Что такое высказывание примеры

2. результат такого действия, произнесённый текст, сформулированная мысль ◆ Приписываемое мне высказывание во всех своих многочисленных является грубейшей фальшивкой.

3. лог. выражающее суждение утвердительное повествовательное предложение, об истинности или ложности которого можно судить ◆ С точки зрения логики, «Сейчас идёт дождь» — высказывание, а «Давай пойдём обедать» — не высказывание.

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: синкретизм — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Ассоциации к слову «высказывание&raquo

Синонимы к слову «высказывание&raquo

Предложения со словом «высказывание&raquo

Цитаты из русской классики со словом «высказывание»

Сочетаемость слова «высказывание&raquo

Каким бывает «высказывание»

Понятия, связанные со словом «высказывание»

Отправить комментарий

Дополнительно

Предложения со словом «высказывание&raquo

Подобные высказывания могут показаться вам сказкой, но, когда вы прочтёте главу 10, вы поймёте, как выпускники курсов настраивают свой мозг на регуляцию организма и ускорение естественного выздоровления.

Утешала я себя известным высказыванием культового французского виноградаря – об этом человеке знают все, кто хотя бы немножко соприкоснулся с виноградарством.

Значит, последнее высказывание словаря не имеет никакого отношения к определению понятия души, но оно им пользуется, заимствуя из первого.

Источник

Высказывания и предикаты. Кванторы

п.1. Высказывания

Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.

Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.

п.2. Предикаты

Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P(«слон» )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P(«стол» )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0

Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
\(\mathrm>\)

Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.

п.3. Кванторы

«для любого…», «для всех…», «любой…»

Единственности и существования

«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»

Существуют натуральные числа, которые делятся на 13

Существуют треугольники, у которых все углы равны

Например, равносторонний треугольник со стороной 1

Любое натуральное число делится на 5

Например x = 6 на 5 не делится

У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны

Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°

Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.

Пример 3. С каким из кванторов предикат x 2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x 2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при \(\mathrm>\), оно выполняется.
Если запишем (∃x!) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: \(\mathrm=2\sqrt<2>>\)
Ответ: квантор существования ∃.

Источник

Основы алгебры логики

Основные понятия и аксиомы алгебры логики. Простые и сложные высказывания.

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний, вызвано это тем, что высказывания являются одним из основных видов носителей информации. С помощью высказываний мы устанавливаем свойства, взаимосвязи между объектами.

Примерами высказываний на естественном языке являются предложения: « Сегодня светит солнце » или « На Красной площади зимой 2007–2008 гг. заливали каток ». Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта. Каждое высказывание несет значение « истина » или « ложь ».

Определение. Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.

Это определение не является математически точным.

Более того, только на первый взгляд оно кажется удовлетворительным. Это определение породило много логических парадоксов.

Причина этого парадокса лежит в структуре построения указанного предложения : оно ссылается на свое собственное значение. С помощью определенных ограничений на допустимые формы высказываний могут быть устранены такие ссылки на себя, и, следовательно, устранены возникающие отсюда парадоксы.

Интересную задачу, содержащую парадокс, придумал знаменитый математик « Известно, что в некотором городе брадобрей бреет всех тех и только тех жителей города, которые не бреются сами. Кто бреет брадобрея? »

Определение. Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Мы можем договориться, что абсурдное по смыслу высказывание: « Крокодилы летают » – является истинным, и с этим значением высказывания будем работать.

Введение таких ограничений дает возможность изучать высказывания алгебраическими методами, т.е. позволяет ввести операции над элементарными высказываниями и с их помощью строить и изучать составные высказывания.

Употребляемые в русском языке связки « и », « или », « не », « если…, то… », « тогда и только тогда, когда … » позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более « сложные » высказывания.

Определение. Сложное высказывание – это высказывание, которое состоит из двух или более простых высказываний, объединенных логическими связками.

В алгебре логики логическая операция полностью задается таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний, входящих в сложное высказывание.

Логические операции и соответствующие им логические связки имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Источник

ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Полезное

Смотреть что такое «ВЫСКАЗЫВАНИЕ» в других словарях:

Высказывание — в логике предложение, которое может быть истинно или ложно. См. также: Высказывания Исчисление высказываний Финансовый словарь Финам. Высказывание Высказывание оформленная в речи законченная мысль, смысл которой зависит от конкретной или… … Финансовый словарь

высказывание — предложение, суждение, заявление; замечание, тавтология, произнесение, говорение, контрадикция, логос, выступление, стэйтмент, выкладывание, изречение, словоизлияние, утверждение, изложение, дискурс, фраза, изливание, рассуждение, сутра,… … Словарь синонимов

ВЫСКАЗЫВАНИЕ — ВЫСКАЗЫВАНИЕ, высказывания, ср. (книжн.). 1. только ед. Действие по гл. высказывать. Высказывание своего мнения. 2. Высказанное суждение, замечание, мнение. Собрать высказывания классиков марксизма о языке. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков.… … Толковый словарь Ушакова

ВЫСКАЗЫВАНИЕ — мысль, выраженная повествовательным предложением и могущая быть истинной или ложной; в языкознании единица речевого общения, оформленная по законам данного языка … Большой Энциклопедический словарь

ВЫСКАЗЫВАНИЕ — ВЫСКАЗЫВАНИЕ, я, ср. 1. см. высказать, ся. 2. Высказанное суждение. Содержательное в. 3. В грамматике: любая интонационно оформленная синтаксическая единица, содержащая сообщение, фраза. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949… … Толковый словарь Ожегова

ВЫСКАЗЫВАНИЕ — ВЫСКАЗЫВАНИЕ. Единица речевого общения, обладающая смысловой целостностью, оформленная определенным актуальным членением в составе речевого акта. В. может совпадать с предложением, но может быть и сообщением, не укладывающимся в схему простого… … Новый словарь методических терминов и понятий (теория и практика обучения языкам)

высказывание — Возможное состояние сущностей, по поводу которого можно утверждать или отрицать, что такое состояние имеет место. [ГОСТ 34.320 96] Тематики базы данных EN proposition … Справочник технического переводчика

Высказывание — Высказывание единица речевого общения. Потребность в выделении высказывания как лингвистического понятия связана с углублением исследования функционирования языковых форм в речи. Высказывание определяется по отношению к понятию предложения.… … Лингвистический энциклопедический словарь

Высказывание — Высказывание: Высказывание (логика) предложение, которое может быть истинно или ложно. Высказывание (лингвистика) предложение в конкретной речевой ситуации. См. также Суждение … Википедия

высказывание — I. ВЫСКАЗЫВАНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ, выливание, выражение, изливание, изъявление ВЫСКАЗЫВАТЬ/ВЫСКАЗАТЬ, выливать/вылить, выражать/выразить, изли вать/излить, книжн. изъявлять/изъявить ВЫСКАЗЫВАТЬСЯ, изливаться ВЫСКАЗЫВАТЬСЯ/ВЫСКАЗАТЬСЯ,… … Словарь-тезаурус синонимов русской речи

Источник

Логика высказываний: теория и применение. Примеры решений задач

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Логика высказываний: определение и применение

Высказываниями принято считать такие предложения (написанные на «словесном» либо математическом языке), о которых можно сказать одно из двух: либо они являются истинными, либо ложными.

С математическими высказываний проще всего: они всегда имеют либо значение «истина», либо значение «ложь». Для высказываний, сделанных на «словесном» языке, понятия «истинности» и «ложности» несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как «Иди домой» и «Идёт ли дождь?», не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается. Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями «истина» и «ложь».

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Логические операции над высказываниями

Итак, высказывания можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь».

Таблица истинности для конъюнкции:

Таблица истинности для дизъюнкции:

Таблица истинности для следования (импликации):

4. Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается

A (можно встретить также употребление не символа

, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A).

A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

Таблица истинности для эквивалентности:

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Для логических операций верны законы алгебры логики, которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:

3) («Сосна» = «Дуб») ИЛИ («Вишня» = «Клён») ;

6) («Глаза даны, чтобы видеть») И («Под третьим этажом находится второй этаж») ;

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) «Пользователь не зарегистрирован»;

2) «Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе»;

3) «Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными».

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) («В минуте 70 секунд») ИЛИ («Работающие часы показывают время») ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ («Жажду можно утолить водой»)) ;

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) «Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия»;

Пример 5. Определите логическое значение выражения

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний.

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения «истина» и «ложь». Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами.

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

1) «нет действительных чисел, которые являются рациональными»;

2) «если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными»;

5) «все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными»;

6) «не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными».

p	q	r					f
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	Л	И
И	Л	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	И	И
Л	И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И

Заметим, что никакой атом не имеет вида

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций «по старшинству»:

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак

— самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая «порядок старшинства». А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака

(при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C) и

(A → B) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно «истина» и «ложь») всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение «истина» при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией.

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение «ложь» при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием.

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	И

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из «истины» следует «ложь». Все значения исходного высказывания равны «истине». Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.

Пример 10. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	Л	Л
И	Л	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И
Л	И	Л	Л	Л	И
Л	Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	Л	И

Как видно ниже, таблица истинности для такой замещающей логической операции идентична таблице истинности для импликации.

И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Пример 11. Перепишите формулу логики высказываний без использования импликации и эквиваленции, пользуясь тождеством и законами де Моргана:

;

.

Заменяем импликацию между двумя парами скобок, отрицая самый левый знак отрицания:

.

Убираем эквиваленцию между p и q и между q и не r :

.

Используя закон де Моргана, немного упрощаем и окончательно получаем:

.

Посылки и выводы. Валидный и не валидный аргумент

Пример валидного аргумента:

То есть, из посылок логически следует вывод.

Пример не валидного аргумента:

То есть, из посылок логически не следует вывод.

Пример 12. Проверьте валидность аргумента, если

Решение. Составляем таблицу истинности:

И	И	Л	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л	И
Л	И	И	И	И	Л
Л	Л	И	И	И	И

Применение логики высказываний в информатике и программировании

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем «ПользовательЗарегистрирован» (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение «истина» при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение («истина» или «ложь») имеет переменная «ПользовательЗарегистрирован». В других случах переменной, например, с именем «ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней», может быть присвоено значение «Истина» до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на «ложь» и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Источник