Что такое нод чисел в математике
Как находить наибольший общий делитель (НОД) двух чисел
Одной из задач, вызывающих проблему у современных школьников, привыкших к месту и не к месту использовать калькуляторы, встроенные в гаджеты, является нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и более чисел.
Невозможно решить никакую математическую задачу, если неизвестно, о чём собственно спрашивают. Для этого нужно знать, что означает то или иное выражение, используемое в математике.
Общие понятия и определения
Необходимо знать:
В математике приняты следующие записи:
Различные способы найти НОД
Проще всего ответить на вопрос как найти НОД в том случае, когда меньшее число является делителем большего. Оно и будет в подобном случае наибольшим общим делителем.
Например, НОД (15;45) = 15, НОД (48;24) = 24.
Но такие случаи в математике являются весьма редкими, поэтому для того, чтобы находить НОД используются более сложные приёмы, хотя проверять этот вариант перед началом работы все же весьма рекомендуется.
Способ разложения на простые сомножители
Если необходимо найти НОД двух или более различных чисел, достаточно разложить каждое из них на простые сомножители, а затем произвести процесс умножения тех из них, которые имеются в каждом из чисел.
Пример 1
Рассмотрим, как находить НОД 36 и 90:
НОД (36;90) = 1*2*3*3 = 18.
Теперь посмотрим как находить то же самое в случае трёх чисел, возьмём для примера 54; 162; 42.
Как разложить 36 мы уже знаем, разберёмся с остальными:
Таким образом, НОД (36;162;42) = 1*2*3 = 6.
Следует заметить, что единицу в разложении писать совершенно необязательно.
Рассмотрим способ, как просто раскладывать на простые множители, для этого слева запишем необходимую нам цифру, а справа станем писать простые делители.
Разделять колонки можно, как знаком деления, так и простой вертикальной чертой.
Евклидов способ
Этот вариант известен человечеству ещё со времён древнегреческой цивилизации, он во многом проще, и приписывается великому математику Евклиду, хотя весьма похожие алгоритмы применялись и ранее. Этот способ заключается в использовании следующего алгоритма, мы делим большее число с остатком на меньшее. Затем наш делитель делим на остаток и продолжаем так действовать по кругу пока не произойдёт деление нацело. Последнее значение и окажется искомым наибольшим общим делителем.
Приведём пример использования данного алгоритма:
попробуем выяснить какой НОД у 816 и 252:
Итак, по завершении нашего процесса мы получили НОД (816;252) = 12.
Действия при необходимости определения НОД если задано более двух значений
Мы уже разобрались, что делать в случае, когда имеется два различных числа, теперь научимся действовать, если их имеется 3 и более.
При всей кажущейся сложности, данная задача проблем у нас уже не вызовет. Сейчас мы выбираем два любые числа и определяем искомое для них значение. Следующим шагом отыскиваем НОД у полученного результата и третьего из заданных значений. Затем снова действуем по уже известному нам принципу для четвёртого пятого и так далее.
Заключение
Итак, при кажущейся большой сложности поставленной перед нами изначально задачи, на самом деле все просто, главное уметь выполнять безошибочно процесс делений и придерживаться любого из двух описанных выше алгоритмов.
Видео
С помощью видео вы сможете узнать, как найти наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства
Что такое общие делители
Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.
В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.
Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.
Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.
Что такое наибольший общий делитель (НОД)
Переходим к формулировке основного определения.
Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.
Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.
Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.
Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.
На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).
Основные свойства НОД и алгоритм Евклида
У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.
Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.
Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.
Докажем это утверждение.
Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.
Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.
Перейдем к другим свойствам.
Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:
Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.
Вычисление НОД — ошибка, которой не замечают
Что такое НОД, все знают еще со школы. Для тех, кто подзабыл, напомню: НОД — наибольший общий делитель, делящий два целых числа без остатка. Например, НОД чисел 100 и 45 равен 5, а НОД чисел 17 и 7 равен 1. Существует несколько различных алгоритмов поиска этого числа. Однако, несмотря на то, что это достаточно простые алгоритмы, часто совершают одну маленькую, но очень существенную ошибку.
Алгоритмы вычисления НОД
Естественно, чаще всего пишут первый вариант — он легко запоминается, быстро пишется и достаточно быстро работает.
Претесты
Реализации корректно работают на таких тестах:
Естественно, они будут работать и на подобных тестах, где в качестве аргументов выступают целые неотрицательные числа. Но что, если…
Первые тесты с подвохом
… если заменить одно из чисел нулем? Например так:
Классический алгоритм Евклида (№3) уже попадает в бесконечный цикл.
Копаем глубже
Согласно определению, НОД может быть определен для любых двух целых чисел. Так почему бы не попробовать тесты, где одно из чисел — отрицательное:
Все становится еще интереснее. Первые две реализации выдают в качестве ответа -5. Третий алгоритм снова попадает в бесконечный цикл. Вместе с ним в бесконечном цикле оказывается пятый алгоритм. Четвертый падает по StackOverFlow — скорее всего тоже попадает в бесконечный цикл.
Но ведь ответ -5 — неправильный. По определению НОД — наибольший общий делитель. А таковым является число 5. Ведь и первое, и второе число делятся без остатка на 5. Значит и первые две реализации не дают верный ответ.
Почему решения №№3-5 попадают в бесконечный цикл?
Алгоритм Евклида попадает в цикл из-за бесконечного увеличения аргументов, если один из них отрицательный. Действительно, если посмотреть на эти строки, то можно заметить, что при отрицательном a (или b) операция вычитания заменяется сложением.
Аналогичное происходит в четвертом и пятом алгоритме:
В ситуации, когда a или b равны 0, то происходит бесконечное вычитание нуля, которое никаким образом не меняет значения аргументов.
Так что же не так?
Все эти алгоритмы корректны для входных данных, когда оба числа a и b — целые неотрицательные числа. Но вспомним еще раз — НОД существует для любых двух целых чисел.
Что же делать?
В качестве аргументов в функцию можно передавать абсолютное значение чисел, тогда ответ будет корректен:
Второй способ решения задачи — возвращать абсолютное значение ответа:
Второй вариант гораздо предпочтительнее: будет производиться меньше лишних вычислений, чем в первом варианте.
Итоги
Мы рассмотрели пять различных вариантов вычисления наибольшего общего делителя. Для каждого из них мы указали входные данные, на которых ответ существует, но решение «падает», а также способ решения проблемы.
Такие небольшие ошибки чаще всего допускаются по причине того, что не замечают «скользкие» места решения какой-то задачи. Часть из них отлавливается в процессе тестирования, а часть остается незамеченной.
В ситуации с вычислением НОД почти все реализации приведены с ошибкой. В Сети я нашел лишь парочку корректно работающих решений, остальные идентичны тем, что приведены в начале поста.
Наибольший общий делитель
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Первый способ записи НОД
НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Второй способ записи НОД
На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Нахождение НОД по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители
Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».
Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:
Решение
Решение
Решение
Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители
Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.
Решение
Найдем все простые множители чисел 72 и 96 :
72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3
96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3
Нахождение НОД трех и большего количества чисел
Решение
А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.
Решение
Нахождение НОД отрицательных чисел
Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и — n имеют одинаковые делители.
Решение
Решение