Элемент (математика)
Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).
Содержание
Теории
Существует два основных подхода к понятию множества — наивная и аксиоматическая теория множеств.
«Наивная теория множеств»
Дать определение какому-нибудь понятию — это значит описать это понятие через понятия, определённые ранее. Если число определений в теории конечно, то первое определение должно быть основано на понятиях, которые являются аксиоматическими, то есть изначально неопределёнными. Множество — как раз одно из таких аксиоматических понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой чётко определённый набор объектов (элементов множества). Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, возникающим из-за того, что интуитивное понятие «чётко определённый» на самом деле само не определено чётко. Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий, становится очевидной необходимость её строгой аксиоматизации.
Наивная теория множеств была создана Кантором в конце XIX века.
История определения
До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов.
Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.
Аксиоматическая теория множеств
На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).
Элемент множества
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а∉А(а не принадлежит А).
Некоторые виды множеств
Множество множеств Подмножество Надмножество
Страница 7 №3-7 ГДЗ к учебнику «Математика» 5 класс Дорофеев, Шарыгин, Суворова
Задание № 3. Возьмите кубик и на его поверхности проведите мелом линию так, как нарисовано на рисунке 1. 3. Попробуйте сделать такую же линию из куска проволоки.
Задание № 4. Автомобильная развязка, носит название «бабочка» за внешнее сходство с этим насекомым. А что она представляет собой с точки зрения геометрии? Как здесь решена проблема пересечения автомобильных дорог? Какие еще способы решения этой проблемы вы знаете?
Ответ
Автомобильная развязка − это незамкнутая, самопересекающаяся линия. Проблема пересечения дорог решена здесь постройкой моста (виадука). Также данную проблему можно решить постройкой туннеля.
Задание № 5. На рисунке 1.4. изображена спираль, рассмотрите её. Ответьте на вопрос и выполните задания:
1) В каком направлении раскручивается спираль: по часовой стрелке или против часовой стрелки?
2) Этой спирали соответствует последовательность чисел: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4. Продолжите эту последовательность.
3) Перечертите спираль в тетрадь, добавив еще несколько звеньев.
4) Начертите такую же спираль, раскручивающуюся по часовой стрелке.
Ответ
1) спираль раскручивается против часовой стрелки
2) 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6.
Задание № 6. На рисунке 1. 5. изображен орнамент. Он получается повторением одного и того же базового элемента.
1) Мысленно выделите базовый элемент и изобразите его в тетради.
2) Начертите такой орнамент, повторив базовый элемент 5 раз.
Ответ
Задание № 7. Найдите на карте России область (республику, край), в которой вы живете. Что представляет собой ее граница? Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России? Сколько у вас соседей?
Вспоминаем «Окружающий мир» из 4 класса, выполняем самостоятельно. Если возникнут проблемы, спрашивайте в комментариях к решебнику 7 гуру.
Урок 26 Бесплатно Формулы
Сегодня на уроке мы выясним, что называют формулой и где её применяют.
Разберем правила решения и оформления задач, решаемых с помощью формул.
Рассмотрим примеры таких задач и научимся работать с формулами: выражать неизвестные величины через известные.
Формулы
Математический язык- это формальный, искусственно созданный язык, который состоит из математических знаков, символов, терминов, выражений.
В отличие от естественных языков, этот язык более точный, логичный и краткий.
При переходе с разговорного языка на математический многие утверждения, правила, законы становятся яснее и прозрачнее.
Математика, физика, химия и многие другие науки используют язык математики, который в условной форме позволяет представить информацию наглядно и лаконично, не искажая ее при этом.
Естественными языками легче всего выражать качественные характеристики посредством красноречивых предложений.
Математический язык- это в большей степени количественный язык.
Одним из базовых элементов математического языка являются формулы.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Давайте разберёмся, что означает слово «Формула».
В толковом словаре русского языка Ожегова есть еще одно интересное толкование этого слова: формула- комбинация математических знаков, выражающая какое-нибудь утверждение
Обобщая все выше написанное, можно сказать, что формула- это правило (высказывание), записанное на математическом языке с помощью осмысленной комбинации знаков и символов.
Формулы представляют собой некоторые суждения, которые понятны любому человеку, любой национальности, и неважно каким разговорным языком человек владеет.
В формулу входят переменные. Она устанавливает взаимосвязь между величинами, входящими в нее.
Любые правила, записанные с помощью букв, будут являться примерами формул.
Вам уже известны некоторые математические формулы.
Приведем несколько примеров.
Правило нахождения периметра треугольника: РАВС = a + b + c— формула.
Правило нахождения периметра прямоугольника: Р = 2(a + b)— формула.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решение задач с помощью формул
Нам часто приходится сталкиваться с решением различных задач.
Существуют различные способы и методы решения задач.
Рассмотрим один из них: решение задач с помощью формул.
Процесс решения задач данным способом можно разделить на несколько основных этапов.
Данная последовательность действий не даст ответа на конкретную задачу, но сделает решение ее более понятным и быстрым и позволит решить даже самые непростые задачи.
Рассмотрим общие правила решения задач с помощью формул.
1. Внимательно прочитать, осмыслить и изучить условие задачи.
Следует установить то, что необходимо найти и что известно.
В задачах в основном содержится только существенная информация, т.е. те данные, которые могут быть использованы при их решении.
2. Для лучшего понимания задачи можно ее условия изобразить графически при помощи рисунка, схемы, чертежа и т.д.
С помощью иллюстрации легче понимать и воспринимать информацию.
3. Определить характерные черты задачи.
Следует понять, какого рода задача, чтобы выбрать верный путь ее решения.
Необходимо определить, какими величинами можно описать происходящие процессы, явления, действия, а также важно выяснить, из какой темы будут взяты формулы (если задача сложная, то могут понадобиться несколько формул).
4. Составить план решения задачи.
5. Выразить неизвестную величину через известные величины, т.е. вывести расчетную формулу.
6. Подставить известные числовые значения и произвести вычисления.
7. Оценить размерность (соответствие единиц измерения) величины, полученной в ответе, проверить найденный ответ на наличие вычислительных ошибок.
Чтобы верно и быстро решить задачу, важно не только действовать четко по определенному алгоритму, но и грамотно записывать и оформлять решение этой задачи.
Задачи, решаемые с помощью формул, удобно делить на два блока: «Дано» и «Решение».
В «Дано» обычно с помощью букв или символов записывают заданные величины и величины, которые требуется определить; т.е. кратко обозначают условие задачи.
Можно использовать любые буквы для обозначения заданных и искомых величин, но тогда необходимо делать краткое описание того, какую величину обозначает та или иная буква, выбранная вами.
Однако чаще всего буквенные обозначения величин, если они не указаны в условиях задачи, выбираются в соответствии с принятыми в науке символами.
Многие величины уже имеют специальные обозначения.
Каждая величина имеет единицу измерения.
Сразу в «Дано» переводят единицы измерения в единую систему, так как одна и та же величина должна быть выражена единой единицей измерения.
Иногда в задачах одноименные величины могут быть выражены разными числовыми мерами.
Например, расстояние может быть выражено в одной и той же задаче километрами, метрами и сантиметрами, или время может быть представлено в одном условии задачи в часах, в другом условии этой же задачи в минутах.
В таком случае необходимо выполнить перевод из разных единиц измерения в одну общую, которая будет фигурировать при числовых подсчетах.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чаще всего выбор единиц измерения диктуется установленными международными нормами.
Наиболее широко используемой системой единиц в мире является единая интернациональная система. Называется она сокращенно «Система СИ».
Система СИ принята как основная система единиц в большинстве стран мира.
Страны, которые используют традиционные единицы, ввели коэффициенты и поправки, чтобы связать свои единицы измерения с системой СИ.
СИ создана на основе метрической системы, которая была создана французскими учеными. (с метрической системой мы немного познакомились, рассматривая тему «Отрезок. Длина отрезка.»).
Система СИ определяет семь основных единиц и производные единицы, а также набор приставок.
Системой СИ установлены стандартные сокращенные обозначения единиц.
Что такое множество в математике и как оно обозначается
Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.
Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.
В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.
Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.
Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.
А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:
Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.
Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
Пример: N =
Выделяют три вида множеств:
пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.
Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.
В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.
Множество натуральных чисел
Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.
Множество целых чисел
Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:
Множество рациональных чисел
Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.
Операции над множествами
Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.
Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:
Объединение
Пересечение
Дополнение
С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.
Свойства операций над множествами
Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:
Коммутативность – переместительные законы:
умножения S ∩ D = D ∩ S;
сложения S ∪ D = D ∪ S.
Ассоциативность – сочетательные законы:
умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).
Дистрибутивность – законы распределения:
умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).
если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.
Идемпотентность объединения и пересечения:
О других свойствах операций можно узнать из картинки:
Счетные и несчетные множества
Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.
Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.
Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?
Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m (
) из этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
