Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Считается ли вырожденный треугольник треугольником?
 |
Месяц тому назад в нашей школе проводилась олимпиада (внутришкольная). Среди прочего, на ней предлагалась такая задача:
Верно ли, что из некоторых трёх углов (в градусах) любого выпуклого четырёхугольника можно составить треугольник (в сантиметрах)?
(Имелось в виду, что если, скажем, углы выпуклого четырёхугольника равны a, b, c и d градусов, то можно построить треугольник, стороны которого в сантиметрах являются тремя различными элементами множества 
).
Я начертила красивый дельтоид с углами 50, 50, 100 и 160 градусов, сиречь взяла два равнобедренных треугольника (с углами 100, 40, 40 и 160, 10, 10) и подарила им общую основу.
К моему удивлению, решение. не засчитали, видимо, под предлогом того, что существует треугольник со сторонами 50, 50, 100 (хоть и является вырожденным).
Но ведь для вырожденного треугольника не выполняется теорема Менелая (я об этом уже где-то писала), следовательно треугольником он являться не может.
Помогите, пожалуйста, разобраться.
Заранее благодарна!
| Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики |
|
Последний раз редактировалось Crutoy Pazan 27.05.2011, 12:27, всего редактировалось 1 раз.
|
Я лично стою на другой точке зрения, а именно, что вырожденные треугольники вполне имеют право на существование, хотя в Вашем случае я полностью на Вашей стороне, поскольку разумеется применение вырожденных треугольников имеет (ИМХО) только теоретический характер. Ведь, что такое вырожденный треугольник? По сути дела это три точки лежащие на одной прямой. Кстати и вырожденность может быть двоякого типа, а именно, в одном случае все три точки различны, а в другом случае, две из трех точек совпадают с одним концом отрезка, другим концом которого является третья точка оного.
А вот в качестве примера того, что такие треугольники существенны, вот Вам следующая лемма:
Лемма: Две плоские фигуры 
и 
будут равными фигурами одного и того же направления вращения если между точками этих двух фигур можно установить такое соответствие, при котором любые два треугольника 
и 
(ПУСТЬ ДАЖЕ И ВЫРОЖДЕННЫЕ), вершинами которых являются соответственные точки двух данных фигур, являются равными треугольниками одного и того же направления вращения, как бы при этом ни выбиралась точка 
.
|
|
| Заслуженный участник |
 |
|
|
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
.</p> <p>Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.</p> <p>2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен</p> <p style=)
 коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).</p> <p>По этой же причине B+C = m(H-A).</p> <p>После почленного вычитания этих равенств получаем:</p> <p>и при этом сумма коэффициентов</p> <div style=)
 можно двояко:</p> <p>1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;</p> <p>2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.</p> <p>Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).</p> <p>Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.</p> <p>Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:</p> <p style=)
.</p> <p>Однако, так как DММ1В</p> <p>DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:</p> <p style=)
 для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:</p> <p>Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).</p> <p style=)