁ A₂; A₂ A₃;…; A_n-1 A_n (рис. 1–3). Точки A₁ и A_n могут быть различными, а могут совпадать. Соседние отрезки не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной, а отрезки, из которых она состоит – звеньями.

— Как вы думаете, на каком рисунке изображена замкнутая ломаная?

— На каких рисунках ломаная простая?

Ломаная называется простой, если ее несоседние звенья не имеют общих точек.

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником.

Любой многоугольник разделяет плоскость на внутреннюю и внешнюю области.

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

— Какие из фигур, изображенных на рисунке, являются многоугольниками?

— Изобразите многоугольники в тетради и отметьте точки во внешней и внутренней областях многоугольника.

2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Выпуклый многоугольник Невыпуклый многоугольник

— Назовите номера выпуклых многоугольников

— Перечертите любой выпуклый многоугольник в тетрадь и обозначьте его вершины

Задание. Начертите выпуклый восьмиугольник и проведите все его диагонали из какой-нибудь вершины. Сколько при этом получилось треугольников? Найдите сумму углов восьмиугольника.

Получилось шесть треугольников, то есть

— Как вы думаете, как вычислить сумму углов выпуклого n-угольника?

—

Задача. Можно ли выпуклый стоугольник разрезать на 97 треугольников?

Решение. — сумма углов стоугольника

— сумма углов треугольника

Ответ: выпуклый стоугольник разрезать на 97 треугольников нельзя.

Этот материал учащиеся осваивают самостоятельно (п. 41 учебника).

4. Если есть время, то можно предложить учащимся выполнить упражнения 364(а); 365 (а; б) учебника.

Домашнее задание. П. 39–41. № 363; 364(б); 365(в)

Источник

Многоугольники

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :

В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E — это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA — стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Периметр многоугольника ABCDE равен:

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

где t — это количество треугольников, а n — количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Источник