Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Спектр сигнала.
При обсуждении переменного тока в одной из предыдущих статей (ссылка) мы познакомились с понятием гармонической (синусоидальной) функции. А бывают ли негармонические функции и сигналы и как с ними работать? В этом нам и предстоит сегодня разобраться 🙂 Кроме того, мы рассмотрим важнейшее понятие — амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигналов.
Гармонические и негармонические сигналы.
Здесь A — амплитуда сигнала, w — циклическая частота, а \phi — начальная фаза. Вы спросите — а как же синус? Разве синусоидальный сигнал не является гармоническим? Конечно, является, дело в том, что sin\alpha = cos(\frac<\pi><2>\medspace-\medspace \alpha) — то есть сигналы отличаются начальной фазой, соответственно, синусоидальный сигнал не противоречит определению, которое мы дали для гармонических колебаний 🙂
Вторым подклассом периодических сигналов являются негармонические колебания. Вот пример негармонического сигнала:
Как видите, несмотря на «нестандартную» форму, сигнал остается периодическим, то есть его форма повторяется через интервал времени, равный периоду.
Для работы с такими сигналами и их исследования существует определенная методика, которая заключается в разложении сигнала в ряд Фурье. Суть методики состоит в том, что негармонический периодический сигнал (при выполнении определенных условий) можно представить в виде суммы гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Важным нюансом является то, что все гармонические колебания, которые участвуют в суммировании, должны иметь частоты, кратные частоте исходного негармонического сигнала. Возможно это пока не совсем понятно, так что давайте рассмотрим практический пример и разберемся чуть подробнее 🙂 Для примера используем сигнал, который изображен на рисунке чуть выше. Его можно представить следующим образом:
Давайте изобразим все эти сигналы на одном графике:
В этой формуле U_k — амплитуда, а \phi_k — начальная фаза k-ой гармоники. Как мы уже упомянули чуть ранее, частоты всех гармоник кратны частоте первой гармоники, собственно, это мы и видим в этой формуле 🙂 U_0 — это нулевая гармоника, ее частота равна 0, она равна среднему значению функции за период. Почему среднему? Смотрите — среднее значения функции синуса за период равно 0, а значит при усреднении в этой формуле все слагаемые, кроме U_0 будут равны 0.
Амплитудный спектр сигнала.
Совокупность всех гармонических составляющих негармонического сигнала называют спектром этого сигнала. Различают фазовый и амплитудный спектр сигнала:
Давайте рассмотрим амплитудный спектр поподробнее. Для визуального изображения спектра используют диаграммы, представляющие из себя набор вертикальных линий определенной длины (длина зависит от амплитуды сигналов). На горизонтальной оси диаграммы откладываются частоты гармоник:
По горизонтальной оси могут откладываться как частоты в Гц, так и просто номера гармоник, как в данном случае. А по вертикальной оси — амплитуды гармоник, тут все понятно. Давайте построим амплитудный спектр сигнала для негармонического колебания, которое мы рассматривали в качестве примера в самом начале статьи. Напоминаю, что его разложение в ряд Фурье выглядит следующим образом:
У нас есть две гармоники, амплитуды которых равны, соответственно, 2 и 1.5. Поэтому на диаграмме две линии, длины которых соответствуют амплитудам гармонических колебаний. Фазовый спектр сигнала строится аналогично, за той лишь разницей, что используются начальные фазы гармоник, а не амплитуды.
Итак, с построением и анализом амплитудного спектра сигнала мы разобрались! Давайте перейдем к следующей теме сегодняшней статьи — к понятию амплитудно-частотной характеристики.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).
АЧХ является важнейшей характеристикой многих цепей и устройств — фильтров, усилителей звука и т. д. Даже простые наушники имеют свою собственную амплитудно-частотную характеристику. Что же она показывает?
АЧХ — это зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного сигнала. Как мы выяснили в первой части статьи, негармонический периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье. Но нас сейчас интересует, в первую очередь, аудио-сигнал, и выглядит он следующим образом:
Как видите, ни о какой периодичности здесь не идет и речи! Но, к счастью, существуют специальные алгоритмы, которые позволяют представить звуковой сигнал в виде спектра входящих в него частот. Мы сейчас не будем подробно разбирать эти алгоритмы, это тема для отдельной статьи 🙂 Просто примем тот факт, что они позволяют нам осуществить такое преобразование с аудио-сигналом.
Соответственно, мы можем построить диаграмму амплитудного спектра звукового сигнала. А пройдя через какую-либо цепь (к примеру, через наушники при воспроизведении звука) сигнал будет изменен. Так вот амплитудно-частотная характеристика как раз и показывает, какие изменения будет претерпевать входной сигнал при прохождении через ту или иную цепь. Давайте обсудим этот момент чуть поподробнее…
Итак, на входе мы имеем ряд гармоник. Амплитудная-частотная характеристика показывает, как изменится амплитуда той или иной гармоники при прохождении через цепь. Рассмотрим пример АЧХ:
Разберемся поэтапно, что же тут изображено… Начнем с осей графика АЧХ. По оси y мы откладываем величину выходного напряжения (или коэффициента усиления, как на данном рисунке). Коэффициент усиления мы откладываем в дБ, соответственно величина, равная 0 дБ, соответствует усилению в 1 раз, то есть амплитуда сигнала остается неизменной.
По оси x откладываются частоты входного сигнала. Таким образом, в рассматриваемом случае для всех гармоник, частоты которых лежат в интервале от 100 до 10000 Гц, амплитуда не изменится. А сигналы всех остальных гармоник будут ослаблены.
Практические примеры АЧХ аудио-устройств.
Частотный диапазон аудио-устройств обычно разбивают на низкие, средние и высокие частоты. Приблизительно это выглядит так:
Именно такую терминологию обычно можно встретить в разных программах-эквалайзерах, используемых для настройки звука. Теперь вы знаете, что красивые графики из таких программ являются именно амплитудно-частотными характеристиками, с которыми мы познакомились в сегодняшней статье 🙂
В завершении статьи посмотрим на пару АЧХ, полученных в программном эквалайзере:
Здесь мы можем видеть амплитудно-частотную характеристику усилителя. Причем усилены будут преимущественно средние частоты диапазона.
А здесь ситуация совсем другая — низкие и верхние частоты усиливаются, а в области средних частот для гармоник с частотой 500 Гц мы наблюдаем значительное ослабление.
А здесь усиливаются только низкие частоты. Аудио-аппаратура с такой АЧХ будет обладать высоким уровнем басов 🙂
На этом мы заканчиваем нашу сегодняшнюю статью… Спасибо за внимание и ждем вас на нашем сайте снова!
Гармонические колебания
На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно не понятно, зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.
АЧХ шума.
Лично мне после прочтения этих статей (например, этой ) не стало понятно, что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.
Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром, что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр, и понять, почему это так.
Статья не будет интересна тем, кто владеет теорией функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих :).
Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать неправильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу, опираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.
Пару слов о матчасти
Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии
Гармонические колебания
Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:
где A — длина вектора (амплитуда колебаний), φ — начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω — угловая скорость вращения, которая равна:
ω=2 πf, где f — частота в Герцах.
Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.
Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря, в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии. Для примера возьмём пилообразный сигнал.
Пилообразный сигнал
Его сумма будет представлена следующей формулой:
Если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим, как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:
Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно, проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы, и выглядит это всё так:
Вектора рисуют пилу.
Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.
Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), которое называется Преобразование Фурье.
Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)
Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу, как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.
Переходим к практическим упражнениям!
Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило, не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению, теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами :).
Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё, конечно, под Linux, но никакой специфики не использовал, по идее программа будет компилироваться и работать под другими платформами.
Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взят wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно тут.
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае) массив 16-ти битных данных (остроконечник) длиной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.
Для формирования звукового файла был взят пример здесь. Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут
Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:
Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению, которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767).
В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу:
Чистый ламповый синус
Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра)
График спектра
Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах.
Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять.
В данном случае просто логарифм амплитуды, умноженный на 10. Логарифмический масштаб удобно использовать при работе с сигналами.
Мне, честно говоря, не очень нравится анализатор спектра в этой программе, поэтому я решил написать свой с блекджеком и шлюхами, тем более, что это несложно.
Пишем свой анализатор спектра
Здесь может быть скучно, поэтому можете перейти сразу к следующей главе.
Поскольку я прекрасно понимаю, что тут портянки кода размещать нет смысла, те, кому реально интересно — сами найдут и поковыряют, а тем, кому это неинтересно, будут скучать, то я остановлюсь только на основных моментах написания анализатора спектра wav-файла.
Во-первых, нам wav-файл необходимо читать. Там необходимо прочитать заголовок, чтобы понять, что содержит данный файл. Я не стал реализовывать море вариантов чтения данного файла, а остановился только на одном. Пример чтения файла был взят отсюда практически без изменений, ИМХО — отличный пример. Там же есть реализация на питоне.
Следующее, что нам нужно, это быстрое преобразование Фурье. Это то самое преобразование, которое позволяет получить из конечного набора точек вектора исходных сигналов. Пусть вас пока это не пугает, дальше я объясню.
Опять же, велосипед изобретать не стал, а взял готовый пример отсюда.
Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью.
Для начала алокируем массивы:
Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла).
Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность
Гармонический сигнал
Гармонический сигнал — это гармонические колебания со временем распространяющиеся в пространстве, которые несут в себе информацию или какие-то данные и описываются уравнением:
— фаза гармонического сигнала; 
— время; 
— циклическая частота сигнала;
Модель гармонического сигнала используется при разложении сигналов в тригонометрический ряд Фурье.
Источники
Полезное
Смотреть что такое «Гармонический сигнал» в других словарях:
гармонический сигнал — ; А амплитуда гармоничного сигнала; w круговая частота; j начальная фаза Примечание Периодический сигнал может быть образован путем периодического повторения импульсов. Соответствующие термины и определения для такого сигнала вводятся так же, как … Справочник технического переводчика
Гармонический сигнал — 1. Гармонический сигнал А амплитуда гармоничного сигнала; w круговая частота; j начальная фаза Источник: ГОСТ 16465 70: Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Контрольный гармонический сигнал — Сигнал, по которому устанавливается оптимальная загрузка радиопередатчика. Его уровень должен быть выше среднего уровня группового сигнала УПС в зависимости от значения пик фактора сигнала Источник: ГОСТ 24695 81: Устройства прео … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Сигнал (техника) — Сигнал в теории информации и связи называется материальный носитель информации, используемый для передачи сообщений по системе связи. Сигналом может быть любой физический процесс, параметры которого изменяются в соответствии с передаваемым… … Википедия
Сигнал — У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнал (значения). Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшит … Википедия
Гармонический анализатор — вычислительное устройство для нахождения амплитуд гармоник сложных периодических функций (См. Периодическая функция). Применяются при динамических исследованиях кривошипно шатунных механизмов двигателей, для предварительной оценки влияния … Большая советская энциклопедия
Электрический сигнал — Сигнал это физический процесс, содержащий в себе некоторую информацию. На практике чаще всего используются электрические сигналы. При этом носителем информации является изменяющиеся во времени ток или напряжение в электрической цепи.… … Википедия
модулированный сигнал — Сигнал, мгновенные значения которого пропорциональны произведению мгновенных значений двух или более сигналов, взятых в один и тот же момент времени. Сигнал, являющийся результатом взаимодействия двух или более сигналов, называемого модуляцией.… … Справочник технического переводчика
Случайный сигнал — Случайные сигналы сигналы, мгновенные значения которых (в отличие от детерминированных сигналов) не известны, а могут быть лишь предсказаны с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть … Википедия
непрерывный сигнал — 06.01.20 непрерывный сигнал [ continuous wave]: Непрерывный гармонический сигнал заданной частоты, поступающий от устройства считывания/опроса и обеспечивающий электропитание пассивной радиочастотной метки, не подвергнутый амплитудной и/или… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Что такое гармоники и как они «появляются»?
Прочитав так много источников в Интернете, я до сих пор не могу понять, почему разные волновые формы имеют гармоники.
Например: при разработке схемы глупой амплитудной модуляции (АМ), которая помещает прямоугольную волну от микроконтроллера в антенну, как генерируются гармоники? Сигнал просто «включен» или «выключен», как появляются первая, третья и пятая гармоники и почему они становятся слабее?
Я слышал, что осциллографы могут измерять с точностью до пятой гармоники прямоугольной волны (или чего-то подобного), но почему это делает чтение другим? Являются ли эти гармоники несущественными в таких вещах, как передача данных (высокий = 1, низкий = 0), и имеют значение только в таких ситуациях, как аудио или RF?
Почему синусоидальные волны не имеют столько гармоник? Потому что форма волны всегда движется и не плоская, идущая вверх (треугольник) или горизонтальная (квадрат), а круговая с постоянно меняющимся значением?
Про осциллограф. Многие сигналы имеют большое количество гармоник, некоторые, как прямоугольная волна, в теории бесконечны.
Это частичная конструкция прямоугольной волны. Синий синус, который показывает 1 период, является основным. Тогда есть третья гармоника (у прямоугольных волн нет даже гармоник), фиолетовая. Его амплитуда составляет 1/3 от основной, и вы можете видеть, что она в три раза превышает частоту основной, потому что она показывает 3 периода. То же самое для пятой гармоники (коричневый). Амплитуда составляет 1/5 от основной и показывает 5 периодов. Добавление их дает зеленую кривую. Это еще не хорошая прямоугольная волна, но вы уже видите крутые края, и волнистая горизонтальная линия в конечном итоге станет полностью горизонтальной, если мы добавим больше гармоник. Так вот, как вы увидите прямоугольную волну на прицеле, если будет показана только пятая гармоника. Это действительно минимум, для лучшей реконструкции вам понадобится больше гармоник.
Как и любой несинусоидальный сигнал, AM-модулированный сигнал создает гармоники. Фурье доказал, что каждый повторяющийся сигнал может быть разложен на фундаментальную (ту же частоту, что и форма волны) и гармоники, частоты которых кратны фундаментальной. Это относится даже к неповторяющимся сигналам. Поэтому, даже если вы не видите, как они выглядят, анализ всегда возможен.
Это основной АМ-сигнал, а модулированный сигнал является произведением несущей и сигнала основной полосы частот. В настоящее время
s i n ( f C ) ⋅ s i n ( f M ) = c o s ( f C − f M ) − c o s ( f C + f M ) 2 ‘ role=»presentation»> s i n ( f C ) ⋅ s i n ( f M ) = c o s ( f C − f M ) − c o s ( f C + f M ) 2
Даже если ваш сигнал основной полосы является более сложным, вы можете разделить модулированный сигнал на отдельные синусоиды.
Ответ Pentium100 довольно полный, но я бы хотел дать более простое (хотя и менее точное) объяснение.
Просто пример: почему в воде вы обычно видите изогнутые волны? (ради этого игнорируйте эффект пляжа или ветра) Опять же, это потому, что форма требует меньше энергии для формирования, так как все скаты и края гладкие.
Есть красивая анимация от LucasVB, объясняющая разложение Фурье прямоугольной волны:
Эти изображения лучше объясняют разложение прямоугольной формы по гармоникам:
Вы можете разложить любую форму волны на бесконечную серию синусоид, сложенных вместе. Это называется анализом Фурье (если исходный сигнал повторяется) или преобразованием Фурье (для любого сигнала).
В случае повторяющегося сигнала (например, прямоугольной волны), когда вы выполняете анализ Фурье, вы обнаруживаете, что все синусы, составляющие сигнал, имеют частоты, которые являются целым числом, кратным частоте исходного сигнала. Они называются «гармониками».
Гармоники генерируются путем искажения синусоиды (хотя вы можете генерировать их отдельно).
Гармоники прямоугольной волны существуют потому, что скорость изменения (первая производная) прямоугольной волны состоит из очень высоких, внезапных пиков; бесконечно высокие пики, в предельном случае так называемой идеальной прямоугольной волны. Реальные физические системы не могут следовать за такими высокими скоростями, поэтому сигналы искажаются. Емкость и индуктивность просто ограничивают их способность быстро реагировать, поэтому они звонят.
Точно так же, как колокол не может быть ни смещен, ни искажен со скоростью, с которой он ударился, и поэтому он накапливает и высвобождает энергию (вибрируя) с более медленной скоростью, так и цепь не реагирует со скоростью, с которой он поражается шипы, которые являются краями прямоугольной волны. Это также звонит или колеблется, поскольку энергия рассеивается.
С практической точки зрения, причина, по которой гармоники «появляются», заключается в том, что схемы линейной фильтрации (а также множество схем нелинейной фильтрации), предназначенные для обнаружения определенных частот, будут воспринимать определенные низкочастотные сигналы как интересующие их частоты. Чтобы понять почему, представьте себе большую пружину с очень тяжелым весом, которая прикреплена к рукоятке через довольно свободную пружину. Вытягивание за ручку не будет сильно перемещать тяжелый груз напрямую, но большая пружина и груз будут иметь определенную резонансную частоту, и если вы будете перемещать ручку назад и вперед на этой частоте, вы можете добавить энергию к большому весу и пружине. увеличивая амплитуду колебаний до тех пор, пока она не станет намного больше, чем можно было бы произвести «напрямую», потянув за свободную пружину.
Предположим, что весу требуется одна секунда, чтобы качаться слева направо, и еще одна секунда, чтобы качаться назад. Теперь рассмотрим, что случится, если один переместит ручку из одного крайнего движения в другое, которое раньше, но задержится на три секунды с каждой стороны вместо одной секунды. Каждый раз, когда кто-то перемещает рукоятку из одной крайности в другую, вес и пружина будут по существу иметь то же положение и скорость, что и две секунды ранее. Следовательно, к ним будет добавлено столько энергии, сколько было бы за две секунды до этого. С другой стороны, такое прибавление энергии будет происходить только на треть чаще, чем когда «задержка времени» составляла всего одну секунду. Таким образом, перемещение рукоятки назад и вперед с частотой 1/6 Гц добавит к весу в три раза больше энергии в минуту, чем при перемещении рукоятки назад и вперед с частотой 1/2 Гц. Подобное происходит, если перемещать рукоятку назад и вперед на 1/10 Гц, но, поскольку движения будут на 1/5 так же часто, как на 1/2 Гц, мощность будет 1/5.
Теперь предположим, что вместо того, чтобы время задержки было нечетным кратным, каждый делает его четным (например, две секунды). В этом сценарии положение веса и пружины для каждого движения слева направо будет таким же, как и его положение при следующем движении справа налево. Следовательно, если ручка добавляет энергию к пружине в первой, такая энергия будет по существу отменена последней. Следовательно, весна не будет двигаться.
Если вместо того, чтобы совершать экстремальные движения с рукояткой, ее перемещают более плавно, то при более низких частотах движения рукоятки может быть больше раз, когда кто-то борется с движением комбинации вес / пружина. Если перемещать рукоятку в форме синусоидальной волны, но на частоте, существенно отличающейся от резонансной частоты системы, энергия, передаваемая в систему при нажатии «правильного» пути, будет довольно хорошо уравновешена принимаемой энергией. выход из системы толкает «неправильный» путь. Другие модели движения, которые не так экстремальны, как прямоугольная волна, будут, по крайней мере, на некоторых частотах, передавать в систему больше энергии, чем вынимается.
