Что такое обратная дробь

Обратные Числа

и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь.

называют обратной дроби.

опять «перевернуть», мы получим исходную дробь.

Поэтому такие дроби как

называют взаимно обратными.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

записать его в виде неправильной дроби;

полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

И так мы помним правило

Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.

Примеры обратных чисел.

Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.

Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.

В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как

натуральное число a и обратное ему число — как

Чтобы проверить, являются ли два числа обратными, надо найти их произведение. Если произведение равно единице, числа — взаимно-обратные, в противном случае числа обратными не являются.

Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.

На практике обычно поступают проще.

Чтобы найти дробь, обратную обыкновенной дроби, числитель и знаменатель данной дроби меняют местами (дробь «переворачивают»).

Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу.

Смешанные и десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные дроби, а затем «переворачивают» и, если нужно, выделяют целую часть.

В алгебре по аналогии с взаимно-обратными числами вводится понятие взаимно-обратных выражений, в частности, обратных дробей.

Надеемся мы вам помогли, оставь отзыв и расскажи как ты понял( а) эту тему.

Источник

Взаимно обратные числа

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение взаимно обратных чисел

С предыдущих уроков математики мы знаем: если прибавить или вычесть из числа нуль — оно не изменится. Точно также, если умножить или разделить число на единицу.

Ноль — нейтральный элемент для сложения и вычитания. При этом числа, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.

Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Поэтому симметричными называют числа, чье произведение дает единицу.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Обратное число к данному числу — это такое число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение двух единиц равно 1, то по определению числа 1 и 1 — взаимно обратные.

Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.

Как найти число, обратное данному числу

Иногда число, обратное данному числу, очевидно. Так бывает с натуральными числами и обыкновенными дробями. В других случаях приходится проводить вычисления. Например, с иррациональными и комплексными числами.

Рассмотрим каждый отдельный случай нахождения числа, обратного данному числу.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.

Чтобы это проверить, выполним умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — получим 1. Значит дроби a/b и b/a — взаимно обратные числа.

Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.

Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, обратное данной обыкновенной дроби без каких-либо вычислений.

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно записать натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.

Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Значит n и 1/n — взаимно обратные числа.

Отдельно отметим число, обратное натуральному числу 1. Число, обратное единице, это единица. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Найти число, обратное смешанному числу

Напомним, что смешанное число выглядит так: A b/c. Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, а уже после найти число, обратное этой дроби. Как это работает рассмотрим на примере.

Пример

Найти число, обратное смешанному числу

Сначала выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь:

Число, обратное дроби 65/9, есть дробь 9/65. Поэтому, смешанному числу обратно число 9/65.

Ответ: и 9/65 взаимно обратные числа.

Найти число, обратное десятичной дроби

Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Поэтому найти число, обратное конечной или периодической десятичной дроби, можно через поиск числа, которое обратно обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.

Пример 1

Найти число, которое обратно десятичной дроби 5,128.

Переведем конечную десятичную дробь в обыкновенную:

Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641. Это и есть решение задачи.

Пример 2

Какое число является обратным для периодической десятичной дроби 2,(18)?

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:

Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, числом, обратным исходной десятичной дроби 2,(18), является дробь 11/24.

Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, которые обратны им, также записывают в виде дробных выражений.

Например, иррациональному числу обратно число , а иррациональному числу обратно число

Взаимно обратные числа с корнями

Важно запомнить, что вид взаимно обратных чисел может отличаться от a и 1/a. Поэтому нужно быть внимательным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Рассмотрим на примере, как это бывает.

Пример

Вычислим произведение этих чисел:

Так как в ответе мы получили единицу и мы знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, значит эти числа можно назвать взаимно обратными.

Ответ: да, число взаимно обратны.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, которое равно какой-то степени числа a. То есть, число a возведено в степень b. Обратным числу ab будет число a-b. Проверим.

Пример

Взаимно обратные числа с логарифмами

У логарифма числа a по основанию b обратное число равно логарифму числа b по основанию a. То есть log _b a и log _a b — взаимно обратные числа.

Действительно, из свойств логарифма следует, что

, откуда log _b a * log _a b = 1.

Пример

Записать число, которое обратно логарифму числа 3 по основанию

Число, обратное числу , выглядит так:

Ответ:

Найти число, обратное комплексному числу

Сейчас узнаем, как находить число, обратное комплексному числу z.

Пример 1

Найти число, обратное комплексному числу 4 + i.

4 + i =

Умножим числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + i.

Ответ:

или

Действительно, и

Пример 2

Определить число, обратное комплексному числу

В этом примере r = 2 и , откуда 1/r = 1/2 и

Следовательно, нужное нам обратное число равно

Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только что это доказали.

Ответ:

Неравенство с суммой взаимно обратных чисел

В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — давайте ее сформулируем и узнаем ключевое свойство.

Теорема

Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

Доказательство теоремы:

Нам известно, что среднее арифметическое положительных чисел a и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, то есть,

Если в качестве b мы возьмем число, обратное a, то полученное неравенство будет выглядеть так: откуда и , что и требовалось доказать.

Пример

Вычислить сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,

Источник

Деление на дроби. Обратные дроби

Содержание

Правило деления на дробь очень похоже на правило умножения, и также допускает сокращение дробей. Познакомимся с ним подробнее.

Деление натурального числа на дробь

Дроби тесно связаны с делением, даже черта, отделяющая числитель от знаменателя, является знаком деления.

Известно, что при умножении натурального числа на дробь число умножается на числитель, а знаменатель остаётся без изменения. Получается, например, так:

Но что же будет, если мы будем не умножать число на дробь, а делить?

При делении на дробь число умножают на её знаменатель и делят на её числитель.

Мы словно «переворачиваем» дробь. У нас получается обратная дробь (подробнее об обратных дробях мы поговорим немного позднее).

Буквами это можно записать так:

Если нам нужно разделить целое число на дробь, это как если бы мы хотели определить, сколько дробных кусочков содержится в этом числе.

Давайте немного потренируемся. Решим вот такой пример:

Ещё один пример для тренировки:

Такой пример можно решить двумя способами.

Показать первый способ

Можно решать всё по порядку: умножить число на знаменатель и разделить на числитель.

У нас получилась неправильная дробь. При сокращении видно, что она делится нацело:

Показать второй способ

Умение сокращать дроби также пригодится нам при делении дроби на дробь.

Деление дробного числа на дробное число

При делении дроби на дробь применяется тот же принцип, что и при делении натурального числа на дробь: нам нужно умножить делимое на знаменатель и разделить на числитель.

Интересно то, что результат деления, частное, у нас получился больше, чем делимое. С другой стороны, мы помним, что при умножении числа на правильную дробь произведение получается меньше, чем изначальное число. Так что неудивительно, что при делении происходит противоположное.

При делении дробей также широко применяется сокращение.

Лучше производить его, когда делитель уже «перевёрнут», иначе можно запутаться и сократить не те части дроби.

Решите пример, сократив множители, где это возможно:

Как видите, деление дробных чисел – это совсем не сложно. Оно очень похоже на умножение дробей. Иногда правило деления на дробь даже формулируют так:

Для того чтобы разделить натуральное или дробное число на дробь, нужно умножить делитель на дробь, обратную данной.

Давайте поподробнее разберёмся, что же представляют из себя обратные дроби.

Обратные дроби

То есть обратная дробь – эта та самая «перевёрнутая» дробь.

Таким образом, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно просто поменять числитель и знаменатель местами.

Для проверки можно провести умножение таких обратных дробей:

Обратные дроби применяются и при делении дроби на натуральное число. При таком делении мы умножаем знаменатель на это число, а числитель оставляем без изменений. Практически, мы умножаем дробь на дробь, обратную данному числу.

Источник

Обыкновенная (простая) дробь. Числитель и знаменатель дроби.

Правильная и неправильная дробь. Смешанное число.

Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби.

Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной или простой дробью. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем, а количество взятых частей – числителем. Дробь записывается в виде:

Здесь 3 – числитель, 7 – знаменатель.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1. В обоих последних случаях дробь называется неправильной. Если числитель делится на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: 63 / 7 = 9. Если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом:

Здесь 9 – неполное частное (целая часть смешанного числа), 2 – остаток (числитель дробной части), 7 – знаменатель.

Обратные дроби – это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3 / 7 и 7 / 3 ; 15 / 1 и 1 / 15 и т.д.

Действия с обыкновенными дробями

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.

Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.