Что такое неявное задание функции

Способы задания функций

Существуют следующие способы задания функции y = f ( x ) :

Явный аналитический способ задания функции

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Неявный способ задания функции

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):

.

Табличный способ задания функции

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных расчетах.

Источник

Что такое неявное задание функции

Предположим, что значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены его перенести налево, в общем случае имеет вид

имеет место уже тождественно относительно х.

Возьмем, например, уравнение

оно, очевидно, определяет у как двузначную функцию от х в промежутке , именно

И, если вместо у подставить в уравнение (1а) эту функцию, то получится тождество.

Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Так обстоит дело далеко не всегда. Если взять уравнение

которое нам уже встречалось [при других лишь обозначениях переменных, 83], то мы знаем, что этим уравнением у определяется как однозначная функция от х, хотя в конечном виде она через элементарные функции и не выражается.

Функция называется неявной, если она задана при посредстве неразрешенного (относительно уравнения (1); она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Читателю ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции и не имеют отношения к ее природе. [Строго говоря, противопоставление неявного и явного задания функции с полной четкостью возможно лишь, если под явным заданием разуметь явное аналитическое задание; если же, в качестве явного, допускать задание с помощью любого правила [45], то задание функции у от х с помощью уравнения (1) ничем не хуже всякого другого.]

Сейчас нас будет интересовать лишь вопрос о существовании и однозначности теявнот функции (равно как и о других ее свойствах), независимо от возможности представить ее в «явном» виде аналитической формулой. Впрочем, в этой постановке вопрос для нас не нов; с частным случаем его мы имели дело, когда речь шла о существовании и о свойствах обратной функции, и уравнением

переменная х определялась как «неявная» функция от у.

Поучительна геометрическая трактовка указанного вопроса. Уравнение (1), при известных условиях, выражает кривую на плоскости [например, уравнение (1а), как известно, выражает эллипс (рис. 111)]; в этом случае оно называется неявным уравнением кривой. Вопрос заключается в том, может ли кривая (1) (или ее часть) быть выражена обычным уравнением вида с однозначной функцией справа; геометрически это означает, что кривая (или ее часть) пересекается прямой, параллельной оси у, лишь в одной точке.

Если мы желаем иметь однозначную функцию, то как видно на примере того же эллипса, нужно ограничить не только область изменения х, но и область изменения у.

Мы будем говорить, для краткости, что в прямоугольнике уравнение (1) определяет у как однозначную

функцию от х, если при каждом значении х в промежутке уравнение (1) имеет один, и только один, корень у в промежутке

Обычно нас будет интересовать определенная точка удовлетворяющая уравнению (1) (лежащая на кривой), и в роли упомянутого прямоугольника будет фигурировать окрестность этой точки. Так, например, в случае эллипса (рис. 111), очевидно, можно утверждать, что уравнение (1а) определяет ординату у как однозначную функцию от абсциссы х в достаточно малой окрестности любой точки эллипса, кроме вершин его на большой оси.

Источник

Совершенный код: явные и неявные параметры функций

В динамических языках есть два основных подхода при проектировании входных параметров функций: первый – использовать явные, позиционные аргументы, и второй – передавать структуру, внутри которой должно находиться все то, что ожидает функция. Явный и неявный способы передачи одинаково часто встречаются в реальном коде и, при этом, не всегда понятно, какой способ стоит предпочесть для конкретной функции. Именно об этом мы и поговорим.

Для начала рассмотрим один простой пример – функцию, которая находит максимальное число среди переданных:

Теперь про недостатки. Главный недостаток — в жесткой завязке на аргументы. При изменении количества аргументов, включая добавление и удаление параметров по умолчанию, придется переписывать все места, где функция используется. Особенно это актуально в случае высокоуровневых функций, сквозь которые проходит множество данных:

При использовании неявных аргументов ситуация меняется на противоположную. Резко падает уровень самодокументируемости. Без описания или анализа содержимого функции сложно понять, что ей можно передавать. С другой стороны, у таких функций редко меняется определение, так как количество передаваемых данных расширяется автоматически:

Какой способ лучше в той или иной ситуации? Исходя из вышесказанного, можно заметить, что явные аргументы лучше всего работают с простыми и низкоуровневыми функциями, например математическими. Именно поэтому все функции для работы со строками или числами во всех языках имеют явные аргументы. То же самое касается практически всех остальных встроенных функций и методов.

Это относится и к пользовательским функциям, которые имеют четкую, редко меняющуюся структуру. Обычно с небольшим числом аргументов.

С неявными чуть сложнее. Вот список ситуаций, в которых их использовать лучше:

Когда данных много и, особенно, если они могут часто меняться в процессе. Или среди этих параметров много необязательных. Пример с пользователем как раз об этом. Нередко данные в таких ситуациях приходят в виде объекта (ассоциативного массива) и их, в принципе, удобнее передавать всем скопом сразу. Кроме того, такой подход часто используют для конфигурирования:

Библиотечные функции, которые могут работать с произвольными параметрами и структурами. Частая ситуация — это ORM или библиотека для запросов к какой-нибудь системе, например, GitHub. В этой ситуации разработчик библиотеки просто не знает и часто не может знать, что и как собирается делать пользователь, поэтому оставляет конкретное наполнение на усмотрение тех, кто использует его код:

В некоторых языках, таких как python или ruby, существуют специальные именованные параметры. Они явно прописываются в определении как позиционные параметры, что делает их самодокументируемыми, с другой стороны, их можно передавать в любом порядке указывая имя параметра при вызове. Такой способ не заменяет остальные, но делает код проще в некоторых случаях.

Но не все ситуации можно так легко разложить. Там, где непонятно, что делать, рекомендуется работать с явными аргументами, и только потом по необходимости переходить к неявным. Главный ориентир – здравый смысл.

Источник

Что такое неявное задание функции

ПРИМЕР 1. Построение графиков неявных функций одной переменной.

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

ПРИМЕР 2. Вычисление производных функций, заданных неявно.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.

Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (1).

Примеры:

Решение.

Найдем частные производные:

Решение.

Найдем частные производные:

Решение.

Решение.

Найдем частные производные:

Решение.

Найдем частные производные:

Решение.

Решение.

Найдем частные производные

Решение.

Найдем частные производные

Решение.

Найдем частные производные

Производные второго порядка находим, дифференцируя найденные производные первого порядка по соответствующим переменным.

Источник