Что такое бином и трином в алгебре

Известные объяснения продуктов и упражнения решены

замечательные продукты это алгебраические операции, в которых выражаются умножения многочленов, которые не нужно решать традиционно, но с помощью определенных правил вы можете найти результаты их.

Полиномы умножаются сами по себе, поэтому они могут иметь большое количество членов и переменных. Чтобы сделать процесс короче, используются правила замечательных продуктов, которые позволяют производить умножения без необходимости переходить к терминологии..

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Известные продукты и примеры

Каждый замечательный продукт представляет собой формулу, которая получается в результате факторизации, состоящей из полиномов различных терминов, таких как биномы или триномы, которые называются факторами..

Факторы являются основой власти и имеют показатель степени. Когда множители множатся, показатели должны быть добавлены.

Существует несколько замечательных формул продуктов, некоторые из которых используются в большей степени, чем другие, в зависимости от полиномов, и они следующие:

Биномиальный квадрат

Это умножение бинома само по себе, выраженное в форме силы, где термины складываются или вычитаются:

а. Бином суммы от квадрата: равно квадрату первого слагаемого, плюс удвоенное произведение слагаемых, плюс квадрат второго слагаемого. Это выражается следующим образом:

На следующем рисунке показано, как продукт разрабатывается в соответствии с вышеупомянутым правилом. Результат называется триномом идеального квадрата.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Пример 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

Пример 2

(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4а * 2b) + (2b) 2

(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2

б. Бином от вычитания в квадрате: это же правило применимо к биному суммы, только в этом случае второе слагаемое является отрицательным. Его формула следующая:

Пример 1

Произведение сопряженных биномов

Два бинома сопряжены, когда вторые слагаемые каждого имеют разные знаки, то есть первое слагаемое положительное, а второе отрицательное или наоборот. Решите, подняв каждый квадрат мономии и вычтите. Его формула следующая:

На следующем рисунке показано произведение двух сопряженных биномов, где наблюдается, что результатом является разность квадратов.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Пример 1

Произведение двух биномов с общим термином

Это один из самых сложных и мало используемых замечательных продуктов, потому что это умножение двух биномов, имеющих общий термин. Правило указывает на следующее:

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

(х + 6) * (х + 9) = х 2 + 15x + 54.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Пример 2

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Пример 3

Квадратный полином

В этом случае существует более двух терминов, и для их развития каждый квадрат возводится в квадрат и складывается с двойным умножением одного термина на другой; его формула: (+ B + C) 2 и результатом операции является триномиальный квадрат.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Пример 1

(3x + 2y + 4z) 2 = (3х) 2 + (2y) 2 + (4Z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16Z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Биномиал к кубу

Это замечательный сложный продукт. Чтобы развить его, умножьте бином на его квадрат следующим образом:

а. Для бинома к кубу суммы:

(а + б) 3 = (a + b) * (а + б) 2

(а + б) 3 = (a + b) * (а 2 + 2ab + b 2 )

(а + б) 3 = а 3 + 2-й 2 b + ab 2 + ба 2 + 2ab 2 + б 3

Пример 1

(+ 3) 3 = а 3 + 9 а 2 + 27а + 27.

б. Для бинома к кубу вычитания:

Пример 2

Ведро с триномом

Это развивается, умножая это на его квадрат. Это замечательный продукт, очень обширный, потому что к кубу подняты три условия, плюс три раза каждый член в квадрате, умноженный на каждое из этих терминов, плюс шесть раз произведение трех терминов. Видно лучше:

(а + б + в) 3 = (a + b + c) * (а + б + в) 2

(а + б + в) 3 = (a + b + c) * (а 2 + б 2 + с 2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(а + б + в) 3 = A 3 + б 3 + с 3 + 3-й 2 б + 3аб 2 + 3-й 2 с + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.

Пример 1

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Решенные упражнения замечательных продуктов

Упражнение 1

решение

Напоминая, что бином для куба равен первому члену, возведенному в куб, за вычетом тройки квадратов первого члена ко второму; плюс тройка первого слагаемого со вторым квадратом, минус куб второго слагаемого.

Упражнение 2

Разработайте следующий бином: (x + 3) (x + 8).

решение

Существует бином, где есть общий термин, который является х, а второй член является положительным. Для его разработки вам нужно только возвести в квадрат общий термин плюс сумму не общих терминов (3 и 8), а затем умножить их на общий термин плюс сумму умножения не общих терминов.

(х + 3) (х + 8) = х 2 + (3 + 8) х + (3*8)

Источник

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Древние знания

Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2. Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии. Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.). В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.

Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.

Биноминальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя и Чу Ши-Цзе. Ян Хуэй ссылается на более ранний текст Цзя Сяня, написанный в XI в., однако и эти записи в настоящее время также утрачены.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:

К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.

Утверждение теоремы

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде ( n ₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.

Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n :

Теорема может быть применена к степеням любого бинома.

С точки зрения геометрии

Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом. Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам <1, 2, 3>, а конкретно: <2,3>, <1,3>, <1,2>, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.

Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если ( n k) представлено как n! / k! (n-k)!.

Биномные обобщения

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом. Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.

Поскольку любое значение, возведённое в ноль, равно 1, можно упростить слагаемые с нулевыми степенями. Далее, двигаясь вперёд и применяя силы, целесообразно упростить все возможные сочетания.

Короткий путь

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Последняя часть должна решить формулу комбинации. Очевидный способ сделать это — применить формулу комбинации для каждой задачи. Но стоит пойти на хитрость и ускорить вычисления, используя треугольник Паскаля, образованный путём создания треугольника с тремя начальными единицами. После этого для каждой строки нужно просто написать 1 на обоих концах и найти средние числа, добавляя два значения непосредственно над ним.

Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре

Для рассматриваемой задачи нужно решить: 3 выбирает 0, 3 выбирает 1, 3 выбирает 2 и 3 выбирает 3. Все эти значения содержатся в четвёртой строке. Итак, всё, что нужно сделать, это посмотреть на четвёртый ряд треугольника и сделать выводы, сопоставив ответы. Четвёртая строка имеет значения: 1, 3, 3, 1. Поэтому надо просто заменить n на выбор k. Получается следующее: (1)8x 3 + (3)4x 2 (-3) + (3)(2x)(9) + (1)(-27).

Наконец, всё, что нужно сделать — умножить и упростить каждый термин до его простейшей формы. Стоит проверить окончательный ответ, чтобы убедиться, что полномочия каждого термина всё ещё увеличивают степень первоначального бинома.

Источник

БИНОМ

— двучлен, сумма или разность двух алгеб-раич. выражений, называемых членами Б., напр. Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре, Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебреи т. д. О степенях Б., то есть выражениях да Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть фото Что такое бином и трином в алгебре. Смотреть картинку Что такое бином и трином в алгебре. Картинка про Что такое бином и трином в алгебре. Фото Что такое бином и трином в алгебре, см. Ньютона бином.

Смотреть что такое «БИНОМ» в других словарях:

БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… … Словарь иностранных слов русского языка

бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Бином — (лат. bis дважды, nomen имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также … Википедия

бином — двучлен Словарь русских синонимов. бином сущ. • двучлен Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012. бином … Словарь синонимов

БИНОМ — (от би. и лат. nomen имя) то же, что двучлен. О биноме вида (x+y)n см. в ст. Ньютона бином … Большой Энциклопедический словарь

бином — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» … Словарь русского арго

Бином ПМ-2 — (ТУ5730 001 96360128 2007) – со­ответствует требованиям для пластифицирующих водо­редуцирующих и противоморозных добавок. Обеспечивает протекание процессов гид­ратации цемента при температуре твердения бетона не ниже минус 18°С. Не… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

БИНОМ — сумма или разность двух одночленов. Бином Ньютона формула, выражающая произвольную натуральную степень Б. в виде многочлена, расположенного по степеням одного из членов Б … Большая политехническая энциклопедия

БИНОМ — (от би. и латинского nomen имя) (двучлен), алгебраическая сумма двух одночленов … Современная энциклопедия

БИНОМ — БИНОМ, а, муж. В математике: двучлен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

БИНОМ — муж. биномия жен. в буквосчислении: численное выражение, состоящее из двух членов; двучлен, двучленная величина. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

Источник

БИНОМ

Полезное

Смотреть что такое «БИНОМ» в других словарях:

бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Бином — (лат. bis дважды, nomen имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также … Википедия

бином — двучлен Словарь русских синонимов. бином сущ. • двучлен Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012. бином … Словарь синонимов

БИНОМ — (от би. и лат. nomen имя) то же, что двучлен. О биноме вида (x+y)n см. в ст. Ньютона бином … Большой Энциклопедический словарь

бином — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» … Словарь русского арго

Бином ПМ-2 — (ТУ5730 001 96360128 2007) – со­ответствует требованиям для пластифицирующих водо­редуцирующих и противоморозных добавок. Обеспечивает протекание процессов гид­ратации цемента при температуре твердения бетона не ниже минус 18°С. Не… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

БИНОМ — сумма или разность двух одночленов. Бином Ньютона формула, выражающая произвольную натуральную степень Б. в виде многочлена, расположенного по степеням одного из членов Б … Большая политехническая энциклопедия

БИНОМ — (от би. и латинского nomen имя) (двучлен), алгебраическая сумма двух одночленов … Современная энциклопедия

БИНОМ — БИНОМ, а, муж. В математике: двучлен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

БИНОМ — муж. биномия жен. в буквосчислении: численное выражение, состоящее из двух членов; двучлен, двучленная величина. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

Источник

Бином

Смотреть что такое «Бином» в других словарях:

БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… … Словарь иностранных слов русского языка

бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Бином — (лат. bis дважды, nomen имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также … Википедия

бином — двучлен Словарь русских синонимов. бином сущ. • двучлен Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012. бином … Словарь синонимов

БИНОМ — (от би. и лат. nomen имя) то же, что двучлен. О биноме вида (x+y)n см. в ст. Ньютона бином … Большой Энциклопедический словарь

бином — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» … Словарь русского арго

Бином ПМ-2 — (ТУ5730 001 96360128 2007) – со­ответствует требованиям для пластифицирующих водо­редуцирующих и противоморозных добавок. Обеспечивает протекание процессов гид­ратации цемента при температуре твердения бетона не ниже минус 18°С. Не… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

БИНОМ — сумма или разность двух одночленов. Бином Ньютона формула, выражающая произвольную натуральную степень Б. в виде многочлена, расположенного по степеням одного из членов Б … Большая политехническая энциклопедия

БИНОМ — (от би. и латинского nomen имя) (двучлен), алгебраическая сумма двух одночленов … Современная энциклопедия

БИНОМ — БИНОМ, а, муж. В математике: двучлен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

БИНОМ — муж. биномия жен. в буквосчислении: численное выражение, состоящее из двух членов; двучлен, двучленная величина. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *