Что такое делитель числа в математике

Урок 1 Бесплатно Делители и кратные

Операция деления известна с давних времен.

Привычные нам сегодня обозначения операции деления появлялись постепенно, в более древние времена люди использовали другие знаки.

Первый из символов ( / ), в обиходе косая черта, впервые был применен в 1631 году в одной из работ англичанина Уильяма Отреда.

Со временем в математике стали использовать и знак ( : ). Его в своих работах использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716)

При выполнении операции деления используют три математических составляющих:

Сегодня мы познакомимся с делителями и на связанном с ними понятии кратных.

Делители и кратные

Допустим, у вас есть 30 конфет и их надо разделить поровну шести друзьям.

В этом случае 6 друзей получат по 5 конфет, потому что 30 : 6 = 5

Если любое натуральное число делится без остатка на второе натуральное число, то первое называется кратным, а второе называют делителем.

Другими словами, 30 кратно 6, а 6 это делитель 30.

Могут быть и другие варианты решения задачи, которые зависят от данного нам условия.

Если друзей будет 7, тогда раздать всем равное количество конфет не получится, так как 30 без остатка на 7 не делится.

Значит, 30 не кратно 7, и 7 не является делителем 30

Натуральное число, на которое делится без остатка другое число, называется его делителем.

Само число 15 имеет четыре делителя: 1; 3; 5; 15, так как на каждое из этих чисел оно делится без остатка.

Натуральное число, которое делится на другое без остатка, называется его кратным.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Например, кратными 4 будут числа: 4; 8; 12; 16; 20 и т.д.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Существуют числа, равные сумме всех их делителей, не считая самого числа.

Его делители 1, 2, 3.

Само число 6 не учитываем.

Сложив их, получим в сумме 6

К числам с таким свойством можно отнести еще 28 или 496

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Использование понятий делителя и кратного при решении примеров и задач

Любые математические понятия используются при решении примеров и задач, ответах на вопросы из жизни.

Разберем некоторые из них подробнее.

Пример 1

На сколько равных кучек можно разделить 24 ореха?

Решение:

Нужно выяснить все делители числа 24

Такими будут числа: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Каждое из этих чисел будет являться ответом на поставленный вопрос, таким образом:

1 кучка из 24 орехов

2 кучки по 12 орехов

3 кучки по 8 орехов и т.д.

Пример 2

Напишите все двузначные числа, кратные 44

Решение:

Еще нам дано условие, что такие числа должны быть двузначными.

Значит, это два числа 44 и 88.

Оба они делятся на 44 без остатка, в чем можно легко убедиться: 44 : 44 = 1; 88 : 44 = 2

Пример 3

Какое число и кратно 15, и является делителем 15?

Решение:

Оно кратно самому себе и является для себя делителем.

Пример 4

В строю 300 солдат. Можно ли их разделить на 7 равных групп для проведения физической подготовки?

Решение:

Чтобы проверить, можно ли разделить 300 солдат на 7 равных групп, поделим число 300 на 7.

Имеем: 300 : 7 = 42 и в остатке 6. То есть 300 не делится нацело на 7.

Значит, разбить 300 солдат на 7 равных групп не получится.

Пример 5

Докажите, что число 70525 кратно числу 217.

Доказательство:

Выполним деление 70525 на 217 уголком.

Видим, что деление выполнено без остатка, значит, число 70525 кратно числу 217.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Делителем любого натурального числа является единица.

И правда, ведь на единицу делится любое натуральное число без остатка

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Раньше алгоритм деления в России выглядел совершенно иначе и не имел ничего общего с современным видом.

Например, деление могло получиться в виде полумесяца или по форме напоминать геометрическую фигуру- ромб.

Пусть требуется разделить 598432 на 678

Вот как выглядела запись деления:

1792

5603

5984/

5424

5424

1356

598432 верно разделено

Или разделить 9649378 на 5634:

59417

4015530

9649378

5634444

56333

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Кратное и делитель

Если одно натуральное число делится без остатка на другое натуральное число, то первое называется кратным второго, а второе — делителем первого.

Кратное числа — это делимое, которое делится на данный делитель без остатка.

Делитель числа — это делитель, на который делимое делится без остатка.

Пример. Возьмём, например, такое деление:

Число 6 делится на число 3 без остатка. Следовательно, число 6 — кратное числа 3, а число 3 — делитель числа 6.

Пусть m и n — натуральные числа, если число m является кратным числа n, то говорят: m кратно n или m делится на n

Пример. 6 кратно 3 (шесть кратно трём) или 6 делится на 3 (шесть делится на три).

Самым маленьким кратным любого натурального числа является само это число, так как любое натуральное число можно разделить само на себя без остатка (в частном всегда будет единица).

Пример. Для числа 7 наименьшим кратным является число 7, для числа 2 — число 2:

7 : 7 = 1 (семь кратно семи);

2 : 2 = 1 (два кратно двум).

Для любого натурального числа существует бесконечно много кратных. Получить кратное для данного числа достаточно легко, можно просто умножить его на любое натуральное число, полученное произведение и будет его кратным.

Пример. Получим кратное числа 5, умножив его, например, на 2:

Число 10 — кратное числа 5:

Так как на единицу делится любое натуральное число, то число 1 является делителем любого натурального числа.

Источник

Нахождение всех делителей числа, число делителей числа

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Как найти все делители числа

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Решение

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Решение

Как определить количество делителей конкретного числа

Решение

Раскладываем число на множители.

84 42 21 7 1 2 2 3 7

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Решение

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

Решение

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.

Источник

Делитель и кратное в математике

Что такое делители и кратные числа

Деление — математическое действие, которое определяет, сколько раз одно число содержится в другом. Обратной операцией является умножение.

Выделяют следующие компоненты деления:

Делимое — число, которое делят на несколько частей.

Делитель — число, которое показывает, на сколько частей нужно разделить делимое.

Частное — число, которое является результатом деления.

Умножение частного на делитель дает делимое.

Чтобы получить делитель, нужно делимое разделить на частное.

Д е л и м о е = ч а с т н о е * д е л и т е л ь Д е л и т е л ь = д е л и м о е / ч а с т н о е

Например, нужно поровну разделить 16 мандаринов между двумя детьми. Для этого 16:2=8. Таким образом, каждый ребенок получит по 8 мандаринов.

16 в этом примере является делимым, 2 — делителем, 8 — частным. Шестнадцать поделили на две части, по восемь в каждой. Или восемь содержится в 16 два раза. Или 2 содержится в 16 восемь раз. Деление прошло без остатка — нацело. Тогда число 2 является делителем числа 16.

Делителем числа a называется такое число b, на которое a делится нацело.

Например, 9 : 4 = 2 (остаток 5 ).

В примере 9 — делимое, 4 — делитель, 2 — неполное частное, 5 — остаток.

Остаток от деления — число, которое меньше делителя. Образуется при делении с остатком. Значит, в примере 9 : 4 = 2 (остаток 5 ) — число 4 не является делителем числа 9.

Задание: найдите такую пару делителей числа 144, если один из делителей равен 2.

Пусть неизвестный делитель равен x. Чтобы найти еще один делитель, если какой-то известен, нужно данное нам число разделить на известный делитель.

Тогда представим решение данной задачи в виде уравнения:

72 — целое число, без остатка.

Произведение делителей должно дать в результате 144:

72 * 2 = 144 — верно, значит, 72 — корень уравнения и делитель 144.

Ответ: числа 2 и 72 — делители 144.

Число называют кратным, если оно делится на данное число нацело, без остатка.

Например, 15:3 нацело.

Тогда число 15 является кратным 3.

Слово «кратно» синонимично слову «делится».

Фразу «15 кратно 3» можно в уме заменить на «15 делится на 3 нацело».

Основные понятия и определения

Делитель — это число, на которое данное число делится нацело. Делитель всегда меньше или равен числу.

Делится нацело = без остатка.

Наименьшим делителем любого числа является единица.

Наибольшим делителем числа является само число.

Делителем нуля будет любое число, но сам 0 делителем не будет.

При делении нуля на любое число получаем 0. А делить на ноль нельзя.

У единицы только один делитель — единица.

Другие числа, кроме 1, имеют не меньше двух делителей.

Кратное — число, которое делится на данное число нацело. Всегда больше или равно числу.

Наименьшее кратное числа является равным самому числу.

Наибольшее кратное подобрать нельзя, потому что ряд натуральных чисел бесконечен. У любого натурального числа бесконечное множество кратных.

Ноль является кратным для любого числа. При умножении на ноль всегда получается ноль.

Когда одно число делится нацело на другое, то первое число — кратное второго, а второе — делитель первого.

Чем отличаются друг от друга, как найти

Делитель отличается от кратного тем, что:

Чтобы найти делители числа, нужно данное число разложить на множители.

Разложить на множители — представить число в виде произведения целых чисел.

Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, нужно разделить число на данное нам.

Для нахождения кратного числа заданному числу, нужно это число последовательно умножать на натуральные числа. Каждое полученное число будет кратно — будет делиться — заданному.

Делители и кратные связаны между собой. Например, делителем числа 15 является 3 и число, кратное 3, равно 15.

Примеры решения задач

Необходимо найти делители числа 14.

Решить задание можно двумя способами.

Последовательно делим 14 на натуральные числа от 1 до 14. Помним, что делитель всегда меньше или равен заданному числу.

Выбираем такие числа в качестве делителя, при делении на которые мы не получили остаток: 1, 2, 7, 14.

Ответ: делители числа 14: 1, 2, 7, 14.

Представим 14 в виде произведения чисел:

Делителями будут множители, так как можем разделить 14 нацело на каждый из них.

Ответ: делители 14: 1, 2, 7, 14.

Найдите три числа, кратных 7.

Чтобы найти число, кратное данному, нужно это число умножить на любое натуральное число.

7 * 1 = 7 — семь кратно семи;

7 * 2 = 14 — 14 кратно 7;

7 * 3 = 21 — 21 кратно 7.

Ответ: числа, кратные 7: 7, 14, 21.

Самостоятельно проверьте, 225 кратно 3 или нет.

Чтобы проверить, кратно ли одно число другому, нужно разделить числа друг на друга.

75 — целое число, при делении нет остатка. Тогда 225 кратно 3.

Найдите любое число, делителями которого являются числа 7 и 8.

Самый простой способ, если в задании не оговорены еще какие-либо условия, просто перемножить эти делители:

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Делители натурального числа

Перечень рассматриваемых вопросов:

— разложение на простые множители.

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.

Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Все, что познаётся, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него», – сказал в своё время Пифагор. Эти слова очень кстати подходят к теме нашего урока «Делители натурального числа».

Выясним, что называют делителем.

Если натуральное число а можно разделить на натуральное число b, то это число b и будет делителем натурального числа а.

Мы уже знаем, что натуральные числа бывают простыми и составными.

Рассмотрим делители простых и составных чисел.

У простых чисел только два делителя –единица и само это число.

У составных чисел делителей больше.

Например, 3 – простое число, его делители 1 и 3.

14 – составное число, его делители 1, 2, 7 и 14.

Если делитель – простое число, то его называют простым делителем. Так, в наших примерах простыми делителями являются числа 2, 3, 7.

Можно ли представить любое составное число в виде произведения простых множителей? Ответ однозначный – да. Такое действие в математике называют разложение на простые множители.

Например, 36 – это произведение простых множителей:

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2 2 · 3 2

Есть и другая форма записи разложения на простые множители любого числа.

Она представляет собой таблицу из двух колонок. В левую часть вначале записывается число, которое нужно разложить на простые множители, а в правую – простые делители этого числа. При этом следующим слева после исходного числа записывается число, которое является частным от деления на простое число справа. Так запись продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет единицей.

Например, разложим число 100 на простые множители.

Разделим 100 на 2, частное равно 50;

50 разделим на 2, частное равно 25;

25 разделим на 5, частное равно 5;

5 разделим само на себя, получаем 1.

То есть простые множители числа 100:

100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 2 2 · 5 2

Эти множители числа 100 и есть делители этого числа, только добавим ещё единицу и всевозможные произведения простых множителей.

Таким образом, делители числа 100 – это числа 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,100. Других делителей у числа 100 нет.

В дальнейшем нам понадобится ещё одно математическое понятие – кратное.

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка. Иначе говоря, это исходное число, увеличенное в несколько раз.

Например, кратное числа 3 – это числа: 3, т. к. оно больше исходного числа 3 в один раз; 6, т. к. оно больше исходного числа 3 в 2 раза; 9, т. к. оно больше исходного числа 3 в 3 раза и т. д.

Если находить все делители натуральных чисел, то получится интересное свойство, о котором сейчас вы узнаете.

Например, найдём все делители числа 32.

Начиная с середины, все пары чисел при умножении будут давать 32.

Благодаря этому свойству, можно упростить поиск делителей числа. Для этого при поиске делителей достаточно найти «середину», а далее для нахождения остальных делителей числа остаётся найти частное от деления исходного числа на уже найденные делители.

У нас середина – это числа 4 и 8.

Найдём следующие делители:

№ 1. Какую из цифр 2, 3, 4 нужно подставить в число 5_ вместо пропуска, чтобы получить кратное числа 3?

Варианты ответа: 2, 3, 4.

Решение. Вспомним признак делимости на 3.Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Из представленных цифр подходит только 4, т.к. 5 + 2 = 7 – не делится на 3; 5 + 3 = 8 – не делится на 3; а 5 + 4 = 9 – делится на 3.

№ 2. Разложите произведение на простые множители 25 и 24.

Решение. Разложим отдельно числа 25 и 24 на простые множители, а затем найдём произведение всех полученных простых множителей от 24 и 25.

Источник