добуток — тку, ч. 1) Те, що одержано, добуто працею. 2) мат. Число, одержане після множення … Український тлумачний словник
добуток — іменник чоловічого роду … Орфографічний словник української мови
добуток розчинності — произведение растворимости solubility product *Lösungsprodukt – константа рівноваги Кs між розчиненим електролітом та його твердою фазою в насиченому розчині, записана у вигляді де а+ та а– активності катіонів та аніонів; n+ та n– числа катіонів… … Гірничий енциклопедичний словник
імпульс — импульс impulse, momentum, pulse *Іmpuls 1) Поштовх до дії. 2) Кількість руху (добуток маси на швидкість); І. с и л и добуток сили на час її дії. 3) І. е л е к т р и ч н и й короткочасне (до мільярдних часток секунди) збільшення електричного… … Гірничий енциклопедичний словник
ампер-виток — тка/, ч. Добуток кількості витків обмотки, по якій проходить електричний струм, та значення сили струму в амперах … Український тлумачний словник
квадрат — а, ч. 1) Рівнобічний прямокутник. || перев. чого. Про що небудь такої форми. 2) мат. Добуток двох однакових множників, другий степінь будь якого числа. •• Підно/сити (піднести/) до квадра/та множити якесь число на те саме число. У квадра/ті… … Український тлумачний словник
комплексно-евклідів — дова, дове, мат.: •• Ко/мпле/ксно евклі/дів про/стір лінійний простір, в якому скалярний добуток двох векторів – комплексне число … Український тлумачний словник
кронекерів — а, е, мат. Належний Кронекеру. Кронекерів добуток … Український тлумачний словник
куб — I а, ч. 1) мат. Правильний шестигранник, усі грані якого – квадрати. || Про який небудь предмет, споруду, що має форму такої фігури. 2) мат. Добуток трьох однакових співмножників або третя степінь числа. 3) розм. Те саме, що кубометр. II а, ч.… … Український тлумачний словник
обернений — обе/рнутий, а, е. 1) Дієприкм. пас. мин. ч. до обернути. || обе/рнено, безос. присудк. сл. 2) у знач. прикм., спец. Який має протилежний чому небудь або змінений порівняно із звичайним напрямок, вигляд і т. ін.; інверсійний. 3) у знач. прикм.,… … Український тлумачний словник
одночлен — а, ч., мат. Алгебричний вираз – добуток двох або кількох співмножників, кожен з яких є числом, літерою або степенем літери … Український тлумачний словник
Числа, які множимо, називають множниками, результат дії множення – добуток.
Добуток розглядають як додавання однакових доданків.
Помножити натуральне число 4 на натуральне число 3 – означає знайти суму трьох доданків, кожний з яких дорівнює 4.
«чотири помножити на три – буде дванадцять»
«по чотири взяти три рази – буде дванадцять»
«чотири збільшити у три рази – буде дванадцять»
«добуток чисел чотири і три – буде дванадцять»
«чотири помножити на три, дорівнює дванадцяти»
«по чотири взяти три рази дорівнює дванадцяти »
«чотири збільшити у три рази, дорівнює дванадцяти »
«добуток чисел чотири і три дорівнює дванадцяти»
У результаті дії множення для натуральних чисел завжди отримаємо більше число.
Таблиця множення (добутки одноцифрових чисел утворюють таблицю множення, яку треба знати напам’ять).
•
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Переставний закон множення – від перестановки множників добуток не змінюється.
Сполучний закон множення – числа можна множити у будь-якому порядку (щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел). Тому такий вираз записують без дужок.
(а • b) • с = а • (b • с) = а • b • с
(8 • 5) • 2 = 8 • (5 • 2) = 8 • 10 = 80
Розподільний закон множення стосовно додавання – добуток суми двох чисел на третє число дорівнює сумі добутків кожного доданка на третє число. Щоб помножити суму на число, можна помножити кожний із доданків на це число і отримані добутки додати.
(а + b) • с = а • с + b • с
(8 + 5) • 2 = 8 • 2 + 5 • 2 = 16 + 10 = 26
Розподільний закон множення стосовно віднімання – добуток різниці двох чисел на третє число дорівнює різниці добутків зменшуваного і від’ємника окремо на третє число. Щоб помножити різницю на число, можна помножити зменшуване і від’ємник окремо на це число, а потім від першого добутку відняти другий.
(а – b) • с = а • с – b • с
(8 – 5) • 2 = 8 • 2 – 5 • 2 = 16 – 10 = 6
Особливі випадки множення:
Добуток дорівнює 0, якщо
один із множників дорівнює 0
Добуток дорівнює другому множнику,
якщо один із множників дорівнює 1
Множення перевіряємо дією ділення.
Правило знаходження невідомого множника:
щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник
Якщо один із множників збільшити (зменшити) в кілька разів, а інший множник залишити без змін, то їхній добуток збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.
Можливу кількість цифр добутку визначаємо за добутком найбільших відповідних множників:
1) Добуток двох одноцифрових чисел може мати до 2 цифр (9 • 9 = 81)
2) Добуток одноцифрового числа і двоцифрового може мати до 3 цифр (9 • 99 = 891)
3) Добуток одноцифрового числа і трицифрового може мати до 4 цифр (9 • 999 = 8991)
Добуток чисел позначається символом × або крапкою · в середині рядка, що є знаками множення.
Наприклад, 5 × 4 = 5 · 4 = 20В алгебраїчних виразах знаки множення здебільшого упускаються, наприклад : a × b = a · b = ab4 × a = 4 · a = 4a.
Знайдв добуток чисел 302и123?
Знайдв добуток чисел 302и123.
Знайдв добуток чисел 302и123?
Знайдв добуток чисел 302и123.
Сума яких двох чисел більша за їх добуток?
Сума яких двох чисел більша за їх добуток?
Добуток чисел 2 і 8?
Добуток чисел 2 і 8.
До суми чисел 135 i 7 додай добуток?
До суми чисел 135 i 7 додай добуток.
Добуток чисел 2200 и весе Установи 700?
Добуток чисел 2200 и весе Установи 700.
Добуток чисел 4і9 зменшити на 18?
Добуток чисел 4і9 зменшити на 18.
Разницу чисел 80 и 24 уменьшить на добуток чисел 6 и4?
Разницу чисел 80 и 24 уменьшить на добуток чисел 6 и4.
20 зменшити на добуток чисел 2 і 8?
20 зменшити на добуток чисел 2 і 8.
Число 15000збільш на добуток чисел 30і 500?
Число 15000збільш на добуток чисел 30і 500.
18€N (принадлежит. Только по середине одна палочка у знака).
Это третие выражение. Т. е. 25 + 25. Если мы сложим эти числа, то получится 50. Но также, для того, чтобы легче считать, можно записать это выражение как 25 * 2. Это будет тоже 50.
Саме слово «різниця» ми часто вживаємо в нашій повсякденній мові, пояснюючи їм відмінність чого-небудь. Наприклад, говорячи про відмінності різних думок і поглядів можна сказати про «різницю» в них. Часто цей термін вживається в науках, їм позначають різні кількісні показники, скажімо різниця електричних потенціалів, атмосферного тиску або кількості цукру в крові людини. Але перш за все «різниця» – це математичний термін і про цю його іпостась ми поговоримо в нашій статті.
Арифметичні дії з числами
Всі основні арифметичні дії з числами діляться на чотири великі групи:
Результат кожної з цих дій в свою чергу має свою унікальну назву:
Роль в математиці
Виходячи з вище написаного, нескладно дати визначення того, що таке різниця чисел, причому це поняття можна позначити відразу декількома способами:
Всі ці визначення різниці є правильними.
Як знайти різницю величин
Різниця – це результат віднімання одного числа від іншого. Перше з цих чисел, з якого робиться віднімання, називають зменшуваним, а друге число називається від’ємником, його як раз віднімають з першого числа. Отже, щоб знайти значення різниці чисел потрібно просто від зменшуваного відняти від’ємник.
Тут все гранично просто, але при цьому у нас з’явилося ще два додаткових терміна, які також треба знати:
Тож, для того, щоб знайти різницю необхідно знати значення зменшуваного та від’ємника, вони повинні бути відомі.
Часом необхідно вирішити задачу зворотну, при відомій різниці знайти зменшуване або від’ємник. Зробити це теж просто:
Приклади
Приклад 1. Знайти різницю двох величин. Дано: 20 — зменшуване, 15 — від’ємник. Рішення: 20 — 15 = 5 Відповідь: 5 – різниця величин.
Приклад 2. Знайти зменшуване. Дано: 48 — різниця, 32 — від’ємник. Рішення: 32 + 48 = 80 Відповідь: 80.
Приклад 3. Знайти від’ємник. Дано: 7 — різниця, 17 — зменшуване. Рішення: 17 — 7 = 10 Відповідь: 10.
І трохи більш складних прикладів, адже в математиці часто вираховують різницю з використанням не тільки двох, але і набагато більшої кількості компонентів, в яких можуть бути до того ж не тільки лише цілі числа, але і дробові, раціональні, ірраціональні числа.
Приклад 4. Знайти різницю трьох значень. Дано цілі значення: 56, 12, 4. 56 — зменшуване, 12 і 4 від’ємники. Рішення можна виконати двома способами. 1 спосіб (послідовне віднімання від’ємників): 1) 56 — 12 = 44 (тут 44 – отримана різниця двох перших величин, яка в другій дії буде зменшуваним); 2) 44 — 4 = 40. 2 спосіб (віднімання зі зменшуваної суми двох від’ємників, які в такому випадку називаються доданками); 1) 12 + 4 = 16 (де 16 – сума двох доданків, яка в наступній дії буде від’ємником); 2) 56 — 16 = 40. Відповідь: 40 – різниця трьох значень.
Приклад 5. Знайти різницю величин 7 і 18. Дано: 7 — зменшуване, 18 — від’ємник. Начебто все просто, але ж від’ємник у нас більше зменшуваного, як бути в такому випадку? В такому випадку діє наступне правило: якщо від’ємник більше зменшуваного, то різниця виявиться від’ємною або іншими словами, вона буде числом зі знаком мінус. Рішення: 7 — 18 = —11 Відповідь: —11 — від’ємне число зі знаком мінус.
Упорядкованою парою об’єктів х та y (позначається ) будемо називати сукупність двох об’єктів (не обов’язково різних), які розташовані у певному порядку. Поняття упорядкованої пари можна поширити й розглядати для будь-якого цілого додатного числа n³2 упорядковану n-ку об’єктів х1,…,хn (позначається ). Об’єкт хі називається і-м компонентом упорядкованої n-ки. Упорядковані n-ки називають також кортежами.
Декартовим добутком множин А та В (позначається А*В або А´В) називається множина
тобто множина усіх упорядкованих пар, побудованих з елементів множин А та В таким чином, що перший компонент кожної пари – це елемент множини А, а другий – елемент множини В.
тобто множина усіх упорядкованих n-ок, побудованих з елементів множин А1,…,Аn таким чином, що і-й компонент кожної n-ки належить множині Аі (і=1,…,n).
Між операцією декартова добутка та іншими операціями над множинами існують зв’язки. Доведемо, зокрема, що (АÈВ)´С=(А´С)È(В´С).
Поняття відношення
Термін «відношення» застосовується у математиці для позначення певного зв’язку між об’єктами. Відношенням R, заданим на множинах А та В, називається довільна підмножина декартова добутка А та В, тобто RÍА´В. Запис xRy означає ÎR. Іноді будемо задавати відношення на множинах А та В у вигляді xRy Û Р(х,у), де Р(х,у) – твердження, яке є необхідною й достатньою умовою того, що ÎR.
Прикладом бінарного відношення, заданого на множині N, є множина < | n1ÎN, n2ÎN, n1 | nÎN, mÎN, n та m – парні числа>. Прикладом бінарного відношення, заданого на множині людей, є множина < | l1,l2 – люди, l1 – брат l2>, яка описує такий тип родинного зв’язку, як «бути братом». Наступний приклад бінарного відношення – відношення включення, задане на булеані деякої множини А. Позначимо це відношення символом Í, тоді Í =< | S,TÎP(A), SÍT>. Якщо, наприклад, А=<1,2,3,4>, то упорядкована пара множин належить відношенню включення, оскільки <2,4>Í<1,2,4>, а упорядкована пара – ні, тому що <1,2>Ë<2,3,4>.
Бінарне відношення на множині А виду < | xÎA> називається відношенням тотожності на А, або діагоналлю множини А, й позначається iA. Елементи відношення iA назвемо діагональними елементами, або діагональними парами.
Розглянемо узагальнення поняття відношення, заданого на двох множинах. Відношенням R, заданим на множинах А1,…,Аn, називається довільна підмножина декартова добутка множин А1,…,Аn, тобто RÍА1´…´Аn.
Наприклад, множина S=< | n,m,kÎN, k=n+m> є тернарним відношенням на множині N, оскільки SÍN´N´N (вираз n,m,kÎN використано для скорочення запису й означає nÎN, mÎN, kÎN). Дане відношення складається з тих упорядкованих трійок невід’ємних цілих чисел, у яких число, що є третім компонентом, – це сума чисел, що стоять на першому й другому місцях трійки. Таким чином, трійка належить S, а трійка – ні. Множина Р=<x| х – людина, x – студент> є унарним відношенням, заданим на множині людей, й задає властивість «бути студентом».
Операції над відношеннями
Теорема 5. Нехай R, R1, R2, R3 – бінарні відношення на множині А. Тоді:
Види бінарних відношень
Відношення R на множині А називається асиметричним, якщо ÎR Þ ÏR, тобто для жодної пари, що належить асиметричному відношенню, у цьому відношенні не існує оберненої пари.
Відношення R на множині А називається рефлексивним, якщо для будь-якого хÎА ÎR, тобто іАÍR.
Відношення R на множині А називається антирефлексивним (або іррефлексивним), якщо для усіх х з А ÏR, тобто R не містить жодної діагональної пари множини А.
Відношення R на множині А називається транзитивним, якщо ÎR, ÎR Þ ÎR. Зрозуміло, що відношення R не транзитивне тоді й тільки тоді, коли для деяких x, у, z з множини А одночасно виконуються умови: ÎR, ÎR, ÏR.
Теорема 6. Нехай R – бінарне відношення на множині А. Тоді:
б) якщо R рефлексивне та транзитивне, то R*R=R.
Доведемо твердження б). Нехай ÎR*R. Це означає, що у множині А існує такий елемент z, що ÎR та ÎR. Але R транзитивне, тому ÎR, тобто R*RÍR. Покажемо, що RÍR*R. Нехай ÎR. Оскільки R рефлексивне, то ÎR, отже, ÎR*R, тобто RÍR*R. Таким чином, R=R*R.
