Что такое невыпуклый четырехугольник
math4school.ru
Четырёхугольники
Основные определения и свойства
Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:
Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:
Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:
Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:
В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.
Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:
Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:
MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).
Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:
Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.
Описанные четырёхугольники
Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.
Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:
Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:
Площадь описанного четырёхугольника:
где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.
Площадь описанного четырёхугольника:
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.
Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:
Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то
∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.
Вписанные четырёхугольники
Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.
Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:
Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:
Площадь вписанного четырёхугольника:
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.
У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.
Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:
Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:
∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:
Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:
Площадь параллелограмма можно определить:
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:
В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:
Площадь ромба можно определить:
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:
Площадь прямоугольника можно определить:
Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:
У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.
Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:
При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:
Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:
Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:
Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:
Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:
В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:
Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:
Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:
Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:
Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:
У равнобокой трапеции:
Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:
Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Площадь трапеции можно определить:
Дельтоид
Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.
Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.
Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.
В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.
Площадь любого дельтоида можно определить:
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.
Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.
Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.
Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.
Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:
Ортодиагональные четырёхугольники
Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.
Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:
Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:
Четырехугольник
Определение четырехугольника
Определение 1. Четырехугольник − это замкнутая ломаная линия, состоящая из четырех звеньев.
Определение 2. Четырехугольник − геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и последовательно соединенные четырьмя отрезками, называемыми сторонами четырехугольника.
Объединение четырехугольника и ограниченной им части плоскости также называют четырехугольником.
Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью четырехугольника, а другая внешней областью четырехугольника.
Виды четырехугольников
Четырехугольники бывают следующих видов:
        |
Обозначение четырехугольника
Обозначают четырехугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют четырехугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, четырехугольник на рисунке 8 называют \( \small A_1A_2A_3A_4 \) или \( \small A_4A_3A_2A_1 \) (Рис.8).
 |
Соседние вершины четырехугольника
Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
На рисунке 8 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)
Смежные стороны четырехугольника
Стороны четырехугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.
На рисунке 8 стороны \( \small A_2A_3 \) и \( \small A_3A_4 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_3. \)
Простой четырехугольник. Самопересекающийся четырехугольник
Четырехугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).
   |
На рисунках 9 и 9.1 изображены простые четырехугольники так как стороны четырехугольников не имеют самопересечений. А на рисунке 10 четырехугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой четырехугольник называется самопересекающийся.
Выпуклый четырехугольник
Четырехугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.
 |
На рисунке 11 четырехугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ p, \ q, \) проходящих через стороны четырехугольника. Поэтому такой четырехугольник выпуклый.
 |
На рисунке 12 прямая \( \small m\) делит четырехугольник на две части, т.е. четырехугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно, этот четырехугольник не является выпуклым.
Правильный четырехугольник
Простой четырехугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Квадрат является правильным четырехугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°. Среди четырехугольников других правильных четырехугольников не существует.
На рисунке 5 изображен правильный четырехугольник (квадрат), так как у данного четырехугольника все стороны равны и все углы равны. Четырехугольник (ромб) на на рисунке 4 не является правильным, так как все стороны четырехугольника равны, но все его углы не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным четырехугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.
Периметр четырехугольника
Сумма всех сторон четырехугольника называется периметром четырехугольника. Для четырехугольника \( \small A_1A_2A_3A_4 \) периметр вычисляется из формулы:
Угол четырехугольника
Углом (внутренним углом) четырехугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами четырехугольника, сходящимися к этой вершине. Если четырехугольник выпуклый, то все углы четырехугольника меньше 180°. Если же четырехугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small \alpha \) на рисунке 13).
 |
Внешний угол четырехугольника
Внешним углом четырехугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу четырехугольника при данной вершине.
 |
На рисунке 14 угол α является внутренним углом четырехугольника при вершине \( \small A_4, \) а углы β и γ являются внешними углами четырехугольника при этой же вершине. Очевидно, что при каждой вершине есть два внешних угла.
Диагональ четырехугольника
Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины четырехугольника.
Очевидно, что у четырехугольника две диагонали.
Сумма углов четырехугольника
Для любого простого четырехугольника по крайней мере один диагональ делит его на два треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому сумма углов простого четырехугольника равна 360°.
Сумма внешних углов четырехугольника
| \( \small 180°-\angle A_1 \) \( \small +180°-\angle A_2 \) \( \small +180°-\angle A_3 \) \( \small +180°-\angle A_4 \)\( \small =720°-(\angle A_1+\angle A_2+\angle A_3+\angle A_4 )\) \( \small =720°-360°=360°. \) |
Задача 1. Доказать, что длина любой стороны четырехугольника меньше суммы длин трех его сторон.