Определение и свойства высоты треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.
Определение высоты треугольника
Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.
Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).
Обычно высота обозначается буквой h (иногда как ha – это означает, что она проведена к стороне a).
Высота в разных видах треугольников
В зависимости от вида фигуры высота может:
Свойства высоты треугольника
Свойство 1
Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).
Свойство 2
При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:
Свойство 3
Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.
Свойство 4
Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.
Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.
Высота треугольника
Всего получено оценок: 78.
Всего получено оценок: 78.
Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.
Определение
Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя отрезками составляют треугольник.
Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, нестандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.
Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Также обозначается высота и в других фигурах.
Как найти высоту треугольника?
Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:
Через теорему Пифагора
Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.
Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.
Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию:
Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4
Высота – это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВD является катетом этого треугольника.
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.
Через площадь треугольника
Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.
Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.
Через тригонометрическую функцию
Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:
Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.
Способы нахождения высоты треугольника: теорема и формула
Определение высоты треугольника
Геометрия, являющаяся разделом математики, изучает структуры в пространстве и на плоскости. Одним из типов таких фигур являются геометрические фигуры. К ним можно отнести квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, треугольник и другие. Из них можно делать более сложные фигуры или оставлять в первоначальном виде.
Треугольником является фигура, относящаяся к классу простых фигур, которая образована тремя точками, находящимися не на одной прямой, и соединенными между собой тремя отрезками.
Треугольники могут быть:
Помимо трех сторон, важными элементами треугольников являются медианы, высоты и биссектрисы.
Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из угла треугольника вниз, на противоположную сторону.
В геометрии высота треугольника обозначается буквой h.
В зависимости от типа треугольника высота может:
Чтобы сделать высоту графически явной и понятной на рисунке, ее нередко выделяют красной линией.
Для того чтобы определить графическое начертание высоты треугольника, необходимо:
Любой треугольник имеет 3 высоты — по числу углов. Их пересечение находится в точке ортоцентра, которая, в зависимости от типа треугольника, может находиться внутри треугольника, снаружи на пересечении продолжений высот или совпадать с вершиной прямого угла.
Все три высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым опущены. Доказательством будет соотношение:
A × H A ÷ B × H B ÷ C × H C = 1 B C ÷ 1 A C ÷ 1 A B
Выглядеть графически это будет так:
Существует множество способов нахождения высоты треугольника в зависимости от имеющихся данных.
Через площадь и длину стороны, к которой опущена высота:
где S — уже известная площадь треугольника,
Через длины всех сторон:
h = 2 p p × a p × b p × c a
где a, b и c — стороны треугольника,
p — его полупериметр.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через длину прилежащей стороны и синус угла:
s i n a — синус угла прилежащей стороны.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через стороны и радиус описанной окружности.
Решать задачи с треугольником и описанной окружностью для нахождения высоты можно следующим образом:
где b, c — стороны разностороннего треугольника, к которым не опущена высота,
R — радиус описанной окружности.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через длины отрезков, образованных на гипотенузе при проведении к ней высоты треугольника:
где C 1 и С 2 — длины отрезков, образованных на гипотенузе, проведенной к ней высотой.
Данная формула подходит только для нахождения высоты прямоугольного треугольника.
Нахождение высоты равнобедренного треугольника через основание и боковые стороны
Равнобедренным треугольником называют треугольник, имеющий одинаковые по длине катеты, которые образуют равные углы с основанием. В таком треугольнике высота будет опускаться ровно в середину основания, образуя с ним прямой угол.
Помимо высоты, проведенная линия будет являться также осью симметрии, биссектрисой вершинного угла и медианой.
Формула для нахождения высоты в этом случае:
b — равные боковые стороны.
Свойства высоты в равностороннем треугольнике
Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.
Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.
Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:
где а — сторона равностороннего треугольника.
Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:
а — сторона правильного равностороннего треугольника.
Нахождение высоты прямоугольного треугольника через его катеты
Прямоугольным считается треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равным 90°. Высота, опущенная из такого угла, падает на гипотенузу треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника, которые пропорциональны по отношению к большому треугольнику и друг к другу.
Важно отметить, что две другие высоты будут совпадать с катетами треугольника.
Найти высоту в прямоугольном треугольнике, можно через два его катета (a и b) и гипотенузу (c).
Причем гипотенуза также легко находится через катеты по теореме Пифагора:
Расчет высоты идет следующим образом:
где a, b и c — вышеупомянутые стороны треугольника.
Высота треугольника
В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
На рисунке BF — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.
Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).
Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника (позднее рассмотрим ее свойства).
AC — высота, проведенная из вершины С к стороне AB.
AB — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
AK — высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А — ортоцентр).
В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.
Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.
AK — высота, проведенная к стороне BC.
BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.
CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:
Элементы треугольника. Высоты
Определение
Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника.
Свойства
1. Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
2. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному
4. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники
Некоторые формулы, связанные с высотой треугольника
где 
— площадь треугольника, 
— длина стороны треугольника, на которую опущена высота
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
