Что такое неявное задание функции кратко

Что такое неявное задание функции кратко

ПРИМЕР 1. Построение графиков неявных функций одной переменной.

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

ПРИМЕР 2. Вычисление производных функций, заданных неявно.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Способы задания функций

Существуют следующие способы задания функции y = f ( x ) :

Явный аналитический способ задания функции

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Неявный способ задания функции

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):

.

Табличный способ задания функции

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных расчетах.

Источник

Неявная функция

Содержание

Примеры [ править ]

Обратные функции [ править ]

Алгебраические функции [ править ]

Решение относительно y дает явное решение:

Предостережения [ править ]

Неявная дифференциация [ править ]

В исчислении метод, называемый неявным дифференцированием, использует цепное правило для дифференцирования неявно определенных функций.

Примеры [ править ]

Пример 1. Рассмотрим

В качестве альтернативы можно полностью дифференцировать исходное уравнение:

тот же ответ, что и полученный ранее.

Пример 2. Примером неявной функции, для которой неявное дифференцирование проще, чем использование явного дифференцирования, является функция y ( x ), определяемая уравнением

Неявно дифференцировать исходное уравнение существенно проще:

что дает результат

который определен для

Общая формула производной неявной функции [ править ]

Теорема о неявной функции [ править ]

Говоря менее техническим языком, неявные функции существуют и могут быть дифференцированы, если кривая имеет не вертикальную касательную. [2] : §11.5

В алгебраической геометрии [ править ]

В дифференциальных уравнениях [ править ]

Решения дифференциальных уравнений обычно выражаются неявной функцией. [3]

Приложения в экономике [ править ]

Предельная ставка замещения [ править ]

Предельная ставка технической замены [ править ]

Оптимизация [ править ]

Источник

Неявные функции

Полезное

Смотреть что такое «Неявные функции» в других словарях:

Параметрическое представление функции — Параметрическое представление разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину параметр. Содержание 1 Параметрическое представление функции 2 Параметрическое представление урав … Википедия

Параметрическое представление — функции, выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных Параметров. В случае двух переменных х и у зависимость между ними F (х, у) = 0 может быть геометрически истолкована как… … Большая советская энциклопедия

Параметрическое представление — Пример параметрической кривой. Параметрическое представление используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается … Википедия

Еругин, Николай Павлович — [р. 1 (14) мая 1907] сов. математик, акад. АН БССР (с 1956). Чл. КПСС с 1942. В 1932 окончил Лен. ун т. С 1934 преподавал там же (с 1943 проф.). В 1939 41 и 1951 57 работал в Лен. отделении Математич. ин та АН СССР. С 1957 работает в Ин те физики … Большая биографическая энциклопедия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ — дефиниция (лат. defenitio ограничение) логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Напр., обычное определение термометра указывает, что это, во первых, прибор и, во вторых, именно тот, с помощью которого измеряется температура. Важность … Философская энциклопедия

ЗНАНИЕ НЕЯВНОЕ — скрытое, молчаливое, имплицитное (от лат. implicite в скрытом виде, неявно; противоположное explicite), периферийное в отличие от центрального, или фокального, т.е. находящегося в фокусе сознания. Эмпирич. базис личностного молчаливого… … Энциклопедия культурологии

Разностная схема — Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, — ОПРЕДЕЛЕНИЕ, дефиниция (от лат. «definitio» – «предел», «граница») – логическая процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка. Т.к. значения терминов зависят от их смыслов, то всякий раз, придавая через определение какой либо… … Философская энциклопедия

Источник

MT1205: Математический анализ для экономистов

Аналитическое задание функции

Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом, если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции.

Пример

Так, например, в физике при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой %%v = v_0 + a t%%, а формула для перемещения %%s%% тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от %%0%% до %%t%% записывается в виде: %% s = s_0 + v_0 t + \frac <2>%%.

Кусочно-заданные функции

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий — алгебраические (сложение, умножение и др.) — хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.

При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию, имеющую при данном значении аргумента более одного значения.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end

t \in T \subseteq \mathbb,

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение, которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m

\forall , m \in \mathbb%%, называемую целой частью %%x%% (или «антье от %%x%%»), описывают обычно словами: «Наибольшее целое число, не превосходящее %%x%%».

Источник