Ломаная линия
Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.
Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной.
Построим ломаную из четырёх отрезков:
Замкнутая и незамкнутая ломаная
Незамкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой не совпадают друг с другом:
незамкнутая ломаная ABCD.
Замкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой совпадают друг с другом:
замкнутая ломаная ABC.
Самопересекающаяся ломаная
Замкнутые и незамкнутые ломаные линии могут быть самопересекающимися. Самопересекающаяся ломаная — это ломаная линия, звенья которой пересекают другу друга в одной или нескольких точках. Например:
точки F, T, K — точки самопересечения, то есть точки, в которых ломаная пересекает сама себя.
Длина ломаной
Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной, не имеющий самопересечений, то есть длина многоугольника, называется периметром.
Пример 1. Найти длину ломаной из 3 звеньев.
Решение: Для нахождения длины ломаной, состоящей из трёх звеньев, надо сложить длины всех её звеньев. Длина ломаной ABCD будет равна:
AB + BC + CD = 4 см + 3 см + 2 см = 9 см.
Ответ: Длина ломаной ABCD равна 9 см.
Пример 2. Найти длину замкнутой ломаной.
Решение: Найдём периметр замкнутой ломаной, сложив длины всех её звеньев:
AB + BC + CD + DA =
3 см + 5 см + 4 см + 5 см = 17 см.
Ломаная линия — что это такое простыми словами
Ломаная линия — определение
Одним из наиболее простых и понятных геометрических терминов считают прямую линию. Есть в математике похожая фигура, но с некоторыми характерными чертами. Давайте попробуем разобраться, что такое ломаная линия и каковы её особенности.
Ломаная линия — математическая фигура, включающая в себя несколько отрезков, которые меняют направление.
Если выражаться более чётко, то это черта, которая не является прямой по всей длине, но может не иметь изгибов на отдельном отрезке.
Таким образом, фигура в обязательном порядке отвечает нескольким признакам:
Обозначение ломаной линии
Чтобы отметить ломаную линию на чертеже вам необходимо указать наименования точек стыка, в которых она меняет направление, латинскими буквами.
Из чего состоит ломаная линия
Как вы уже успели заметить, на рисунках присутствуют звенья — отрезки, составляющие ломаную линию. А вот начальные и конечные точки этих составных частей — вершины. На картинке вершины ломаной ABCD — позиции A, B, C, D.
Признак замкнутости ломаной линии
Классификация ломаных линий прежде всего осуществляется по свойству замыкания.
Замкнутая ломаная линия — фигура, у которой конечная позиция совпадает с начальной. Иначе говоря, когда она заканчивается в том же месте, где начиналась.
Яркие представители — треугольник и квадрат, а также остальные виды многоугольников:
Незамкнутая ломаная линия — фигура, которая приходит в позицию, отличающуюся от начальной.
Время от времени, у учащихся возникает вопрос: «Как определить, замкнутая фигура или нет?». Ответ будет весьма прост:»Когда число отрезков равно количеству вершин — она замкнутая, а при наблюдающемся неравенстве — незамкнутая».
В качестве дополнительного вида рассматривают понятие самопересекающаяся ломаная линия — та, которая скрещивается на пути своего следования. Для данного термина не имеет значения сколько раз произошло пересечение.
На рисунке отмечены точки пересечения — S, P, а также вершины — A,B,C,D,E,F.
Иногда люди спрашивают — «Могут ли вершины являться точками пересечения?». Чтобы найти ответ, обратите внимание на рисунок с пересекающейся и одновременно замыкающейся — ломаной линией:
Изображение отличается от предыдущего: отрезок EB перемещён, поэтому вершина A приобрела статус точки пересечения.
Как измерить длину ломаной линии
Ломаная линия, имеющая начало и конец, имеет распространённую стандартную характеристику — длину. Имея цель сделать замер её длины, необходимо суммировать длины всех её составных частей — отрезков.
Чем ломаная линия отличается от прямой
При взгляде на рисунок очевидно: уникальный признак ломаной линии — отсутствие углов, равных 180 градусам. В остальном, фигуры одинаковые и обладают схожими свойствами, например, длиной.
Примеры ломаных линий в быту
В целях наилучшего усвоения теории, разумно на практике ознакомиться с примерами ломаных линий из жизни.
Ломаная линия— график фондового рынка. Так как отрезки графика очень маленькие, поэтому может показаться, что это кривая, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что это не так.
Фасад дома при переводе на «язык геометрии» выглядит как замкнутая ломаная линия.
Пирамиды древнего Египта обладали формой треугольника — одной из самых популярных ломаных линий.
Ломаная линия
Ломаная линия бывает незамкнутая.
Из незамкнутой ломаной линии можно получить замкнутую ломаную линию.
Такая замкнутая ломаная линия называется треугольником.
У нее три вершины.
У треугольника три звена.
Замкнутая ломаная линия из четырёх звеньев называется четырёхугольником.
Замкнутая ломаная линия из пяти или шести звеньев называется многоугольником.
Чтобы найти длину ломаной линий нужно измерить длину каждого звена-отрезка и сложить все длины.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Отрезок. Ломаная линия
Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.
Рис. 1 Отрезок на прямой
Рис. 2 Несколько отрезков на прямой
Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):
То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.
Рис. 3 Отрезок и лучи прямой
Рис. 4 Отрезок без прямой
Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки
Так, на рисунке 5 видно, что:
В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.
Рис. 6 Отрезок и части отрезка
Построение и измерение отрезка
Произвольный отрезок можно построить двумя способами:
Рис. 7 Построение произвольного отрезка
Измерить отрезок можно:
Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).
Рис. 8 Сравнение отрезков
На рисунке 8 видно, что:
Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.
Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.
Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.
На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?
Рис. 9 Измерение длины отрезка
Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.
Рис. 10 Построение отрезка заданной длины
Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.
В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.
Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок
Ломаная линия
Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.
Рис. 12 Ломаная линия
На рисунке 12 видно, что:
Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.
Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.
Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии
Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя бы два пересекающихся звена.
Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.
Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии
Урок математики «Ломаная» (5 класс)
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выбранный для просмотра документ 19.09.15. Ломаная.docx
19.09.15. МАТЕМАТИКА
Тип урока у рок изучения нового материала
ввести понятие ломаной, формировать умения и навыки называть ломаные, их вершины и звенья, находить длину ломаной;
активизировать познавательную деятельность учащихся;
способствовать развитию чувства коммуникативности; способствовать привитию учащимся исследовательских навыков.
— познакомить учащихся с геометрической фигурой: ломаной, научить распознавать на чертежах эту фигуру, в окружающем мире — объекты, для которых эта фигура является моделью, создать условия для формирования представления о понятиях «ломаная», «звено ломаной», «вершина ломаной»; выполнять построение чертежей ломаных линий, получить навыки измерения длины ломаной и построения отрезка заданной длины.
— проявлять интерес к изучению темы и желание применять приобретённые знания и умения, формировать положительное отношение к школе и учебной деятельности, к изучению математики; формировать представление о значении математики в жизни человека;
-формировать умение принимать и сохранять учебную задачу, соответствующую этапу обучения;
формировать умение оценивать совместно с учителем или одноклассниками результат своих действий; овладевать умениями выполнять учебные действия в устной речи; в сотрудничестве с учителем, классом находить несколько вариантов решения учебной задачи.
-формировать умение осуществлять анализ, сравнение объекта; под руководством учителя проводить классификацию изучаемых объектов; под руководством учителя осуществлять обобщение, выводы (подведение под понятие); давать характеристики изучаемым математическим объектам на основе их анализа.
— принимать участие в работе парами; понимать задаваемые вопросы; выражать свою точку зрения; адекватно воспринимать другое мнение и позицию.
Планируемые результаты: у чащийся научится распознавать на чертежах геометрическую фигуру
ломаную, получит навыки измерения длины ломаной.
Основные понятия: л оманая, длина ломаной, замкнутая ломаная.
1. Организационный момент
Прозвенел звонок для нас!
Все зашли спокойно в класс!
Встали все у парт красиво! Поздоровались учтиво!
2. Проверка домашнего задания
Через документ камеру проверить № 60, 62, 80
3. Актуализация знаний учащихся
Итак, мы направляемся в страну Геометрия, какие знания нам пригодятся? (о точке, прямой и об отрезке)
-Что вы знаете о точке? (это о сновное понятие математики: место, не имеющее измерения, а также граница отрезка.)
-Составьте схему своих знаний о линиях.
Составляем кластер. Какие знаем понятия?
ограниченной двумя точками
измерения, а также граница отрезка
Длина отрезка, расстояние между
Устный счет. Фронтальный опрос.
1) Антон пошел к своему другу Володе, дом которого находится на расстоянии 300 м от дома Антона. Затем они вместе пошли к Серёже, дом которого расположен на расстоянии 100 м от дома Володи. Какое расстояние прошел Антон от своего дома до дома Серёжи?
2) А теперь изменим условия задачи.
От дома Антона до дома Серёжи 170 м, а от дома Антона до дома Володи 50 м. Каково расстояние от дома Володи до дома Сережи?
3. Постановка цели и задач урока
А теперь попробуйте ответить на вопрос: всегда ли наше движение происходит по прямой линии?
Всегда ли самолет движется по прямой?
Всегда ли автомобиль движется по прямой линии?
А как он еще может двигаться? Возможно ли движение по кругу?
Вывод: кроме прямых линий существуют ещё какие линии? (Возможный ответ учащихся – кривые.)
Многие виды кривых мы будем изучать в старших классах, а сегодня рассмотрим самую простейшую – ломаную.
«Тема урока: Ломаная».
Итак, какова цель нашего урока?
Цель урока: изучить ломаную, её элементы и свойства.
Какие задачи мы должны выполнить, чтобы достичь поставленной цели?
Дать определение ломаной.
Изучить её элементы.
Рассмотреть виды ломаных. Какие они бывают?
Научиться находить длину ломаной.
4. Изучение нового материала.
Из данных рисунков выбрать ломаные. Почему вы так думаете? Обосновать.
А теперь посмотрим точное определение ломаной.
Ломаная – это последовательное соединение нескольких отрезков.
Вернемся к предыдущему слайду и проверим правильность нашего выбора.
Далее учащимся предлагается записать определение в тетрадь и изобразить ломаную.
Рассмотрим элементы ломаной. Из чего она состоит? (Из отрезков.)
Отрезки, из которых состоит ломаная, называются звенья ломаной.
Перечислить в тетради звенья изображенной ломаной.
Что является концами отрезков? (Точки.)
Точки – концы отрезков – называются вершинами ломаной.
Перечислить в тетради вершины изображенной ломаной.
А теперь рассмотрим различные виды ломаных.
Выбрать из данных ломаных замкнутые, незамкнутые, самопересекающиеся. Почему вы так думаете?
Ломаная называется замкнутой , если начало ломаной совпадает с её концом. Иначе ломаная незамкнутая.
Ломаная называется самопересекающейся , если некоторые её звенья пересекаются.
5. Закрепление изученного материала
Обратить внимание на правильность обозначения ломаной. Назвать её звенья и вершины.
В процессе выполнения заданий учитель просматривает все работы учащихся, отмечая удачные и поправляя ошибочные.
6. Изучение нового материала
Вы умеете находить длину отрезка. А как же найти длину ломаной? Ваши предположения?
Длина ломаной – это сумма длин всех звеньев ломаной.
Записать определение длины ломаной в тетрадь.
7. Закрепление изученного материала.
Найти длины двух ломаных.
8. Подведение итогов.
Наш урок подошел к концу.
Домашнее задание: § 3. № 54, 57, 82. стр. 19, вопросы: 10 – 12 (выучить определение ломаной, её элементы и свойства).
