Что такое высказывание в информатике определение
Высказывания. Логические значения
Понятие высказывания
Высказывание будет истинным, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно. Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание “Число 1 + 2 2 5 = 4 294 967 297 — простое”, принадлежащее Ферма (1601–1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер не доказал, что оно ложно.
Изучением высказываний как математических объектов занимается алгебра логики. Однако обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания “Сумма углов треугольника равна 180 о ” устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.
Приведенное выше определение высказывания не является математически точным. Оно отсылает проблему определения высказывания к проблеме определения истинности или ложности данного языкового образования. Если рассматривать в качестве высказываний любые утвердительные предложения, то это быстро приводит к парадоксам и противоречиям. Например, предложению “Это предложение является ложным” невозможно приписать никакого значения истинности без того, чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит его собственному утверждению. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что предложение на самом деле истинно. Как видно, этому предложению осмысленно нельзя приписать какое-либо значение истинности, следовательно, оно не является высказыванием.
Причина этого парадокса лежит в структуре построения указанного предложения: оно ссылается на свое собственное значение. С помощью определенных ограничений на допустимые формы высказываний могут быть устранены такие ссылки на себя и, следовательно, устранены возникающие отсюда парадоксы.
Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Например, из двух чисел можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства: “5 2 + by + c = 0 также являются свободными.
Однако встречается такое употребление переменных, например, в математике, которое не предполагает и не допускает возможность подстановки вместо переменных конкретных имен объектов (значений). Так, предложение “Не существует действительной переменной z, квадратный корень которой равен –1” содержит переменную z, однако подстановка конкретных значений вместо переменной z лишена какого-либо смысла.
В случае, когда по смыслу выражения, содержащего переменную, подстановка вместо нее конкретных значений невозможна, эта переменная называется связанной. Повествовательное предложение, содержащее свободные переменные, называется высказывательной формой. Например, предложения типа “х
2 Фрейденталь Х. Язык логики. М.: Наука, 1969.
3 Брой М. Информатика. Основополагающее введение: часть I. М.: Диалог–МИФИ, 1996.
Что такое высказывание в информатике определение
Простые и сложные высказывания, логические переменные и логические константы, логическое отрицание, логическое умножение, логическое сложение, таблицы истинности для логических операций
Для описания рассуждений и правил выполнения действий с информацией используют специальный язык, принятый в математической логике. В основе рассуждений содержатся специальные предложения, называемые высказываниями. В высказываниях всегда что-либо утверждается или отрицается об объектах, их свойствах и отношениях между объектами. Высказыванием является любое суждение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Высказываниями могут быть только повествовательные предложения. Вопросительные или побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывание — суждение, сформулированное в виде повествовательного предложения, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, вопросительные предложения «В каком году было первое летописное упоминание о Москве?» и «Что является внешней памятью компьютера?» или побудительное предложение «Соблюдайте правила техники безопасности в компьютерном классе» высказываниями не являются. Повествовательные предложения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1812 г.», «Оперативное запоминающее устройство является внешней памятью компьютера» и «В компьютерном классе не надо соблюдать правила техники безопасности» являются высказываниями, поскольку это суждения, о каждом из которых можно сказать, что оно ложно. Истинными высказываниями будут суждения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1147 г.», «Жесткий магнитный диск является внешней памятью компьютера».
Каждому высказыванию соответствует только одно из двух значений: или «истина», или «ложь», которые являются логическими константами. Истинное значение принято обозначать цифрой 1, а ложное значение — цифрой 0. Высказывания можно обозначать с помощью логических переменных, в качестве которых используются заглавные латинские буквы. Логические переменные могут принимать только одно из двух возможных значений: «истина» или «ложь». Например, высказывание «Информация в компьютере кодируется с помощью двух знаков» можно обозначить логической переменной А, а высказывание «Принтер является устройством хранения информации» можно обозначить логической переменной В. Поскольку первое высказывание соответствует действительности, то А = 1. Такая запись означает, что высказывание А истинно. Так как второе высказывание не соответствует действительности, то В = 0. Такая запись означает, что высказывание в ложно.
Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. До сих пор были приведены примеры простых высказываний, которые обозначались логическими перемены ми. Выстраивая цепочку рассуждений, человек с помощью логических операций объединяет простые высказывания в сложнее’ высказывания. Чтобы узнать значение сложного высказывания нет необходимости вдумываться в его содержание. Достаточно знать значение простых высказываний, составляющих сложное высказывание, и правила выполнения логических операций.
Логическая операция — действие, позволяющее составлять сложное высказывание из простых высказываний.
Все рассуждения человека, а также работа современных технических устройств основываются на типовых действиях с информацией — трех логических операциях: логическом отрицании (инверсии), логическом умножении (конъюнкции) и логическом сложении (дизъюнкции).
Логическое отрицание простого высказывания получают добавлением слов «Неверно, что» в начале простого высказывания.
■ ПРИМЕР 1. Имеется простое высказывание «Крокодилы умеют летать». Результатом логического отрицания будет высказывание «Неверно, что крокодилы умеют летать». Значение исходного высказывания — «ложь», а значение нового — «истина».
■ ПРИМЕР 2. Имеется простое высказывание «Файл должен иметь имя». Результатом логического отрицания будет высказывание «Неверно, что файл должен иметь имя». Значение исходного высказывания — «истина», а значение нового высказывания — «ложь».
Можно заметить, что логическое отрицание высказывания истинно, когда исходное высказывание ложно, и наоборот, логическое отрицание высказывания ложно, когда исходное высказывание истинно.
Логическое отрицание (инверсия) — логическая операция, ставящая в соответствие простому высказыванию новое высказывание, значение которого противоположно значению исходного высказывания.
Обозначим простое высказывание логической переменной А. Тогда логическое отрицание этого высказывания будем обозначать НЕ А. Запишем все возможные значения логической переменной А и соответствующие результаты логического отрицания НЕ А в виде таблицы, которая называется таблицей истинности для логического отрицания (табл. 40).
ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО ОТРИЦАНИЯ
Если/1 = 0, то НЕ А = 1 (см. пример 1).
Если А = 1, то НЕ А = 0 (см. пример 2)
Можно заметить, что в таблице истинности для логического отрицания ноль меняется на единицу, а единица меняется на ноль.
Логическое умножение двух простых высказываний получают объединением этих высказываний с помощью союза и. Разберем на примерах 3—6, что будет являться результатом логического умножения.
■ ПРИМЕР 3. Имеются два простых высказывания. Одно высказывание — «Карлсон живет в подвале». Другое высказывание — «Карлсон лечится мороженым».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале, и Карлсон лечится мороженым». Можно сформулировать новое высказывание более кратко: «Карлсон живет в подвале и лечится мороженым». Оба исходных высказывания ложны. Значение нового сложного высказывания также «ложь».
■ ПРИМЕР 4. Имеются два простых высказывания. Первое высказывание — «Карлсон живет в подвале». Второе высказывание — «Карлсон лечится вареньем».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале и лечится вареньем». Первое исходное высказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания — «ложь».
■ ПРИМЕР 5. Имеются два простых высказывания. Первое высказывание — «Карлсон живет на крыше». Второе высказывание — «Карлсон лечится мороженым».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится мороженым». Первое исходное высказывание истин но, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания «ложь».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится вареньем». Оба исходных высказывания истинны. Зпачение нового сложного высказывания также «истина».
Можно заметить, что логическое умножение двух высказываний истинно только в одном случае — когда оба исходных высказывания истинн ы.
Логическое умножение (конъюнкция) — логическая операция, ставящая в соответствие двум простым высказываниям новое высказывание, значение которого истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ
Учитель информатики
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
§ 1.3. Элементы алгебры логики
Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление
Ключевые слова:
1.3.1. Высказывание
Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами. Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д.
Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.
Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Two plus six is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.
Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.
Относительно предложения «Компьютерная графика — самая интересная тема в курсе школьной информатики» также нельзя однозначно сказать, истинно оно или ложно. Подумайте сами почему.
Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
Например, не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл?».
Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков — математики, физики, химии и т. п.
Примерами высказываний могут служить:
Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:
Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные. Например, предложение «X
1.3.2. Логические операции
Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.
Рассмотрим основные логические операции, определённые над высказываниями. Все они соответствуют связкам, употребляемым в естественном языке.
Конъюнкция
Рассмотрим два высказывания: А = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль», В = «Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике». Очевидно, новое высказывание «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.
Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотренных выше высказываний.
Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:
В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы А и В), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: 00, 01, 10, 11. В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.
Конъюнкцию также называют логическим умножением.
Дизъюнкция. Инверсия
Рассмотрим два высказывания: А = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу», В = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики». Очевидно, новое высказывание «Идея использова ния в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.
Самостоятельно установите истинность или ложность трёх рассмотренных выше высказываний.
Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:
Дизъюнкцию также называют логическим сложением. Подумайте почему.
Инверсия
Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
Инверсия определяется следующей таблицей истинности:
Инверсию также называют логическим отрицанием.
Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, «У меня дома нет компьютера». Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке одно и то же, «Я знаю китайский язык». Отрицанием высказывания «Все юноши 8-х классов — отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши 8-х классов — отличники», другими словами, «Не все юноши 8-х классов — отличники».
Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что …», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».
Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения — выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очерёдности: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Изменить порядок выполнения операций можно с помощью расстановки скобок.
Логические операции при выполнении имеют следующий приоритет: ин версия, конъюнкция, дизъюнкция.
1.3.2. Логические операции
Решение. Изобразим множество всех web-страниц рассматриваемого сектора сети Интернет кругом, внутри которого разместим два круга: одному из них соответствует множество web-страниц, где истинно высказывание А, второму — где истинно высказывание В (рис. 1.3).
Изобразим графически множества web-страниц, для которых истинны выражения и высказывание а) — в) (рис. 1.4).
Построенные схемы помогут нам ответить на вопросы, содержащиеся в задании.
Выражение А ИЛИ В истинно для 7000 web-страниц, а всего страниц 5 000 000. Следовательно, выражение А ИЛИ В ложно для 4 993 000 web-страниц. Иначе говоря, для 4 993 000 web-страниц истинно выражение НЕ (А ИЛИ В).
Чтобы выяснить, для скольких web-страниц истинно высказывание А и одновременно ложно высказывание В, следует из 4800 вычесть 2300. Таким образом, высказывание «На web-странице встречается слово «крейсер” И не встречается слово «линкор»» истинно на 2500 web-страницах.
Самостоятельно запишите логическое выражение, соответствующее рассмотренному выше высказыванию.
На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcoir.edu.ru/) размещён информационный модуль «Высказывание. Простые и сложные высказывания. Основные логические операции». Знакомство с этим ресурсом позволит вам расширить представления по изучаемой теме.
1.3.3. Построение таблиц истинности для логических выражений
Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности следует:
Наборы входных переменных — это целые числа от 0 до 3, представленные в двухразрядном двоичном коде: 00, 01, 10, 11.
Заполненная таблица истинности имеет вид:
1.3.4. Свойства логических операций
Рассмотрим основные свойства логических операций, называемых также законами алгебры логики.
1. Переместительный (коммутативный) закон:
2. Сочетательный (ассоциативный) закон:
При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
3. Распределительный (дистрибутивный) закон:
4. Закон двойного отрицания:
Двойное отрицание исключает отрицание.
5. Закон исключённого третьего:
Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
6. Закон повторения:
7. Законы операций с 0 и 1:
8. Законы общей инверсии:
Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности.
Докажем распределительный закон для логического сложения:
Совпадение значений в столбцах, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона для логического сложения.
Пример 2. Найдём значение логического выражения
Решение. При X = 0 получаем следующее логическое выражение:
Так как логические выражения 0 
Элементы алгебры логики. Решение логических задач
Рассмотрим несколько способов решения логических задач.
Задача 1. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:
Бабушка знала, что один из её внуков, назовём его правдивым, оба раза сказал правду; второй, назовём его шутником, оба раза сказал неправду; третий, назовём его хитрецом, один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто из внуков разбил вазу?
Решение. Пусть К = «Коля разбил вазу», В = «Вася разбил вазу», С — «Серёжа разбил вазу». Для решения задачи можно составить таблицу истинности, в которой представить высказывания каждого мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, то чтобы выяснить, кто именно это сделал, достаточно фрагмента таблицы истинности, содержащего наборы значений входных переменных: 001, 010, 100.
Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строку, содержащую в каком-либо порядке три комбинации значений: 00 (слова шутника), 11 (слова правдивого внука), 01 или 10 (слова хитреца). Такая строка отмечена галочкой. Согласно этой строке, вазу разбил Серёжа, он же оказался хитрецом. Шутником оказался Вася. Имя правдивого внука — Коля.
Задача 2. В соревнованиях по гимнастике участвуют Алла, Валя, Сима и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:
По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все они оказались на разных местах? Решение. Рассмотрим простые высказывания:
Так как в каждом из трёх предположений одно из высказываний истинно, а другое ложно, то можно заключить следующее:
Логическое произведение истинных высказываний будет истинным:
На основании распределительного закона преобразуем левую часть этого выражения:
Высказывание C1 • С2 означает, что Сима заняла и первое, и второе места. Согласно условию задачи, это высказывание ложно. Ложным является и высказывание В2 • С2. Учитывая закон операций с константой 0, запишем:
Дальнейшее преобразование левой части этого равенства и исключение заведомо ложных высказываний дают:
Из последнего равенства следует, что С1 = 1, Д3 = 1, А2 = 1. Это означает, что Сима заняла первое место, Алла — второе, Даша — третье. Следовательно, Валя заняла четвёртое место.
Познакомиться с другими способами решения логических задач, принять участие в интернет-олимпиадах и конкурсах по их решению вы сможете на российской странице международного математического конкурса «Кенгуру» (http://mathkang.ru/).
На сайте http://www.kaser.com/ вы сможете скачать демонстрационную версию очень полезной, развивающей логику и умение рассуждать логической головоломки Шерлок.
Логические элементы
Алгебра логики — раздел математики, играющий важную роль в конструировании автоматических устройств, разработке аппаратных и программных средств информационных и коммуникационных технологий.
Вы уже знаете, что любая информация может быть представлена в дискретной форме — в виде фиксированного набора отдельных значений. Устройства, которые обрабатывают такие значения (сигналы), называются дискретными. Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом.
На рис. 1.5 приведены условные обозначения (схемы) логических элементов, реализующих логическое умножение, логическое сложение и инверсию.
Логический элемент И (конъюнктор) реализует операцию логического умножения (рис. 1.5, а). Единица на выходе этого элемента появится только тогда, когда на всех входах будут единицы.
Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) реализует операцию логического сложения (рис. 1.5, б). Если хотя бы на одном входе будет единица, то на выходе элемента также будет единица.
Логический элемент НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания (рис. 1.5, в). Если на входе элемента 0, то на выходе 1 и наоборот.
Компьютерные устройства, производящие операции над двоичными числами, и ячейки, хранящие данные, представляют собой электронные схемы, состоящие из отдельных логических элементов. Более подробно эти вопросы будут раскрыты в курсе информатики 10-11 классов.
Пример 3. Проанализируем электронную схему, т. е. выясним, какой сигнал должен быть на выходе F при каждом возможном наборе сигналов A и B на входах.
Решение. Все возможные комбинации сигналов А и Б на входах внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную 4 схему.
Таблицу истинности можно построить и по логическому выражению, соответствующему электронной схеме. Последний логический элемент в рассматриваемой схеме — конъюнктор. В него поступают сигналы от входа А и от инвертора. В свою очередь, в инвертор поступает сигнал от входа В. Таким образом, 
Составить более полное представление о логических элементах и электронных схемах вам поможет работа с тренажёром «Логика» (http://kpolyakov.narod.ru/prog/logic.htm).
Элементы алгебры логики. Самое главное
Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
Основные логические операции, определённые над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
Таблицы истинности для основных логических операций:
При вычислении логических выражений сначала выполняются действия в скобках. Приоритет выполнения логических операций:
§ 1.3. Элементы алгебры логики
§ 2.1. Алгоритмы и исполнители