Урок 20 Бесплатно Дробные выражения
В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.
Дробные выражения
Для начала определимся с определением дробного выражения.
Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.
Пример:
Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: «Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?», то можно смело ответить: «Да, является!»
Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.
Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.
Примеры:
Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.
Примеры:
Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.
Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.
Например, существует следующее дробное выражение:
В данном случае \(\mathbf<3+10\cdot2>\) будет являться числителем, а \(\mathbf<2+\frac<1><2>>\)- знаменателем.
Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.
Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.
Примеры преобразования обычного выражения в дробное:
Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.
Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.
Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вычисление дробных выражений
Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.
Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.
Далее надо смотреть, что получилось:
Пример 1
Вычислим значение выражения \(\mathbf<\frac<1+2\cdot4><5-2>>\)
Решение:
Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:
В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.
Пример 2
Решение:
Сначала вычислим числитель и знаменатель:
В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:
Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.
Пример:
Решение:
Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:
В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.
Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:
Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Приемы для работы с дробными выражениями
Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.
Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.
Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.
Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.
Как же это относится к дробным выражениям?
Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.
Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!
Пример:
Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.
Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.
Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127
Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.
Это и будет значением этого выражения.
Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.
Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.
Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.
Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)
Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.
Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.
Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.
В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.
Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.
Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.
Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.
Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.
В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.
И парочка примеров на этот случай:
И в завершение еще дам такой пример:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Десять интересных математических фактов:
1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад
2. 2 и 5— единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5
3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно
4. В римской системе счисления не существует нуля
5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке
6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды
7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила
8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды
9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях
10. Ученый Муавр с помощью математики смог рассчитать дату своей смерти
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дробные рациональные выражения
Содержание:
Дробные рациональные выражения
Дробные рациональные выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Рациональная дробь и ее основное свойство
Любое дробное выражение (см. п. 48) можно преобразовать к виду 
, где Р и Q — многочлены. Такую дробь называют рациональной дробью.
Примеры рациональных дробей:
Основное свойство дроби выражается тождеством 
справедливым при условиях 
и 
здесь R — целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен. Например,
Значит, 
Например, 
Сокращение рациональных дробей
Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.
Пример:
Сократить дробь 
Решение:
Имеем 
Значит, 
Сокращение дроби выполнено при условии 
Приведение рациональных дробей к общему знаменателю
Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называют целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).
Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:
1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2) составить общий знаменатель, включив в произведение все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;
3) найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.
Пример:
Привести к общему знаменателю дроби
Решение:
Разложим знаменатели дробей на множители:
В общий знаменатель надо включить следующие множители: 
, а также наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. К (12, 18, 24) = 72. Значит, общий знаменатель имеет вид 
Дополнительные множители: для первой дроби 
для второй дроби 
для третьей дроби 
Значит, получаем
Сложение и вычитание рациональных дробей
Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:
Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Пример 1.
Упростить выражение 
Решение:
Выполним сложение данных дробей:
Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.
Пример 2.
Упростить выражение 
Решение:
Имеем 
Умножение и деление рациональных дробей
Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей:
Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:
Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем 1.
Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.
Пример 1.
Выполнить умножение 
Решение:
Использовав правило умножения дробей, получим
Пример 2.
Выполнить деление 
Решение:
Использовав правило деления дробей, получим
Возведение рациональной дроби в целую степень
Чтобы возвести рациональную дробь 
в натуральную степень 
, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение — числитель, а второе выражение — знаменатель результата:
Пример 1.
Преобразовать в дробь степень 
Решение:
Применив правила возведения в степень дроби и одночлена, получим 
При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество 
справедливое для всех значений переменных, при которых 
Пример 2.
Преобразовать в дробь выражение
Решение:
Преобразование рациональных выражений
Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой — целые выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.
Пример:
Решение:
Выполняя действия с рациональными дробями, получим:
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Объяснение дробных выражений для 6 класса
Дробные выражения — что это такое
Целыми выражениями называют такие выражения, которые включают в состав числа и переменные, а также действия сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю.
Целыми выражениями, например, являются:
Дробными выражениями называют такие выражения, которые, кроме действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю, включают в себя деление на выражение, содержащее переменные.
Дробными выражениями, например, являются:
x 2 + y 6 + 2 x 2 − y 2
Целые и дробные выражения объединены общим понятием рациональных выражений.
Дробь представляет собой выражение, записанное в виде:
Целые и дробные выражения имеют отличия в некоторых свойствах. Например, целое выражение обладает смыслом при каких-либо значениях переменных, которые включены в его состав. В связи с этим, отсутствуют ограничения по действиям для определения значения целого выражения.
Таким образом, дробные выражения имеют смысл только тогда, когда переменные, входящие в их состав, не обращают знаменатель в ноль.
Допустимые значения — такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
В рамках объяснения темы дробных выражений следует рассмотреть краткое понятие рациональной дроби.
Рациональной дробью называют такую дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами.
Примеры рациональных дробей:
x 2 + y 6 + 2 x 2 – y 2
Допустимые значения в случае рациональной дроби представляют собой такие значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.
Алгоритм поиска допустимых значений переменных в дроби:
Действия с дробями, как упростить со степенями
Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя дроби на одинаковое число значение дроби останется неизменным.
Ключевое свойство дроби можно рассмотреть на конкретном примере:
Привести дроби к общему знаменателю можно, последовательно выполняя следующие действия:
Алгоритм сложения дробей:
В качестве примера суммируем пару дробей:
Алгоритм вычитания дробей:
На практике вычитание дробей выполняют таким образом:
Умножение дробей заключается в умножении числителей и умножении знаменателей этих дробей.
Данное действие можно рассмотреть на примере задания:
При делении одной дроби на другую необходимо найти произведение числителя первой дроби и знаменателя второй дроби, а также произведение знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.
Разберем конкретный пример деления дробей:
Правила сокращения дробей со степенью:
Разберем записанные правила на наглядном примере:
Используя первое и второе правило из списка, решим задачу:
При решении задач с дробными выражениями полезно знать следующие формулы:
Рассмотрим наглядный пример применения данных формул:
13 3 + 3 · 13 2 · 7 + 3 · 13 · 49 + 7 3 = ( 13 + 7 ) 3 = 20 3 = 8000
Упростить решение дробных выражений также помогут следующие формулы:
В качестве примера упростим выражение:
Примеры с решением и ответами
Определить значение выражения:
Условием являются такие значения переменной х, при которых выражение обладает смыслом.
Дано выражение, значение которого требуется найти:
Определить значение выражения:
Данное выражение является равносильным:
Нужно определить значение этого выражения с такими t, при которых выражение имеет смысл.
В таком случае, при аналогичных t:
Дано выражение, значение которого требуется вычислить:
Определить значение следующего выражения с такими х, при которых оно имеет смысл:
С помощью формулы разности квадратов выполним преобразования:
Определить значение следующего выражения с такими m, при которых данное выражение не лишено смысла:
Воспользуемся формулой разности квадратов:
Определить g(1) при следующем условии:
Дано выражение, значение которого требуется определить:
В первую очередь обратимся к выражениям, заключенным в скобках. Попробуем привести их к общему знаменателю и выполнить деление полученных дробей:
6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 x + 1 ÷ 3 x 2 + x + 1 x + 1 =
6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 x + 1 · x + 1 3 x 2 + x + 1 =
6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1
6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1 ¯ 6 x 3 + 2 x 2 + 2 x ¯ 2 x + 3 9 x 2 + 3 x + 3 9 x 2 + 3 x + 3 ¯ 0
Заметим, что получился нулевой остаток. Таким образом, допустимо записать числитель дроби, как:
6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 = ( 2 x + 3 ) ( 3 x 2 + x + 1 )
6 x 3 + 11 x 2 + 5 x + 3 3 x 2 + x + 1 = ( 2 x + 3 ) ( 3 x 2 + x + 1 ) 3 x 2 + x + 1 = 2 x + 3
Найдем значение выражения, если x=2017:
Найти значение следующего выражения:
При расчетах следует учитывать, что:
Можно записать выражение в таком виде:
