Что такое дивергенция матанализ

29.10.202316.04.2022 admin 0 Comments

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме

Пусть задано векторное поле

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле порождает скалярное поле .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского–Гаусса можно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы () можно записать:

и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:

То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

то в область V втекает большее количество жидкости, чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Для характеристики точки можно использовать .

Если , то данная точка есть источник, если – то сток.

Заметим, что можно записать с помощью символического вектора Гамильтона

в следующем виде:

1˚ Если – постоянный вектор, то

4˚ , U – скалярная функция.

Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

Вихревым вектором (вихрем), или ротором векторного поля

называется вектор, имеющий координаты:

Тем самым векторное поле порождает векторное поле вихря

Через символический вектор Гамильтона

вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора на вектор поля , т. е.

Как легко видеть, выражение

стоящее под знаком поверхностного интеграла в формуле Стокса, представляет собой скалярное произведение вихря векторного поля на единичный вектор нормали к поверхности S.

Следовательно, формулу Стокса можно представить в векторной форме следующим образом:

Левая и правая части формулы () представляют, соответственно, циркуляцию векторного поля и поток его вихря. Значит, формула Стокса утверждает: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку его вихря через поверхность S, натянутую на этот контур.

Можно определить проекцию вектора на любое направление следующим образом:

т.е. есть вектор, проекция которого на любое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки τ, перпендикулярной этому направлению , к площади этой площадки, когда размеры этой площадки стремятся к нулю.

Или другими словами: есть вектор, нормальный к поверхности, на которой плотность циркуляции достигает наибольшего значения.

Это, кроме прочего, означает и то, что вихрь поля (как и градиент, так и дивергенция) не зависит от выбора системы координат, а является характеристикой самого поля.

Отметим некоторые свойства ротора:

1˚ Если – постоянный вектор, то

2˚

3˚

4˚ Если U – скалярная функция, а – векторная, то

§4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равна нулю, т.е. Примерами соленоидальных полей являются: поле скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и т.д.

Векторное поле называется безвихревым, если его ротор тождественно равен нулю в области определения поля:

Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции φ(M), т. е. В этом случае функция φ(M) называется потенциалом поля.

Имеет место важное утверждение.

Если векторное поле непрерывно дифференцируемо в замкнутой односвязной области V, то каждое из следующих четырёх предложений равносильно любому другому из них:

ü – потенциальное поле;

ü – безвихревое поле;

ü циркуляция поля по любому замкнутому контуру, лежащему внутри области V, равна нулю;

ü криволинейный интеграл

не зависит от формы пути интегрирования.

Любой потенциал φ(М) поля очевидно, можно представить в виде:

Отметим важное свойство указанных выше специальных векторных полей.

Произвольное векторное поле всегда может быть представлено в виде суммы потенциального поля и соленоидального поля , т.е. .

Заметим, что для соленоидального поля можно определить векторный потенциал поля.

§5. ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА. ГАРМОНИЧСЕКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим дифференциальную операцию второго порядка где U – скалярная функция. Тогда

то скалярный квадрат записывают в виде:

Подобно символическому оператору Гамильтона , можно ввести символический оператор:

называемый оператором Лапласа.

Скалярная функция φ(x; y; z) называется гармонической в некоторой области, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными удовлетворяет уравнению

Векторный анализ — раздел математики, изучающий вещественный анализ векторов в двух или более измерениях. Методы векторного анализа находят большее применение в физике и инженерии.

Векторный анализ изучает векторные поля — функции из n-мерного векторного пространства в m-мерное — и скалярные поля — функции из n-мерного векторного пространства во множество скаляров.

Многие из результатов векторного анализа рассматриваются как частные случаи результатов из дифференциальной геометрии.

Для получения основных соотношений, используемых в векторном анализе, оказывается практически важным рассмотрение криволинейных и поверхностных интегралов, и их геометрических приложений. Так, например, теорема Стокса в векторной форме приобретает совершенно новый физический смысл.

Практически полезным является и введение оператора Гамильтона, с его помощью удобно записывать векторные операции первого порядка (градиент, дивергенция, ротор), а также комбинации со скалярными и векторными функциями. Для введения дифференциальных операций второго порядка используется оператор Лапласа. Дифференциальное уравнение Лапласа играет важную роль в различных разделах математической физики.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Математическим ядром теории поля являются рассмотренные нами понятия градиента, потока, потенциала, дивергенции, ротора, циркуляции и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

1. Березанский Ю. М., Левитан Б. М.. Функциональный анализ/ http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/117/905.htm

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для и инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1964. – 608 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. – 872 с.

4. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. – М.: Высшая школа, 1967. – 240 с.

5. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1965. – 424 с.

6. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков; Под ред. В.А. Садовничего. – 4-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.

7. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие поп высшей математике. Т.3. Ч.2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы. Изд. 6-е. – М.: КомКнига, 2007.

8. Магазинников Л.И. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования. Учебное пособие. – Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 1999. – 205 с.

9. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.

10. Письменный Д.Т. – Ч.2 – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.

11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.

12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Наука, 1969. – 800 с.

Источник

Теория поля

Известная также, как векторный анализ. А кому-то векторный анализ, известный как теория поля =) Наконец-то мы добрались до этой интереснейшей темы! Данный раздел высшей математики язык не поворачивается назвать простым, однако ж, в грядущих статьях я постараюсь достигнуть двух целей:

а) чтобы все понимали, о чём вообще идёт разговор;

б) и чтобы «чайники» научились решать, как минимум, простые вещи – хотя бы на уровне заданий, которые предлагаются студентам-заочникам.

Весь материал будет изложен в популярном стиле, и если вам нужна более строгая и полная информация, то можно взять, например, 3-й том Фихтенгольца или заглянуть в Вики.

И сразу расшифруем заголовок. С теорией, думаю, всё понятно – в лучших традициях сайта мы разберём её основы и сделаем основной упор на практику. Ну а с чем у вас ассоциируется слово «поле»?

Поле с травой, футбольное поле…. Ещё? Поле деятельности, поле экспериментов. Приветствую гуманитариев! …Из школьного курса? Электрическое поле, магнитное, электромагнитное…, так, хорошо. Гравитационное поле Земли, в котором мы находимся. Отлично! Так, кто это там сказал о поле действительных и комплексных чисел? …совсем какие-то монстры здесь собрались! =) Благо, алгебра уже пройдена.

На ближайших уроках мы познакомимся со специфическим понятием поля, конкретными примерами из жизни, а также научимся решать тематические задачи векторного анализа. Теорию поля лучше всего изучать, как вы правильно догадываетесь, на поле – природе, где есть лес, речка, озеро, деревенский домик, и я приглашаю всех погрузиться если и не в тёплую летнюю реальность, то в приятные воспоминания:

ПолЯ в рассматриваемом сегодня смысле бывают скалярные и векторные, и начнём мы с их «кирпичиков».

Во-первых, скаляр. Довольно-таки часто этот термин ошибочно отождествляют с числом. Нет, всё обстоит немного не так: скаляр – это величина, каждое значение которой может быть выражено лишь одним числом. В физике примеров масса: длина, ширина, площадь, объём, плотность, температура и др. Всё это скалярные величины. И, кстати, масса – тоже пример.

Во-вторых, вектор. Алгебраического определения вектора я коснулся на уроке о линейных преобразованиях и одну из его частных ипостасей не знать просто невозможно =) Типичный вектор выражается двумя или бОльшим количеством чисел (своими координатами). И даже для одномерного вектора лишь одного числа не достаточно – по той причине, что у вектора есть ещё направление. И точка приложения, если вектор не свободен. Векторами характеризуют силовые физические поля, скорость и многие другие величины.

Ну что же, теперь можно приступить к сбору ~~алюминиевых огурцов~~ урожая:

Скалярное поле

Если каждой точке некоторой области пространства поставлено в соответствие определённое число (чаще действительное), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Рассмотрим, например, исходящий из земли перпендикулярный луч. Воткните для наглядности лопату =) Какие скалярные поля можно задать на этом луче? Первое, что напрашивается – это поле высоты – когда каждой точке луча поставлена в соответствие её высота над уровнем земли. Или, например, поле атмосферного давления – здесь каждой точке луча соответствует числовое значение атмосферного давления в данной точке.

Теперь подойдём к озеру и мысленно проведём над его поверхностью плоскость. Если каждой точке «водного» фрагмента плоскости поставить в соответствие глубину озера, то, пожалуйста – скалярное поле задано. В этих же точках можно рассмотреть и другие скалярные величины, например, температуру поверхности воды.

Важнейшим свойством скалярного поля является его инвариантность относительно системы координат. Если перевести на человеческий язык, то с какой бы стороны мы на лопату / озеро ни посмотрели – скалярное поле (высота, глубина, температура и т.д.) от этого не изменятся. Более того, скалярное поле, скажем, глубины можно ведь задать и на другой поверхности, например, на подходящей полусфере, или непосредственно на самой водной поверхности. А почему нет? Разве нельзя каждой точке полусферы, расположенной над озером, поставить в соответствие число? Плоскость я предложил исключительно ради удобства.

Добавим ещё одну координату. Возьмите в руку камень. Каждой точке этого камня можно поставить в соответствие его физическую плотность. И опять – в какой бы системе координат мы его ни рассмотрели, как бы ни крутили в руке – скалярное поле плотности останется неизменным. Впрочем, некоторые люди могут оспорить этот факт =) Такой вот философский камень.

С чисто математической точки зрения (вне физического или другого частного смысла) скалярные поля традиционно задают нашими «обычным» функциями одной , двух , трёх и бОльшего количества переменных. При этом в теории поля в широком ходу традиционные атрибуты этих функций, такие как, область определения, линии и поверхности уровня.

Так, линии уровня глубины озера представляют собой замкнутые непересекающиеся линии на плоскости. Каждая из этих линий соответствует определённому значению глубины, и по соответствующей «плоской» карте мы можем судить о рельефе дна – где мелководье, где «обрывы» и т.д.

Поверхности уровня представляют собой непересекающиеся пространственные поверхности, «вложенные» друг в друга. Или «лежащие» друг на друге. Или… у кого на что фантазии хватит =) Каждой такой поверхности соответствует постоянное значение скалярного поля, например, какая-то конкретная температура.

Однако наши «обычные» числа и функции задают скалярные поля далеко не всегда! Приведу классический пример с вектором – для определённости рассмотрим геометрический вектор плоскости в некоторой аффинной системе координат. Что произойдёт, если перейти к новому базису? В общем случае данный вектор поменяет координаты: .

Координаты вектора – это числа? Числа. Но скалярными величинами они не являются! Поскольку скаляры не зависят от системы координат. Более того, координаты векторов можно ведь задать и «обычными» функциями – и эти функции не будут порождать скалярное поле!

Надо сказать, ловким получился переход к следующему параграфу:

Векторное поле

Если каждой точке некоторой области пространства поставлен в соответствие вектор с началом в данной точке, то говорят, что в этой области задано векторное поле.

Из чего следует, что элементы векторного поля не свободны, то есть «привязаны» к точкам. И почему векторы в «неволе» – становится ясно из простых примеров. В частности, на уроке о криволинейных интегралах по замкнутому контуру мы провели «плоский» опыт с магнитом на столе: чем ближе к магниту поднести железку, тем сильнее она притягивается. И эта сила в той или иной точке поверхности стола как раз характеризуется вектором напряжённости магнитного поля. Чем сильнее притяжение, тем длиннее вектор, ну и его остриё, понятно, указывает направление действия силы.

Но гораздо чаще векторные поля рассматривают в трёхмерном пространстве, пожалуйста: наша Земля – тот же больший магнит. Другой пример – её гравитационное поле. Чем дальше от поверхности, тем меньше сила тяжести и тем короче соответствующие силовые векторы. Кстати, куда они «смотрят»? Говоря просто, все они направлены к центру нашей планеты.

Большую группу векторных полей образуют так называемые поля скоростей. Посмотрите на поле (которое с травкой) и мысленно очертите над ним произвольную пространственную область. Представьте, что над полем дует ветер – небольшой такой ураганчик для пущей наглядности. Теперь зафиксируем некоторый момент времени и каждой точке построенной области поставим в соответствие несвободный вектор, который характеризует:

а) направление движения воздуха в данной точке;
б) и скорость его движения в данной точке – чем выше скорость, тем длиннее вектор. Если в какой-то точке штиль, то ей сопоставляется нулевой вектор.

Множество этих векторов и образует векторное поле скорости ветра в данный момент времени.

Аналогично устроено поле скоростей течения жидкости – так, например, каждой точке реки в некоторый момент времени можно поставить в соответствие вектор, указывающий направление и скорость течения жидкости в этой точке.

Да чего там ветер и река, поле скорости можно смоделировать собственноручно, для этого достаточно взмахнуть рукой. Или даже моргнуть глазом.

…Какой же кошмар! – векторы вокруг нас! В «ужастиках» эту роль играют зомби или живые мертвецы, а в реальности-то вот оно, оказывается как – ВЕКТОРЫ.

С формально-математической точки зрения, векторные поля задают векторными функциями, которые уже «проскакивали» в других темах:

Для «плоского» случая – это векторная функция , которая различным точкам плоскости * ставит в соответствие несвободные векторы – конкретный пример есть в параграфе Работа векторного поля. Если функции двух переменных определены при любых «икс», «игрек», то векторное поле будет задано на всей плоскости .

* Далее по умолчанию считаем, что все дела происходят в декартовой системе координат

С трёхмерным пространством всё аналогично:
– здесь каждой допустимой точке пространства ставится в соответствие вектор с началом в данной точке. «Допустимость» определяется областями определения функций , и если каждая из них определена при всех «икс», «игрек», «зет», то векторное поле будет задано во всём пространстве.

! Обозначения: векторные поля также обозначают буквой либо , а их компоненты через либо соответственно.

Из вышесказанного давно и очевидно следует, что, по меньшей мере математически, скалярные и векторные поля можно определить и во всём пространстве. Однако с соответствующими физическими примерами я всё же поостерёгся, поскольку таких понятий, как температура, гравитация (или других) ведь где-то может и вовсе не существовать. Но это уже не ужасы, а научная фантастика =) И не только фантастика. Ибо внутри камней ветер, как правило, не дует.

Следует отметить, что векторные поля (те же поля скоростей) с течением времени могут меняться, и поэтому во многих физических моделях рассматривают дополнительную независимую переменную . Кстати, то же самое касается и скалярных полей – температура же, в самом деле, тоже не «застыла» во времени.

Однако в рамках математики мы ограничимся троицей , и при «встрече» таких полей будем подразумевать некоторый фиксированный момент времени либо время, за которое поле не успело измениться.

Векторные линии

Если скалярные поля описываются линиями и поверхностями уровня, то «форму» векторного поля можно охарактеризовать векторными линиями. Наверное, многие помнят этот школьный опыт: под лист бумаги помещаются магнит, а наверх (смотрим!) высыпаются железные опилки, которые как раз и «выстраиваются» по линиям поля.

Постараюсь сформулировать попроще: каждая точка векторной линии является началом вектора поля, который лежит на касательной в данной точке:

Разумеется, векторы линии в общем случае имеют разную длину, так на приведённом рисунке, при перемещении слева направо их длина растёт – здесь можно предположить, что мы приближаемся, например, к магниту. В силовых физических полях векторные линии так и называют – силовыми линиями. Другой, более простой пример – это гравитационное поле Земли: его силовые линии представляют собой лучи с началом в центре планеты, причём векторы силы тяжести расположены прямо на самих лучах.

Векторные линии скоростных полей называются линями тока. Множество линий тока даёт нам представление о потоке жидкости или газа в данный момент времени. К слову, линия тока и траектория движения частицы – это не одно и то же. Если поле скоростей не меняется с течением времени (например, река с устоявшимся течением), то, да – мусоринки будут плыть по линиям тока. Такое поле называют стационарным, и в нём траектории движения частиц совпадают с линиями тока. Но представьте пыльную бурю – здесь линии тока в каждый момент разные, и поэтому мусоринка будет лететь по своей уникальной траектории, а вовсе не по какой-то конкретной линии тока.

Вообще, многие понятия теории поля пришли из гидродинамики, с чем мы ещё не раз столкнёмся.

Если «плоское» векторное поле задано ненулевой функцией , то его силовые линии можно найти из дифференциального уравнения . Решение данного уравнения задаёт семейство векторных линий на плоскости . Иногда в задачах требуется изобразить несколько таких линий, что обычно не вызывает затруднений – выбрали несколько удобных значений «цэ», начертили какие-нибудь там гиперболы, и порядок.

С пространственным векторным полем ситуация занятнее. Его силовые линии определяются соотношениями . Здесь нужно решить систему двух дифференциальных уравнений и получить два семейства пространственных поверхностей. Линии пересечения этих семейств и будут пространственными векторными линиями. Если все компоненты («пэ», «ку», «эр») отличны от нуля, то существует несколько технических способов решения. Я не буду рассматривать все эти способы (т.к. статья разрастется до неприличных размеров), а остановлюсь на распространённом частном случае, когда одна из компонент векторного поля равна нулю. Давайте сразу распишем все варианты:

если , то нужно решить систему ;
если , то систему ;
и если , то .

И что-то непозволительно давно у нас не было практики:

Найти силовые линии векторного поля

Решение: в данной задаче , поэтому решаем систему:

Первый диффур вообще халява:

– семейство плоскостей, параллельных координатной плоскости (представили в уме!).

Второй диффур – почти она же:), ну а зачем нам скоропостижные трудности?

– семейство (внимание!) параболических цилиндров, параллельных оси .

Ответ: искомое множество векторных линий:

Иными словами, здесь в каждой плоскости «сидит» семейство парабол .

Аналогичная задачка для самостоятельного решения:

Найти силовые линии векторного поля

Охарактеризуйте получившееся множество линий. Кстати, в условии явно не сказано, о каком поле идёт речь – плоском или пространственном. В подобных ситуациях рекомендую решать задачу для пространства – не ошибётесь 😉

Краткое решение и ответ в конце урока.

Векторное поле градиентов

В каких отношениях вы находитесь с производной по направлению и градиентом? …ничего страшного, от ненависти до любви – один шаг =) Напоминаю, что градиент функции в точке – это несвободный вектор, указывающий направление максимального роста функции в данной точке и определяющий скорость этого роста.

Нахождение векторной функции градиентов – есть популярный и распространённый способ получить из скалярного поля поле векторное. При условии существования соответствующих частных производных функции двух и трёх переменных:

Смысл очень прост. Так, если функция задаёт скалярное поле глубины озера, то соответствующая векторная функция определяет множество несвободных векторов, каждый из которых указывает направление наискорейшего подъёма дна в той или иной точке и скорость этого подъёма.

Если функция задаёт скалярное поле температуры некоторой области пространства, то соответствующее векторное поле характеризует направление и скорость наибыстрейшего прогревания пространства в каждой точке этой области.

Разберём общую математическую задачу:

Дано скалярное поле и точка . Требуется:

1) составить градиентную функцию скалярного поля;

2) найти градиент поля в точке и вычислить его длину;

3) вычислить производную по направлению нормального вектора к поверхности в точке , образующего с положительной полуосью тупой угол.

Непосредственно к решению задачи это не относится, но сразу обратим внимание, что скалярное поле не определено на всех трёх координатных плоскостях .

1) Быстренько вспоминаем, как находить частные производные функции трёх переменных:

Составим функцию, которая определяет векторное поле градиентов:

И ещё раз – в чём её смысл? Полученная векторная функция каждой точке области определения скалярного поля ставит в соответствие вектор , указывающий направление и максимальную скорость роста функции в данной точке.

И один из таких векторов нам предстоит найти в следующем пункте:

2) Вычислим частные производные в точке :

Таким образом:
– ещё раз подчёркиваю, что этот вектор исходит из точки , и перемещать его никуда нельзя! По той причине, что он характеризует направление наискорейшего возрастания функции именно в точке «эм нулевое», а не где-то ещё!

Мерилом же этой максимальной скорости как раз является длина градиента:

3) Вычислим производную по направлению нормального вектора к поверхности в точке , образующего с положительной полуосью тупой угол.

Немного мудрёно, но разобраться немудренО. Во-первых, убедимся, что точка «эм нулевое» действительно принадлежит данной поверхности:

Получено верное равенство. ОК.

Что это за поверхность – нас не интересует, нам важен её нормальный вектор в точке , да не абы какой, а образующий с полуосью тупой угол.

Вспоминаем материал ещё одного урока: вектор нормали к поверхности в точке задаётся следующим образом:

В данном случае:

Но нужный ли это вектор? Как выяснить угол, который он образует с полуосью ? …Сегодня у нас какой-то экскурс в фильмы… =) и сейчас на очереди фильм «Вспомнить всё». Вычислим скалярное произведение вектора с направляющим вектором положительной «зетовой» полуоси:

, следовательно, угол между этими векторами острый, что нас не устраивает!

И поэтому нужно выбрать противоположно направленный нормальный вектор:

Заметим заодно, что нормальные векторы в отличие от градиентов – свободны, их задача лишь указать направление.

Вычислим направляющие косинусы данного направления, или, что то же самое – координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором :

Контроль:

Таким образом, искомая производная по направлению:

Напоминаю, что это значение характеризует скорость роста функции в точке по направлению вектора , и оно не может оказаться больше, чем (максимальной скорости роста в данной точке).

Ответ:

Небольшой пример для самостоятельного решения:

Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке

Просто и со вкусом. …Как найти угол? – с помощью того же скалярного произведения. Ну и, очевидно, тут придётся «тряхнуть» многоэтажными дробями и некоторой тригонометрией. Краткое решение и ответ в конце урока.

Что делать, если вам предложено «плоское» скалярное поле ? Просто убавьте одну координату, соответствующие примеры можно найти в статье Производная по направлению и градиент функции. По существу, мы вновь прорешали примеры той статьи, только немного в другой интерпретации.

Потенциальное векторное поле

На уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру я уже подробно рассказал о «плоском» потенциальном поле, и поэтому перед дальнейшим чтением будет крайне полезно окинуть взглядом концовку указанной статьи. Фактически сейчас будет продолжение, где мы разбёрём аналогичную ситуацию в пространстве.

«Потенциальное»…, на ум здесь приходит потенциальная энергия, потенциальные возможности. Так, лежащий на подоконнике кирпич потенциально можно сбросить вниз, и вмятина на земле неиллюзорно продемонстрируют нам ту самую потенциальную энергию. Всё верно, гравитационное поле Земли – это один из ярких примеров потенциального векторного поля.

Вспомним его характерный признак, сбросив с подоконника нашего уютного деревенского домика…, нет, не кирпич, а пёрышко. Из точки до точки оно может пролететь по бесчисленному множеству траекторий (из-за ветра, по причине сопротивления воздуха и т.д.), но во всех случаях гравитационное поле Земли совершит одну и ту же работу по перемещению пера между этими точками. Ну а различные траектории – это уже «вклад» других сил, которые, к слову, тоже можно описать векторными полями.

Примечание: возможно, здесь у вас возник вопрос: «но ветер же может приподнимать перо, и тогда работа должна увеличиваться!». Ничего подобного. Физическое понятие работы не подразумевает, что кто-то или что-то «трудится». Если ветер приподнимает перо вверх, то он просто уменьшает абсолютную величину работы силы тяжести.

В физике есть конкретная математическая модель, описывающая гравитационные силы, но в соответствии с направленностью сайта, я приведу только общие формулы. Итак:

Векторное поле является потенциальным, если оно представляет собой поле градиентов некоторого скалярного поля . Функцию называют потенциальной функцией или просто потенциалом.

Работа потенциального векторного поля по перемещению материальной точки из точки в точку не зависит от траектории её движения и выражается следующим криволинейным интегралом 2-го рода:

, который равен разности потенциалов .

Иными словами, в потенциальном поле имеет значение лишь начальная и конечная точка маршрута. И если эти точки совпадают, то суммарная работа сил по замкнутому контуру будет равна нулю:

Давайте поднимем пёрышко с земли и доставим его в исходную точку. При этом траектория нашего движения опять же произвольная; можно даже бросить перо, снова его поднять и т.д.

Почему итоговый результат нулевой?

Перо упало из точки «а» в точку «бэ»? Упало. Сила тяжести совершила работу .

Перо попало обратно в точку «а»? Попало. А это значит, что была совершена точно такая же работа против сил тяжести, причём не важно с какими «приключениями» и какими силами – да хоть ветер задул его обратно.

Примечание: в физике знак «минус» символизирует противоположное направление.

Таким образом, суммарная работа сил равна нулю:

Как я уже отмечал, физическое и обывательское понятие работы отличаются. И это различие вам хорошо поможет понять не пёрышко и даже не кирпич, а, например, пианино 🙂

Дружно поднимите пианино и спустите его по лестнице вниз. Потаскайте по улице. Сколько захочется и где захочется. И ~~если никто не вызвал дурку~~ занесите инструмент обратно. Вы поработали? Конечно. До седьмого пота. Но с точки зрения физики никакой работы не совершено.

Словосочетание «разность потенциалов» подмывает рассказать ещё о потенциальном электростатическом поле, но бить током своих читателей как-то уж совсем не гуманно =) Тем более, примеров – непочатый край, ибо потенциальным является любое градиентное поле, коих пруд пруди.

Но легко сказать «пруд пруди»: вот дано нам векторное поле – как определить, потенциально оно или нет?

Ротор векторного поля

Или его вихревая составляющая, которая тоже выражается векторами.

Снова возьмём в руки пёрышко и аккуратно отправим его в плавание по реке. Для чистоты эксперимента будем считать, что оно однородно и симметрично относительно своего центра. Ось торчит вверх.

Рассмотрим векторное поле скорости течения (считаем, что оно неизменно во времени), и некоторую точку водной поверхности, над которой находится центр пера.

Если в данной точке перо вращается против часовой стрелки, то поставим ей в соответствие исходящий несвободный вектор, направленный вверх. При этом, чем быстрее вращается перо, тем длиннее этот вектор, …мне почему-то он представляется таким чёрным-чёрным в ярких лучах солнца…. Если вращение происходит ПО часовой стрелке, то вектор «смотрит» вниз. Если же перо не вращается вовсе, то вектор нулевой.

Знакомьтесь – это и есть вектор ротора векторного поля скорости, он характеризует направление «завихрения» жидкости в данной точке и угловую скорость вращения пера (но не направление и не скорость самого течения!).

Совершенно понятно, что роторный вектор есть у всех точек реки (в том числе тех, которые «под водой»), таким образом, для векторного поля скорости течения мы определили новое векторное поле!

Если векторное поле задано функцией , то его роторное поле задаётся следующей векторной функцией:

При этом, если векторы роторного поля реки велики по модулю и имеют тенденцию менять направление, то это вовсе не означает, что речь идёт об извилистой и неспокойной реке (возвращаемся к примеру). Такая ситуация может наблюдаться и в прямолинейном русле – когда, например, в середине скорость выше, а у берегов ниже. То есть, вращение пера порождается различными скоростями течения в соседних линиях тока. Но это не единственно возможная причина вращения. Если рядом с рекой стоит экспериментатор и поливает её из шланга, то поле скоростей будет постоянно меняться, и «завихрения» начнутся по той причине, что меняются сами линии тока.

С другой стороны, если роторные векторы коротки, то это может быть и «петляющая» горная речка! Важно, чтобы в соседних линиях тока скорость самого течения (быстрого или медленного) отличалась незначительно. И не было рядом экспериментаторов или каких-нибудь оползней, которые меняют поле скоростей.

И, наконец, отвечаем на поставленный выше вопрос: в любой точке потенциального поля его ротор равен нулю:

, а точнее, нулевому вектору.

Потенциальное поле также называют безвихревым полем.

Ну и, конечно, наше бренное гравитационное поле. Для следующего опыта хорошо подойдёт любой достаточно тяжёлый и однородный предмет, например, закрытая книга, непочатая банка пива или, кстати, кирпич, который таки дождался своего часа =) Зажмите его торцы руками, приподнимите вверх и аккуратно отпустите в свободное падение. Крутиться он не будет. А если и будет, то это уже ваши «личные усилия» или кирпич попался неправильный. Не поленитесь и проверьте этот факт! Только не бросайте ничего из окна, это уже не перо

После чего с чистой совестью и повышенным тонусом можно вернуться к практическим задачам:

Показать, что векторное поле является потенциальным и найти его потенциал

Решение: условие прямо утверждает потенциальность поля, и наша задача состоит в доказательстве этого факта. Найдём роторную функцию или, как чаще говорят – ротор данного поля:

Для удобства выпишем компоненты поля:

и начнём находить их частные производные – их удобно «перебирать» в «роторном» порядке, слева направо:
– и сразу проверяем, что (чтобы не выполнять лишней работы в случае ненулевого результата). Едем дальше:

Таким образом:
, следовательно, поле потенциально, а значит, представляет собой градиентную функцию некоторого скалярного поля, заданного потенциалом .

Функцию обычно находят одним из следующих способов:

1) Способ первый. Коль скоро так (см. выше), то:

Дальнейший алгоритм напоминает решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах, только с бОльшим количеством шагов:

Так как , то:
, где – пока ещё неизвестная функция, зависящая от «игрек» и «зет».

Дифференцируем полученный результат по «игрек»:

Но, с другой стороны . Приравниваем и упрощаем:

Теперь частным интегрированием (переменных здесь уже две!) находим:
– подставляем в наш первый трофей :
, после чего дифференцируем его уже по «зет»:

Но с другой стороны, . Приравниваем и упрощаем:

И, наконец, подставляем найдённую функцию в наш «усовершенствованный трофей» :

– получаем тем самым, искомую потенциальную функцию.

Проверку тут выполнить легче лёгкого, находим частные производные 1-го порядка:

которые совпали с соответствующими компонентами исходного поля , в чём и требовалось убедиться.

Ну и, наверное, некоторые уже подметили, что равенства частных производных в «роторной» формуле – есть не что иное, как равенства смешанных частных производных 2-го порядка функции .

2) Способ второй. Потенциальную функцию можно найти при помощи формулы:
, где – точка с переменными координатами, а – некоторая фиксированная точка скалярного поля .

Легко видеть, что этот криволинейный интеграл определяет работу векторного поля от точки до точки и численно равен разности потенциалов , откуда, собственно, и получается нужная функция

Запишем сумму трёх интегралов для поля :

И на этом шаге я по возможности рекомендую выбрать точку (если функция и её производные в ней определены). После чего решение значительно упрощается:

При подстановке верхних пределов интегрирования можно сказать, что вместо «икс» мы подставляем «икс», вместо «игрек» – «игрек», и вместо «зет» – «зет».

Ответ:

Если начало координат выбрать нельзя, то задачу придётся решать в общем виде, в результате чего должна получиться разность . Любители трудностей могут вернуться к примеру и прийти к разности . Разумеется, это легальный и рабочий вариант – можно решать и так.

С аналогичной задачей для «плоского» векторного поля можно ознакомиться на уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру.

Пара полей для самостоятельного решения:

Выяснить, является ли следующие векторные поля потенциальными, и если да, то найти их потенциалы:

а)

б)

Обязано ли поле быть потенциальным в таких задачах? Конечно, нет, и отрицательный ответ – это тоже полноценный ответ. Примерный образец чистового оформления заданий внизу страницы.

Ну что же, теперь пришло время немного отдохнуть и увеличить ротор реки =) А именно нырнуть, искупаться и позагорать на солнце. Чтобы с новыми силами вернуться к столь увлекательной теме, а именно к потоку и циркуляции векторного поля

Спасибо за внимание и до скорых встреч!

Пример 2: Решение: составим и решим систему:

Из 1-го уравнения:

Из 2-го уравнения:

Константу переобозначим через

Ответ: – семейства эллипсов, расположенные в плоскостях , параллельных плоскости .

Примечание: если в условии задачи подразумевается «плоское» векторное поле, то векторные линии представляют собой множество эллипсов , расположенных в плоскости .

Пример 4: Решение: вычислим частные производные функции в точке :

Составим градиент данного скалярного поля в точке и вычислим его длину:

Аналогично найдём градиент второго скалярного поля:

В результате:

Угол между градиентами найдём по формуле:

Таким образом:

Ответ:

Пример 6: Решение:

а) проверим, равен ли нулю ротор векторного поля:
.
В данном случае:

Следовательно,

Ответ: поле не потенциально.

б) найдём ротор векторного поля:

В данной задаче:

Таким образом: , значит, поле потенциально и представляет собой функцию градиента некоторого скалярного поля . Найдём этот потенциал (здесь выгоднее использовать 1-й способ):

Так как , то:

Дифференцируем по «игрек»:

С другой стороны . Таким образом:

– подставим в :

Дифференцируем по «зет»:

С другой стороны, . Таким образом:

– подставим в